2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若z=3+4i1−2i，则|z|=( )
A. 3B. 3C. 5D. 5
2.已知向量a=(m,1)，b=(1,2−3m)，若a⊥b，则实数m的值为( )
A. --1B. 1C. −2D. 2
3.已知csα=45,α∈(−π2,0),tanβ=12，则tan(α−β)的值为( )
A. −25B. −1011C. −211D. −2
4.已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. 3πB. 2πC. πD. 2π
5.在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/ℎ，距离台风中心150km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响(参考数据： 2≈1.4)( )
A. 2B. 4.5C. 9.5D. 10
6.从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则( )
A. A与B互斥B. A与B独立C. A与C互斥D. A与C独立
7.在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1=CC1=DD1=2BG=2 3，点E、F分别为线段BC、CC1的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为( )
A. 715VB. 722VC. 724VD. 817V
8.已知点P为△ABC内一点，且∠ABP=30°，∠PBC=15°，∠PCB=15°，∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为( )
A. 6−3 3B. 2− 3C. 6− 311D. 35
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法正确的是( )
A. 若z2=−1，则z=i．
B. |z2|=|z|2
C. |z1−z2|≥|z1|−|z2|
D. 若|z+1+i|=2，则|z|的取值范围为[2− 2,2+ 2]
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(4SABC= 3(a2+c2−b2)，则下列说法正确的是( )
A. B=π3
B. csA⋅csC的取值范围是(−14,14]
C. 若D为边AC的中点，且BD= 3，则△ABC面积的最大值为 3
D. 若角B的平分线交AC于点E，且BE=2 3，则a+4c的最小值为18
11.正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是( )
A. AC⊥DE
B. 直线BC与平面BEDF所成的角为60°
C. 若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F−ADP的体积为定值9 24
D. 若点P为棱ED上的动点，则AP+BP的最小值为3( 6+ 2)2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,−1)，则a在b上的投影向量的坐标为______．
13.如图，平面四边形ABCD中，∠BAD=∠CBD=75°，∠BAC=30°，∠ABD=45°，AB= 6，则CD的长为______．
14.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=2，∠ACB=60°，SC为球O的直径，且SC=4，则三棱锥S−ABC体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠DAB=60°，AC交BD于点O，PB=PD=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点．
(1)求证：MN/​/平面PCD．
(2)记二面角B−PC−D的平面角为θ，若csθ=−17．
①求PA与底面ABCD所成角的大小．
②求点N到平面CDP的距离．
16.(本小题17分)
已知0°<∠A<180°，点B，C分别为其两条边上不与点A重合的点．
(1)如图1，若∠A=60°，AB=4，△ABC为锐角三角形，求AC的取值范围．
(2)如图2，若∠A=60°，BC=4，以BC为边构造等边△BCD，设∠ABC=θ，试求AD的最大值．
(3)如图2，若AB=2，AC=4，以BC为边构造等边△BCD，试求AD的最大值．
17.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−bc=sinC−sinBsinA+sinB．
(1)求角A的大小．
(2)若csB=17,AB=5，求AC边上的中线BD的长．
18.(本小题15分)
为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表．
(1)求频率分布直方图中a的值．
(2)求月收入的平均数、75百分位数．
(3)现按月收入分层，在[2000,3000)和[3000,4000)这两个收入段中，按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率．
19.(本小题15分)
如图，在梯形ABCD中，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD，O为AC与BM的交点．
(1)若∠BAD=60°，求AC⋅BM．
(2)若AC⋅BM=−3，求cs∠AOB．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.A
5.B
6.D
7.B
8.A
9.BCD
10.ACD
11.ABD
12.(310,−110)
13. 10
14.2 23
15.(1)证明：取PB的中点E，连接ME，NE，
因为M，N分别为PA，BC的中点，
所以ME//AB//CD，NE/​/PC，
又ME∩NE=E，ME、NE⊂平面MNE，CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PCD，
所以平面MNE/​/平面PCD，
因为MN⊂平面MNE，
所以MN/​/平面PCD．
(2)解：取PC的中点F，连接BF，DF，OP，
因为PB=PD=3，BC=CD=3，PC=PC，
所以△PBC≌△PDC，且BF⊥PC，DF⊥PC，
所以∠BFD就是二面角B−PC−D的平面角，即cs∠BFD=csθ=−17，
在△BDF中，BF=DF，BD=3，
由余弦定理知，cs∠BFD=BF2+DF2−BD22BF⋅DF，
所以−17=2BF2−92BF2，解得BF=3 74，
所以PC=2PF=2 PB2−BF2=92，
①作PG⊥AC于点G，
因为PB=PD，O是BD的中点，所以OP⊥BD，
因为菱形ABCD，所以AC⊥BD，
又OP∩AC=O，OP、AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
因为PG⊂平面PAC，所以BD⊥PG，
又AC∩BD=O，AC、BD⊂平面ABCD，所以PG⊥平面ABCD，
所以∠PAC即为PA与底面ABCD所成角，
因为PA⊥PC，
所以sin∠PAC=PCAC=923 3= 32，
因为0°≤∠PAC≤90°，所以∠PAC=60°，
故PA与底面ABCD所成角的大小为60°．
②由①知，S△PCD=12PC⋅DF=12×92×3 74=27 716，
S△NCD=12CN⋅CDsin60°=12×32×3× 32=9 38，
因为PG⊥平面ABCD，
所以点P到平面NCD的距离为PG=PCsin∠PCA=92sin30°=94，
设点N到平面CDP的距离为d，
因为VN−PCD=VP−NCD，
所以13d⋅S△PCD=13PG⋅S△NCD，即13d⋅27 716=13⋅94⋅9 38，
解得d=3 2114，
故点N到平面CDP的距离为3 2114．
16.解：(1)由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc，即b2+16−a28b=12，
故b2+16−4b=a2，
若C为最大角，只需a2+b2−16>0，故b2+16−4b+b2−16>0，解得b>2，
若B为最大角，只需a2+16−b2>0，故b2+16−4b+16−b2>0.解得b<8，
综上，AC∈(2,8)．
(2)由正弦定理得BCsinA=2R，R为△ABC的外接圆半径，
故2R=4sin60∘=8 33，解得R=4 33，
过点B，C分别作OB⊥DB，OC⊥DC，OB，OC相交于点O，
其中OB=OC=4tan30°=4 33，
故以O为圆心，OB=4 33为半径的圆，即为△ABC的外接圆，
当A，O，D三点共线时，AD取得最大值，如图，A1D即为所求，

其中OD=2OB=8 33，A1D=OD+OA1=8 33+4 33=4 3，
即AD最大值为4 3；
(3)以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，故EB=AB，
因为△BCD为等边三角形，所以BD=BC，∠DBC=60°，
故∠EBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，即∠EBC=∠ABD，
故△EBC≌△ABD，所以AD=EC，
当E，A，C三点共线时，EC取得最大值，此时∠BAC=120°，
EC最大值为EA+AC=2+4=6，故AD的最大值为6．

17.解：(1)由a−bc=sinC−sinBsinA+sinB，得a−bc=c−ba+b，去分母得a2−b2=c2−bc，
整理得b2+c2−a2=bc，由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，结合A∈(0,π)，可得A=π3．
(2)根据csB=17，可得sinB= 1−cs2B=4 37，
△ABC中，A+B+C=π，可得sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 32×17+12×4 37=5 314．

根据正弦定理得ABsinC=ACsin∠ABC，即55 314=AC4 37，解得AC=8，所以AD=12AC=4，
在△ABD中，BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsπ3=25+16−2×5×4×12=21，所以BD= 21(舍负)．
综上所述，AC边上的中线BD的长等于 21．
18.解：(1)由1000×(0.00005+0.0001+0.00015+a+0.00025×2)=1，
解得a=0.0002．
(2)设月收入的平均数为x，
则x=0.05×7500+0.1×2500+0.15×6500+0.2×3500+0.25×4500+0.25×5500=4800，
设75百分位数为m，
则(6000−m)×0.00025+0.15+0.05=0.25，
解方程得m=5800．
(3)在[2000,3000)的人数为10000×1000×0.0001=1000人，
在[3000,4000)的人数为10000×1000×0.0002=2000人，
按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在[2000,3000)中抽2人，记为a，b，
在[3000,4000)中抽4人，记为A，B，C，D，
从6人中选2人有15种不同选法，分别为：
(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，(A,B)，(A,C)，(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)，
选中的2人来自不同收入段的不同选法有8种，分别为：
(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，
∴选中的2人来自不同收入段的概率为P=815．
19.解：(1)由题意可知：DC=12AB，AM=23AD，
则AC=AD+DC=AD+12AB，BM=AM−AB=23AD−AB，
若∠BAD=60°，则AD⋅AB=|AD|⋅|AB|cs∠BAD=3×4×12=6，
所以AC⋅BM=(AD+12AB)⋅(23AD−AB)=23AD2−23AD⋅AB−12AB2=−6；
(2)由(1)可知：AC=AD+12AB，BM=23AD−AB，
且AC⋅BM=23AD2−23AD⋅AB−12AB2=6−23AD⋅AB−8=−3，解得AD⋅AB=32，
则AC2=(AD+12AB)2=AD2+AD⋅AB+14AB2=292，即|AC|= 582，
BM2=(23AD−AB)2=49AD2−43AD⋅AB+AB2=18，即|BM|=3 2，
所以cs∠AOB=AC⋅BM|AC||BM−|=−3 582×3 2=− 2929．