2023-2024学年安徽省亳州市蒙城八中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省亳州市蒙城八中高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若zz−1=1+i，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.cs2π8−sin2π8的值为( )
A. − 32B. −12C. 12D. 22
3.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,2)B. e1=(2,−4)，e2=(4,−8)
C. e1=(1,−2)，e2=(2,3)D. e1=(1,0)，e2=(−2,0)
4.已知a,b是两个单位向量，且〈a,b〉=60°，若c=2a−b，则cs〈a,c〉=( )
A. 12B. 32C. 13D. 33
5.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 3 2
6.若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是( )
A. 若α//m，β//m，那么α/​/βB. 若m/​/α，n⊂α，那么m/​/n
C. 若m/​/n，n/​/α，那么m/​/αD. 若α/​/β，m⊂α，那么m//β
7.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
8.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30( 3−1)m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为( )
A. 20 3mB. 20 2mC. 30 3mD. 30 2m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，则( )
A. ω=2
B. φ=π3
C. 点(π6,0)是f(x)图象的一个对称中心
D. f(x)的图象向左平移5π12个单位后所对应的函数为偶函数
10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A. B.
C. D.
11.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，则a/​/b
B. 若a=−2b，则与b同向的单位向量为( 22,− 22)
C. 若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,+∞)
D. 若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.角α的终边经过点(2,−1)，则sinα+csα的值为______．
13.已知向量a=(1,0)，b=(2,3)，则b在a上的投影向量为______．
14.下列各图是正方体与四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共面的图形是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(2,4)，b=(6,x)，c=(4,y)，且a//b，a⊥c．
(1)求b和c；
(2)若m=2a−b，n=a+c，求向量m和向量n的夹角的大小．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sinx4⋅csx4+ 3csx2．
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)=f(x+π3)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC周长．
18.(本小题17分)
如图：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC//平面BFD1，若存在请说明理由．
19.(本小题17分)
已知向量a=(sinx,12)，b=(csx,−1)．
(1)当a⊥b时，求x的值；
(2)当a/​/b时，求tanx的值；
(3)求f(x)=(a+b)⋅b在[−π2,0]上的单调递减区间．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由于zz−1=1+i，
则z−1+1z−1=1+1z−1=1+i，即z−1=1i=−i，
可得z=1−i．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：cs2π8−sin2π8=cs(2×π8)=csπ4= 22，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，e−1=0−，不可以作为基底，A错误；
对于B，∵e−1=12e2，∴e1−，e2−共线，不可以作为基底， B错误；
对于C，e1与e2为不共线的非零向量，可以作为一组基底， C正确；
对于D，∵e−1=−12e−2，∴e1，e2−共线，不可以作为基底， D错误．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：已知a,b是两个单位向量，a⋅b=1×1×cs60°=12，
因为c=2a−b，所以a⋅c=a⋅(2a−b)=2a2−a⋅b=2−12=32，
|c|= 4a2−4a⋅b+b2= 3，
所以cs〈a,c〉=a⋅c|a|⋅|c|= 32．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
作平面直角坐标系x−O−y，使A与O重合，AD在z轴上，且AD=2，AB在y轴上，且AB=2，
过B作BC/​/AD，且BC=1，则四边形ABCD为原平面图形，其面积为S=12(1+2)×2=3．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，
对于A，若α//m，β//m，那么α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若m/​/α，n⊂α，那么m与n平行或异面，故B错误；
对于C，若m/​/n，n/​/α，那么m/​/α或m⊂α，故C错误；
对于D，若α/​/β，m⊂α，那么由面面平行的性质得m//β，故D正确．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：在同一坐标系中，作出函数y=sinx与y=2sin(3x−π6)在[0,2π]上的图象如下，
由图象可知，当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为6个．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABM中，AM=ABsin15∘，
在△ACM中，∠CAM=15°+15°=30°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，
所以∠ACM=180°−30°−105°=45°，
由正弦定理，AMsin∠ACM=CMsin∠CAM，
故CM=AM⋅sin∠CAMsin∠ACM=30( 3−1)×12×2 2 6− 24=60，
在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=60× 32=30 3(m)．
所以估算黄鹤楼的高度CD为30 3m.
故选：C．
9.【答案】ACD
【解析】解：A选项，由图象可得到函数最小正周期12T=5π12−(−π12)=π2，故T=π，
因为ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，A正确；
B选项，将(5π12,2)代入解析式得2sin(2×5π12+φ)=2，因为|φ|<π2，
解得φ=−π3，B错误；
C选项，f(x)=2sin(2x−π3)，故f(π6)=2sin(π3−π3)=0，
故点(π6,0)是f(x)图象的一个对称中心，C正确；
D选项，f(x)的图象向左平移5π12个单位后得到g(x)=2sin(2x+5π6−π3)=2sin(2x+π2)=2cs2x，
因为g(x)=2cs2x的定义域为R，且g(−x)=2cs(−2x)=2cs2x=g(x)，故g(x)=2cs2x为偶函数，D正确．
故选：ACD．
10.【答案】BCD
【解析】解：选项A中，如图(1)，连接A1B，取A1B的中点O，连接OQ，
因为O，Q分别为A1B和AA1的中点，所以OQ/​/AB，所以AB与平面MNQ不平行．
选项B中，如图(2)，连接A1B1，在正方体中，AB/​/A1B1，MQ/​/A1B1，
所以AB//MQ，因此AB/​/平面MNQ．
选项C中，如图(3)，连接A1B1，在正方体中，知AB/​/A1B1，
又因为M，Q分别为所在棱的中点，所以MQ/​/A1B1，
所以AB//MQ，所以AB/​/平面MNQ．
选项D中，如图(4)，连接A1B1，在正方体中，知AB/​/A1B1，
又因为N，Q分别为所在棱的中点，所以NQ/​/A1B1，所以AB/​/NQ，
所以AB/​/平面MNQ．
故选：BCD．
11.【答案】BD
【解析】解：由a=(n,2)，b=(1,m−1)，
A选项：2a+b=(2n+1,3+m)=(2,6)，
则2n+1=23+m=6，解得m=3n=12，则a=(12,2)，b=(1,2)，
所以a，b不共线，A选项错误；
B选项：a=−2b，则n=−22=−2(m−1)，解得m=0，n=−2，
即a=(−2,2)，b=(1,−1)，|b|= 12+(−1)2= 2，
所以与b同向的单位向量为b|b|=( 22,− 22)，B选项正确；
C选项：n=1时，a=(1,2)，
又a与b的夹角为锐角，
则a⋅b=1×1+2×(m−1)>0m−1≠2，解得m>12，且m≠3，
即m∈(12,3)∪(3,+∞)，C选项错误；
D选项：由a⊥b，得a⋅b=n+2(m−1)=2m+n−2=0，即2m+n=2，
所以z=2n+4m=2n+22m≥2 2n⋅22m=2 22m+n=2 22=4，
当且仅当2n=22m，即n=2m=1时，等号成立，D选项正确．
故选：BD．
12.【答案】 55
【解析】解：∵角α的终边经过点(2,−1)，
∴sinα=−1 22+(−1)2=− 55，csα=2 22+(−1)2=2 55，
∴sinα+csα= 55．
故答案为： 55．
13.【答案】(2,0)
【解析】解：由b在a上的投影向量为|b|cs⋅a|a|，而cs=a⋅b|a||b|=2 13，
所以|b|cs⋅a|a|= 13×2 13⋅a=2a=(2,0)．
故答案为：(2,0)．
14.【答案】①②③
【解析】解：①由题意知在正方体中，PS和QR都和上底的对角线平行，所以PS//QR，则P、Q、R、S四个点共面，所以正确．
②由题意知在正方体中，把另外两条棱的中点找出来，可以构成正六边形，而正六边形一定是平面图形的，则P、Q、R、S四个点共面，所以正确．
③因PQ和RS分别是相邻侧面的中位线，所以PQ//SQ，所以P、Q、R、S四个点共面，所以正确．
④根据图中几何体得，PQ和SR是异面直线，则P、Q、R、S四个点不共面，所以错误．
故答案为：①②③．
15.【答案】解：(1)因为a//b，所以2x−24=0，解得x=12，
因为a⊥c，所以8+4y=0，解得y=−2，
首页b=(6,12)，c=(4,−2)；
(2)因为m=2a−b=(−2,−4)，n=a+c=(6,2)，
设向量m和向量n的夹角为θ，
则csθ=m⋅n|m||n|=−202 10×2 5=− 22，
因为θ∈[0,π]，所以θ=34π，
即向量m和向量n的夹角的大小为3π4．
【解析】(1)由a//b列方程可求出x，再由a⊥c列方程可求出y，从而可求出b和c；
(2)先求出向量m和向量n的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可．
16.【答案】解：(1)∵f(x)=sinx2+ 3csx2=2sin(x2+π3)，
∴f(x)的最小正周期T=2π12=4π．
当sin(x2+π3)=−1时，f(x)取得最小值−2；
当sin(x2+π3)=1时，f(x)取得最大值2．
(2)g(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知f(x)=2sin(x2+π3)，
又g(x)=f(x+π3)，
∴g(x)=2sin[12(x+π3)+π3]
=2sin(x2+π2)=2csx2．
∵g(−x)=2cs(−x2)=2csx2=g(x)，
∴函数g(x)是偶函数．
【解析】利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数f(x)=2sinx4⋅csx4+ 3csx2，为y=2sin(x2+π3)，
(1)直接利用周期公式求出周期，求出最值．
(2)求出g(x)=f(x+π3)的表达式，g(x)=2csx2.然后判断出奇偶性即可．
17.【答案】解：(1)因为sinA+ 3csA=2，
所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，
由A为三角形内角得A+π3=π2，
即A=π6；
(2)因为 2bsinc=csin2B，
2bsinC=2csinBcsB，由正弦定理可得： 2bc=2bccsB，
可得csB= 22，
又因为B∈(0,π)，所以B=π4，C=π−A−B=712π，
在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4，
所以b=4sinB=2 2，c=4sinC=4sin7π12=4sin(π4+π3)= 6+ 2，
所以△ABC的周长为a+b+c=2+3 2+ 6．
综上，△ABC的周长为2+3 2+ 6．
【解析】(1)由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；
(2)由正弦定理可得csB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．
18.【答案】解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，
∵因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，
对角线AC､BD交于O点，所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，在▵DBD1中
∴OE是▵DBD1的中位线∴OE//BD1；
又为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1//平面AEC．
(2)证明：CC1上的中点F即满足平面AEC//平面BFD1．
因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF//ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F//EC，
又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
所以D1F//平面AEC；由(1)知BD1//平面AEC，又因为BD1∩D1F=D1，
所以平面AEC//平面BFD1．

【解析】
(1)通过连接BD，利用正方形的性质，可构造中位线平行关系，即可得到线面平行条件并得以证明;
(2)若F为CC1上的中点，则易构造平行四边形证明CF//ED1，同时由(1)知BD1//平面AEC所以可得面面平行条件，并可证明平面AEC//平面BFD1．
19.【答案】(1)解：因为a=(sinx,12),b=(csx,−1)，且a⊥b，
所以a⋅b=sinx⋅csx−12=0，即sin2x=1，
所以2x=π2+2kπ,k∈Z，解得x=π4+kπ,k∈Z；
(2)解：因为a=(sinx,12),b=(csx,−1)，且a//b，
所以(−1)×sinx=12×csx，即−sinx=12×csx，所以tanx=−12；
(3)解：因为a=(sinx,12),b=(csx,−1)，所以a+b=(sinx+csx,−12)，
所以f(x)=(a+b)⋅b=csx(sinx+csx)+12
=sinxcsx+cs2x+12
=12sin2x+1+cs2x2+12
=12sin2x+12cs2x+1
= 22( 22sin2x+ 22cs2x)+1
= 22sin(2x+π4)+1，
即f(x)= 22sin(2x+π4)+1，
今π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z，
所以函数在R上的单调递减区间为[π8+kπ,5π8+kπ],k∈Z，
因为x∈[−π2,0]，所以函数在[−π2,0]上的单调递减区间为[−π2,−3π8]．
【解析】(1)依题意可得a⋅b=0，根据向量数量积的坐标表示得到方程，再由二倍角公式及正弦函数的性质计算可得；
(2)根据向量共线的坐标表示得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
(3)首先求出a+b的坐标，再根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；