2024年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.4月18日是国际古迹遗址日.在国家考古遗址公园联盟联席会上发布的《2023年度国家考古遗址公园运营报告》显示，圆明园等全国55家国家考古遗址公园2023年接待游客总量超6700万人次，同比增长135%.将67000000用科学记数法表示应为( )
A. 6.7×108B. 6.7×107C. 67×106D. 0.67×108
3.在下列各式中，从左到右计算结果正确的是( )
A. 8− 6= 2B. (x−1)2=x2−1
C. (−2)2=−2D. x−1x+1+2x+1=1
4.若实数x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是( )
A. |x|=xB. 05.若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是( )
A. 6πB. 9πC. 45πD. 54π
7.在一个不透明的盒子中装有3个小球，其中2个红球、1个绿球，除颜色不同外，其它没有任何差异.小红将小球摇匀，从中随机摸出2个小球，恰好是1个红球和1个绿球的概率是( )
A. 13B. 49C. 12D. 23
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是BC的中点.设AB=c，AC=b，AD=ℎ，BD=m，CD=n，m①c2=m2+mn；
②点A，B，C在以点E为圆心，12(m+n)为半径的圆上；
③b2+m2>3ℎ2．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式2x−1有意义，则实数x的取值范围是______．
10.因式分解：ma2+4ma+4m= ______．
11.当a= ______，b= ______时，可以说明“若a>b，则a2>b2”是假命题(写出一组a，b的值即可)．
12.在平面直角坐标系xOy中，若点(2,4)是函数y=k1x(k1≠0)和y=k2x(k2≠0)的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是______．
13.若m2+m−5=0，则代数式(1m−1m2)÷m2−110m的值为______．
14.若关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m=0的两个实数根的差等于2，则实数m的值是______．
15.如图是2015−2023年我国主要可再生能源发电装机容量(亿千瓦)统计图．

根据上述信息，下列推断合理的是______(填写序号)．
①2015−2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；
②2015−2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；
③2015−2023年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量．
16.现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，场地圆心A的坐标为(5 3,5).机器人在该场地中(含边界)，根据指令[s,α](s≥0，0°<α<180°)完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离s，再在原地逆时针旋转角度α，执行任务.机器人位于坐标原点O处，且面对x轴正方向．
(1)若给机器人下达指令[4,90°]，则机器人至少重复执行______次该指令能回到坐标原点O处；
(2)若给机器人下达指令[s,a]，使机器人重复执行该指令回到坐标原点O处，且s最大，则应给机器人下达的指令是______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算： 12−tan60°+(−12)−1−(−2)3．
18.(本小题5分)
解不等式组：2(x+1)<5x−46x+13≥x−1．
19.(本小题5分)
如图，已知⊙O及⊙O外一点P．
求作：⊙O的切线PA，PC．
作法：
①连接OP；
②分别以点O，P为圆心，大于12OP的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交OP于点B；
③以点B为圆心，OB的长为半径画圆，交⊙O于点A，C(点A位于OP的上方)；
④作直线PA，PC；
则直线PA，PC就是所求作的直线．
(1)利用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)设线段OP交⊙O于点E，连接OA，AC，CE.若∠ACE=34°，则∠AOP= ______°，∠APC= ______°.
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE/​/CD，∠ACB=∠DAC，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，EF=EG．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若CD=4，∠B=45°，∠CEG=15°，求AB的长．
21.(本小题5分)
列方程或方程组解应用题．
如图1，正方形ABCD是一块边长为30cm的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖.用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为3000cm2(不考虑接缝)，求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,0)和B(2,1)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，当x<−1时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于0，直接写出m的值．
23.(本小题6分)
某校举办“学生讲堂”，1班为了选出一位同学代表班级参赛，先后进行了笔试和面试.在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩(满分100)分别是95，94，88.在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和.对甲、乙、丙三位同学的面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.评委给甲同学打分如下：
10，10，9，8，8，8，7，7，6，5
b.评委给乙、丙两位同学打分的折线图：
c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表中m，n的值；
(2)在面试中，如果评委给某个同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致.据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对______的评价更一致(填“甲”、“乙”或“丙”)；
(3)在笔试和面试两项成绩中，按笔试成绩占40%，面试成绩占60%，计算甲、乙、丙的综合成绩，综合成绩最高的是______(填“甲”、“乙”或“丙”)．
24.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D.连接BD，AE⊥BD于点E，交BC的延长线于点F．
(1)求证：∠BAF=∠ABF；
(2)当AE=1，BE=2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．
25.(本小题6分)
如图，在等边△ABC中，AB=5cm，点D是BC的中点，点E是边AB上一个动点，连接CE，DE.设B，E两点间的距离为x cm，CE+DE−CD=y cm．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：
m的值为______(保留一位小数)；
(2)在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数y的图象；

(3)结合函数图象，解决问题(保留一位小数)：
①当y=5时，B，E两点间的距离约为______cm；
②当y=4x时，B，E两点间的距离约为______cm．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2amx+am2−4(a>0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)若对于该抛物线上的三个点A(m−2,y1)，B(2m,y2)，C(2m−2,y3)，总有y1>y2>y3，求实数m的取值范围．
27.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°点D是AC边上的动点，∠DBA=α(0°<α<45°)，点C关于直线BD的对称点为E，连接AE.直线AE与直线BD交于点F．
(1)补全图形；
(2)求∠EFB的大小；
(3)用等式表示线段FA，FB，FE之间的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l，称线段PQ的中点到直线l的距离为线段PQ关于直线l的平均距离，记为t．
已知点A(3,0)，B(0,3)．
(1)线段AB关于x轴的平均距离t为______；
(2)若点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN=2，则线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值为______；
(3)已知点P是半径为1的⊙O上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，直接写出线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：67000000=6.7×107，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A． 8− 6不是同类二次根式无法合并，故此选项不合题意；
B.(x−1)2=x2−2x+1，故此选项不合题意；
C. (−2)2=2，故此选项不合题意；
D.x−1x+1+2x+1=1，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用二次根式的加减运算法则、完全平方公式、二次根式的性质、分式的加减运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算、完全平方公式、二次根式的性质、分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，−1故0故选：B．
根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：多边形的内角和是：3×360=1080°．
设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180=1080，
解得：n=8．
即这个多边形的边数是8．
故选：C．
先根据多边形的外角和是360度求出多边形的内角和的度数，再依据多边形的内角和公式即可求解．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
6.【答案】C
【解析】解：∵圆锥的底面半径的长为3，
∴圆锥的底面周长的长为6π，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6π，
∴扇形弧长为：12×6π×15=45π，
∴圆锥侧面展开图的面积为45π，
故选：C．
根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好是1个红球和1个绿球的结果有4种，
∴恰好是1个红球和1个绿球的概率为46=23．
故选：D．
列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是1个红球和1个绿球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AD=ℎ，BD=m，CD=n，且ℎ2=mn，
∴ℎm=nℎ，即ADBD=CDAD，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴△ABC为直角三角形．
在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，
∴c2=m2+ℎ2，
∵ℎ2=mn，
∴c2=m2+mn，故①正确．
∵△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，BC=m+n，
∴点A，B，C在以点E为圆心，12(m+n)为半径的圆上，故②正确；
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即b2−ℎ2=n2，
∴b2+m2−3ℎ2=(b2−ℎ2)+(m2−2ℎ2)=n2+m2−2mn=(m−n)2，
∵m∴b2+m2−3ℎ2=(m−n)2>0，
∴b2+m2>3ℎ2，故③正确．
故选：D．
根据AD⊥BC可得AB2=BD2+AD2，即c2=m2+ℎ2，又因为ℎ2=mn，所以c2=m2+mn，故①正确；根据AD⊥BC，ℎ2=mn，可证△ABD∽△CAD，进而∠BAC=90°，所以点A，B，C在以点E为圆心，12(m+n)为半径的圆上，故②正确；根据相似三角形的性质逐一分析解答即可；在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即b2−ℎ2=n2，可得b2+m2−3ℎ2=(b2−ℎ2)+(m2−2ℎ2)=n2+m2−2mn=(m−n)2，根据m0，所以b2+m2>3ℎ2，故③正确．
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角为90°、以及代数推理等知识．
9.【答案】x≠1
【解析】解：根据题意得：x−1≠0，解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
10.【答案】m(a+2)2
【解析】解：ma2+4ma+4m=m(a2+4a+4)
=m(a+2)2．
故答案为：m(a+2)2．
首先提取公因式m，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
11.【答案】1 −2(答案不唯一)
【解析】解：当a=1，b=−2时，a>b，a2说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，
故答案为：1，−2(答案不唯一)．
根据实数的平方、实数的大小比较、假命题的概念判断即可．
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12.【答案】(−2,−4)
【解析】解：∵函数y=k1x经过点(2,4)，
∴2k1=4，
解得k1=2，
∴y=2x；
∵y=k2x(k2≠0)的图象经过点(2,4)，
∴k2=2×4=8，
∴y=8x，
联立方程组y=2xy=8x，
解得x=2y=4或x=−2y=−4，
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标是(−2,−4)，
故答案为：(−2,−4)．
根据点(2,4)是函数y=k1x(k1≠0)和y=k2x(k2≠0)的图象的一个交点，求出两个函数的解析式，再联立方程组，解方程组求出另一交点坐标．
本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，关键时求出一次函数和反比例函数的解析式．
13.【答案】2
【解析】解：(1m−1m2)÷m2−110m
=m−1m2⋅10m(m+1)(m−1)
=10m(m+1)
=10m2+m，
∵m2+m−5=0，
∴m2+m=5，
∴当m2+m=5时，原式=105=2，
故答案为：2．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m2+m=5代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】3或−1
【解析】解：∵方程x2−(m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−(m+1)]2−4m=(m−1)2>0，
解得：m≠1，
设一元二次方程x2−(m+1)x+m=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=m+1，x1x2=m．
∵x1−x2=2，
∴x1=2+x2，
∴2+2x2=m+1，(2+x2)⋅x2=m．
∴x2=m−12，(x2+1)2=m+1，
∴(m−12+1)2=m+1，
解得m=3或m=−1．
故答案为：3或−1．
利用根与系数的关系得到x1+x2=m+1，x1x2=m，结合x1−x2=2，即可得出2+2x2=m+1，(2+x2)⋅x2=m，进一步得出(m−12+1)2=m+1，解得m=3或m=−1．
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】①②
【解析】解：由统计图可知：
2015−2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大，故①说法正确；
2015−2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定，故②说法正确；
2023年我国水电发电装机容量一直低于风电发电装机容量，故③说法错误．
所以推断合理的是①②．
故答案为：①②．
依据折线统计图中的数据进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
16.【答案】4 [10 3,120°]
【解析】解：(1)如图，给机器人下达指令[4,90°]，
则机器人至少重复执行4次该指令能回到坐标原点O处；
故答案为：4．
(2)如图，
给机器人下达指令是[10 3,120°]．
故答案为：[10 3,120°]．
(1)根据机器人应移动到点到原点的距离为4，根据旋转方向进行移动即可；
(2)先确定运动距离和方向角，则可得出结果．
本题主要考查了生活中的旋转现象，熟练掌握坐标与图形变化是解题的关键．
17.【答案】解： 12−tan60°+(−12)−1−(−2)3
=2 3− 3−2−(−8)
=2 3− 3−2+8
= 3+6．
【解析】首先计算乘方、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：2(x+1)<5x−4①6x+13≥x−1②，
解不等式①，得：x>2，
解不等式②，得：x≥−43，
∴原不等式组的解集是x>2．
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
19.【答案】68 48
【解析】解：(1)图形如图所示：
(2)∵∠AOP=2∠ACE，∠ACE=34°，
∴∠AOP=68°，
∵OP是直径，
∴∠OAP=90°，
∴∠APO=90°−68°=24°，
∵PA，PC是情形，
∴∠APC=2∠APO=48°．
故答案为：68，48．
(1)根据要求作出图形；
(2)利用圆周角定理，切线长定理，三角形内角和定理求解即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理，切线长定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DAC，
∴AD//CE，
∵AE//CD，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=4，
∵EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，
在Rt△AFE和Rt△AGE中，
AE=AEEF=EG，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL)，
∴∠AEF=∠AEG，
∵∠BFE=180°−90°=90°，∠B=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF，∠BEF=45°，
∴∠FEG=180°−∠BEF−∠CEG=180°−45°−15°=120°，
∴∠AEF=∠AEG=12∠FEG=60°，
∴∠EAF=90°−∠AEF=30°，
∴BF=EF=12AE=2，
∴AF= AE2−EF2= 42−22=2 3，
∴AB=AF+BF=2 3+2．
【解析】(1)证明AD/​/CE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得AE=CD=4，进而证明Rt△AFE≌Rt△AGE(HL)，再证明△BEF是等腰直角三角形，然后证明由含30°的直角三角形的性质得BF=EF=2，进而由勾股定理求出AF的长，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设一块黑色正方形地砖的面积为y cm2，
一块八边形地砖的面积为xcm2，
得4x+y=3000x+y=900′
解得x=700y=200，
答：一块黑色正方形地砖的面积为200 cm2，一块八边形地砖的面积为700cm2．
【解析】设一块黑色正方形地砖的面积为y cm2，一块八边形地砖的面积为xcm2，得4x+y=3000x+y=900′即可解得x=700y=200．
本题主要考查了多边形面积的求法，解题关键是正确列方程求解．
22.【答案】解：(1)把A(1,0)和B(2,1)分别代入y=kx+b得k+b=02k+b=1，
解得k=1b=−1，
∴一次函数解析式为y=x−1；
(2)∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，
3m+12≤3−1，
解得m≤12，
∵当x<−1时，对于x的每一个值，函数y=mx+12的值小于0
∴−m+12≤0，
解得m≥12，
∴m=12．
【解析】(1)利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
(2)根据题意得到3m+12≤3−1和−m+12≤0，然后解不等式可确定m的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
23.【答案】丙 乙
【解析】解：(1)由题意得，m=10+10+9+8+8+8+7+7+6+5=78，
把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数n=8+92=8.5．
(2)由题意可知，丙的得分的波动比甲和乙小，所以甲、乙、丙三位同学中，评委对丙的评价更一致．
故答案为：丙；
(3)甲的综合成绩为：95×40%+78×60%=84.8(分)，
乙的综合成绩为：94×40%+85×60%=88.6(分)，
丙的综合成绩为：88×40%+87×60%=87.4(分)，
84.8<87.4<88.6，
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为：乙．
(1)把十位评委的打分相加可得m的值，根据中位数的定义可得n的值；
(2)根据方差的意义解答即可；
(3)根据加权平均数公式计算即可．
本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
24.【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠BAE=∠BCA，
∵AB=AC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴∠BAE=∠ABC，
即∠BAF=∠ABF；
(2)解：如图，过点A作AG⊥BC于G，

由(1)知∠BAF=∠ABF，
∴AF=BF，
设EF=x，
∵AE=1，
∴AF=AE+EF=x+1，
∴BF=x+1，
∵AE⊥BD，
∴由勾股定理得BF2=BE2+EF2，
∴(x+1)2=22+x2，
∴x=32，
即EF=32，
∴AF=BF=52，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=12BC，
设BG=m，
∴FG=52−m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB= AE2+BE2= 12+22= 5，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2=AB2−BG2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得AG2=AF2−FG2，
∴AB2−BG2=AF2−FG2，
∴( 5)2−m2=(52)2−(52−m)2，
解得m=1，
∴BG=CG=1，
∴BC=2，
∴BE=BC，
∵∠CBD=∠EBF，∠BCD=∠BEF=90°，
∴△BCD≌△BEF(ASA)，
∴BD=BF=52，
∵∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴△ABC的外接圆的半径长为12BD=54．
【解析】(1)先证得∠BAE+∠ABE=90°，∠BCA+∠ACD=90°，由圆周角定理的推论得出∠ABE=∠ACD，于是推出∠BAE=∠BCA，根据等边对等角得出∠BCA=∠ABC，问题得证；
(2)过点A作AG⊥BC于G，设EF=x，在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出EF的长；设BG=m，分别在Rt△ABG和Rt△AFG中根据勾股定理表示出AG2，即可求出m的值，再证△BCD≌△BEF，即可求出BD的长，根据圆周角定理的推论得出BD为直径，从而得出半径长．
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】4.3 0或3.4 1.1
【解析】解：(1)当BE=x=2.5cm时，则AE=BE=2.5cm，
∴E是AB中点，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=5cm，
∴CE= AC2−AE2=5 32cm，
∵D是BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC=52cm，
∴y=CE+DE−CD=5 32+52−52≈4.3cm．
故答案为：4.3．
(2)如图所示，
(3)①由图象可得：当y=5时，x=0或3.4cm；
②当y=4x时，x=1.1cm，即B、E两点间的距离为1.1cm．
故答案为：0或3.4；1.1．
解：(1)根据中位线和勾股定理即可求解；
(2)列表描点连线即可；
(3)根据图象观察即可．
本题主要考查了三角形中位线、勾股定理、画函数图象、根据函数图象分析问题等知识，正确理解题意和掌握相关知识点是解题关键．
26.【答案】解：(1)由题意，∵抛物线y=ax2−2amx+am2−4=a(x2−2mx+m2)−4=a(x−m)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(m,−4)．
(2)由题意，∵a>0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小．
∵对于A(m−2,y1)，B(2m,y2)，C(2m−2,y3)，总有y1>y2>y3，
又抛物线的对称轴是直线x=m，
∴|m−(m−2)|>|m−2m|>|m−2m+2|．
∴|m−2|<|m|<2．
①当m<0时，
∴2−m<−m<2．
此时，无解．
②当0∴2−m∴1③当m>2时，
∴m−2此时，无解．
综上，1【解析】(1)依据题意，由抛物线y=ax2−2amx+am2−4=a(x2−2mx+m2)−4=a(x−m)2−4，可以判断得解；
(2)依据题意，由a>0，故抛物线开口向上，进而抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合对于A(m−2,y1)，B(2m,y2)，C(2m−2,y3)，总有y1>y2>y3，又抛物线的对称轴是直线x=m，可得|m−(m−2)|>|m−2m|>|m−2m+2|，进而分类讨论即可计算得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27.【答案】解：(1)补全图形如下：

(2)如图，连接BE，

∵∠FBC=∠ABC−∠DBA，
∴∠FBC=90°−α，
∵点C关于直线BD的对称点为E，
∴BE=BC．
∴∠EBF=∠FBC=90°−α，
∴∠ABE=∠EBF−∠DBA=90°−2α，
∵BA=BC，
∴BE=BA．
∴∠EAB=180°−∠EBA2=45°+α．
∴∠EFB=∠EAB−∠DBA=45°．
(3)FE+FA= 2FB，证明如下：
如图，延长FE至点G，使得EG=FA，连接BG，

∵∠AEB=∠EAB，
∴180°−∠AEB=180°−∠EAB，
∴∠GEB=∠FAB，
∵GE=FA，EB=AB，
∴△GEB≌△FAB(SAS)，
∴∠G=∠EFB=45°，
∴∠GBF=90°，
∴cs∠EFB=FBFG= 22，
∴FG= 2FB，
∵FG=FE+EG=FE+FA，
∴FE+FA= 2FB．
【解析】(1)根据题意，补全图形即可；
(2)连接BE，根据题意，表示出∠EBA，即可解答；
(3)如图，延长FE至点G，使得EG=FA，连接BG，证明△GEB≌△FAB(SAS)，得到FG= 2FB，即可解答．
本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形中特殊角的函数值，添加辅助线是解题的关键．
28.【答案】1.5 3 22−1
【解析】解：(1)∵点A(3,0)，B(0,3)，
∴线段AB的中点为(1.5,1.5)，
∵(1.5,1.5)到x轴的距离为1.5，
∴线段AB关于x轴的平均距离t为1.5
故答案为：1.5；
(2)设MN的中点为P，
∵点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN=2，
∴∠MON=90°，
∵P为MN的中点，
∴OP=12MN=1，
∴点P在以O为圆心，1为半径的圆弧上，如图1，
过点O作OC⊥AB于点C，与该圆弧交于点P，则此时线段MN关于直线AB的平均距离t的值最小，
∵AO=OB=3，OC⊥AB，∠AOB=90°，
∴OC=12AB=3 22，
∴线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值=PC=OC−OP=3 22−1．
故答案为：3 22−1．
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3，
∴k=−1b=3，
∴直线AB的解析式为y=−x+3．
设P(x,y)，
∵点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，
∴Q(x,−x+3)，
∴PQ的中点M(x,−x+3+y2)，
∴t=y−x+32．
∴y=x+2t−3．
∵点P是半径为1的⊙O上的动点，
∴x2+y2=1，
∴x2+(x+2t−3)2=1，
则2x2+2(2t−3)x+(2t−3)2−1=0．
∵此关于x的一元二次方程有实数解，
∴Δ=4(2t−3)2−4×2[(2t−3)2−1]≥0，
∴(2t−3)2≤2，
∴3− 22≤t≤3+ 22．
∴线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围为：3− 22≤t≤3+ 22．
(1)利用平均距离的定义解答即可；
(2)设MN的中点为P，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点P在以O为圆心，1为半径的圆弧上，过点O作OC⊥AB于点C，与该圆弧交于点P，则此时线段MN关于直线AB的平均距离t的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
(3)利用待定系数法求得直线AB的解析式，设P(x,y)，则Q(x,−x+3)，利用线段中点的定义得到线段PQ的中点M的坐标为(x,−x+3+y2)，则t=y−x+32，得到y=x+2t−3；利用圆的方程得到关于x的一元二次方程2x2+2(2t−3)x+(2t−3)2−1=0，利用根的判别式解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键．同学
评委打分中位数
面试成绩
甲
8
m
乙
9
85
丙
n
87
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
5
4.6
4.3
4.1
4.2
m
4.6
5.1
5.6
6.2
6.8
红
红
绿
红
(红，红)
(红，绿)
红
(红，红)
(红，绿)
绿
(绿，红)
(绿，红)