2023-2024学年陕西省西安市长安区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若ab=2，则a+bb的值为( )
A. 13B. 23C. 1D. 3
2.大多数同学都愿意到北京上大学，因为北京的好大学众多，教育资源丰富，下面是四个高校校徽主体图案，是中心对称图形的是( )
A. 北京林业大学B．B. 北京体育大学D
C. 北京大学D. 中国人民大学
3.若分式x2−9x+3的值为0，则x的值为( )
A. 3B. 3或−3C. −3D. 0
4.下列分解因式正确的是( )
A. −2x2+4x=−2x(x+2)B. x2+xy+x=x(x+y)
C. x(x−y)−y(x−y)=(x−y)2D. x2+6x−9=(x−3)2
5.一个多边形的每个外角为30°，那么这个多边形边数为( )
A. 12B. 6C. 10D. 8
6.如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA=90°，AC=20cm，BD=12cm，则BC的长为( )
A. 6cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
7.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= 2，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 2− 2B. 1C. 2D. 2−l
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为( )
A. (−1,1)B. (0,2)C. (0,−1)D. (1,−1)
9.如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是( )
A. 24
B. 22
C. 18
D. 13
10.在“引汉济渭”工程中，有一段长15千米的管道要经过多片居民区，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前3天完成.设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为( )
A. 15(1+20%)x−15x=3B. 1520%x−15x=3
C. 15x−15(1+20%)x=3D. 15x−1520%x=3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：2m2−18=______．
12.定义新运算：a⊕b=2a+2b，若a⊕(−2)=1，则1a+a2= ______．
13.如图，一张直角三角形纸片ABC，AC14.化简a2−2aba−b−b2b−a的值为______．
15.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=25°，∠C=90°，则∠BAC′的度数为______．
16.直线y=kx经过向上平移2个单位后，恰好经过点(−1,0)，则不等式x−417.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为______．
18.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，沿对角线AC翻折，点B的对应点为B′，B′C与AD交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，则重叠部分(即图中阴影部分)的面积为______．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
解不等式组3x−2≤x2x+1520.(本小题6分)
解分式方程：1−xx−3=13−x−3．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF/​/BC交BE的延长线于点F，连结CF.求证：四边形ADCF是平行四边形．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB，AC于点D，E．
(1)求证：AE=2CE；
(2)当DB=1时，求△ABC的面积．
23.(本小题8分)
人们对“节能环保，绿色出行”意识的逐年增强，越来越多的人喜欢购买新能源汽车.某汽车厂生产的新能源汽车去年销售总额为6040万元.由于生产成本的增加，今年该新能源汽车每辆售价预计比去年增加8000元.若该新能源汽车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年增加5%，求该新能源汽车去年每辆售价多少万元？
24.(本小题10分)
已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若AD=6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ab=2，
∴a+bb=ab+1=2+1=3．
故选：D．
由ab=2，利用比例的性质，即可求得a+bb的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，得
x2−9=0x+3≠0，即(x+3)(x−3)=0x+3≠0，
解得x=3．
故选：A．
分式的值为0：分子为0，分母不为0．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
4.【答案】C
【解析】解：A.−2x2+4x=−2x(x−2)，故选项A不符合题意；
B.x2+xy+x=x(x+y+1)，故选项B不符合题意；
C.x(x−y)−y(x−y)=(x−y)(x−y)=(x−y)2，故C符合题意；
D.x2+6x−9不能因式分解，故D不符合题意，
故选：C．
根据提公因式法，公式法进行因式分解，分别判断即可．
本题考查了提公因式法，公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：360°÷30°=12，
故选：A．
一个多边形的外角和为360°，而每个外角为30°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=20cm，BD=12cm，
∴OA=OC=12AC=10(cm)，OB=OD=12BD=6(cm)，
∵∠ODA=90°，
∴AD= AO2−DO2= 100−36=8(cm)，
∴BC=AD=8cm，
故选：B．
由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠ODA=90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=12BC=1，AF=FC′=sin45°AC′= 22AC′=1，进而求出阴影部分的面积．
【解答】
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=12BC=1，AF=FC′= 22AC′1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′−S△DEC′=12×1×1−12×( 2−1)2= 2−1．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点(1,−1)，根据旋转变换的性质，点(1,−1)即为旋转中心．
故旋转中心坐标是P(1,−1)．
故选：D．
连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．
本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/CB，AB/​/CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠CBA)=90°，
在△APB中，∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB/​/CD，
∴∠PAB=∠DPA，
∴∠DAP=∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5，
同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，
在Rt△APB中，AB=10，AP=8，
∴BP= AB2−AP2= 102−82=6，
∴△APB的周长=6+8+10=24；
故选：A．
根据平行四边形性质得出AD/​/CB，AB/​/CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，得：15x−15(1+20%)x=3，
故选：C．
根据每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前3天完成，列分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
11.【答案】2(m+3)(m−3)
【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=2(m2−9)
=2(m+3)(m−3)．
故答案为：2(m+3)(m−3)．
12.【答案】32
【解析】解：∵a⊕b=2a+2b，a⊕(−2)=1，
∴2a+2−2=1，
解得a=1，
∴1a+a2
=11+12
=1+12
=32，
故答案为：32．
根据a⊕b=2a+2b，a⊕(−2)=1，可以求得a的值，然后代入所求式子计算即可．
本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
13.【答案】m>n
【解析】解：如图所示：
由折叠的性质得：DE是线段AC的垂直平分线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴m=DE=12BC；
∴DF是△ABC的中位线，
∴n=DF=12AC；
∵AC∴m>n；
故答案为：m>n．
由三角形中位线定理求出m=DE=12BC，n=DF=12AC，据此解答．
本题考查了三角形中位线定理，翻折变换(折叠问题)，解答本题的关键是明确折痕是所折线段的垂直平分线，准确找出中位线．
14.【答案】a−b
【解析】解：原式=a2−2aba−b+b2a−b
=a2−2ab+b2a−b
=(a−b)2a−b
=a−b，
故答案为：a−b．
先把分式的分母变成同分母的分式，然后按照同分母分式相加进行计算，再把分子分解因式，最后约分即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法和分式的通分与约分．
15.【答案】50°
【解析】解：∵∠B=25°，∠C=90°，
∴∠CAB=180°−∠B−∠C=65°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′=∠CAB=65°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′=180°−∠CAB−∠C′AB′=50°．
故答案为：50°．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，利用旋转不变性解答是解题的关键．
16.【答案】x>−6
【解析】解：直线y=kx经过向上平移2个单位后所得解析式为y=kx+2，
∵经过点(−1,0)，
∴0=−k+2，
解得：k=2，
∴不等式x−4解得：x>−6，
故答案为：x>−6．
根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx经过向上平移2个单位后所得解析式为y=kx+2，然后把(−1,0)代入y=kx+2求出k的值，再求不等式x−4<2x+2的解集即可．
此题主要考查了一次函数与不等式，关键是正确计算出k的值．
17.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴OE=12BC，
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故答案为：16．
首先证明OE=12BC，再由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
18.【答案】4 3
【解析】解：∵平行四边形ABCD，AB=4，
∴AB=CD=4，
由翻折可知AB=AB′，
∵△CDE恰为等边三角形，
∴∠D=∠DEC=60°，
∵AB/​/CD，
∴∠B′AE=∠D=60°，
∵∠AEB′=∠CED，
∴△AB′E是等边三角形，
∴AE=AB′=4，
∴阴影部分的面积和△CDE的面积相等，
在△EDC中，过点C作CH⊥ED交点H，
∵∠D=60°，ED=4，
∴DH=2，
∴CH=2 3，
∴S=12×4×2 3=4 3，
故答案为4 3．
由已知先证明△AB′E是等边三角形，则有AE=AB′=4，可得阴影部分的面积和△CDE的面积相等，求出△CDE的面积即可求解．
本题考查等边三角形、平行四边形、图形的翻折，熟练掌握等边三角形的性质，图形翻折的性质，此题证明△B′EA是等边三角形是解题的关键．
19.【答案】解：3x−2≤x①2x+15解不等式①得x≤1，
解不等式②得x>−3，
∴不等式组的解集是：−3∴不等式组的非负整数解为0，1．
【解析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集，难度适中．
20.【答案】解：1−xx−3=13−x−3，
1−xx−3+1x−3=−3，
1−x+1=−3(x−3)，
1−x+1=−3x+9，
2x=7，
解得：x=72，
经检验：x=72是原方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】证明：∵AF/​/BC，∴∠AFE=∠EBD.
在△AEF和△DEB中
∵∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS).
∴AF=BD.
∴AF=DC．
又∵AF/​/BC，
∴四边形ADCF为平行四边形．
【解析】首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB(AAS)，进而得出AF=BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△AEF≌△DEB是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，DE⊥AB，∠ABE=∠A=30°，
∴AE=2DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBE=30°，
∴BE平分∠ABC，
∴CE=DE，
∴AE=2CE；
(2)解：∵DB=1，
∴AB=2DB=2，
∴BC=12AB=1，
∴AC= AB2−BC2= 22−12= 3，
∴△ABC的面积为12× 3×1= 32．
【解析】(1)由DE是AB的垂直平分线，得AE=BE，DE⊥AB，∠ABE=∠A=30°，所以AE=2DE，证明BE平分∠ABC，得CE=DE，即可得出结论；
(2)由DB=1，得AB=2DB=2，所以BC=12AB=1，根据勾股定理得AC= 3，即可求出△ABC的面积．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23.【答案】解：设该新能源汽车去年每辆售价为x万元，则该新能源汽车今年每辆售价为(x+0.8)万元，
由题意得：6040x=6040(1+5%)x+0.8，
解得：x=16，
经检验，x=16是原方程的解，且符合题意，
答：该新能源汽车去年每辆售价为16万元．
【解析】设该新能源汽车去年每辆售价为x万元，则该新能源汽车今年每辆售价为(x+0.8)万元，根据该新能源汽车的销售数量与去年相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD=∠PCB，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=CD，
∵CD=CP，
∴CP=CD=DP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠B=60°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴PD/​/BC，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，
设运动时间为t秒，
①当0≤t≤3时，PD=6−0.5t，BQ=6−2t，
∴6−0.5t=6−2t，
解得：t=0；
②当3∴6−0.5t=2t−6，
解得：t=4.8；
③当6∴6−0.5t=18−2t，
解得：t=8；
④当9∴6−0.5t=2t−18，
解得：t=9.6；
综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【解析】(1)易证∠DPC=∠DCP，得DP=CD，又CD=CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
(2)若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，
①当0≤t≤3时，6−0.5t=6−2t，解得t=0；
②当3③当6④当9本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．