2023-2024学年北京市朝阳区八年级下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区八年级下学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 5B. 8C. 13D. 0.3
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 2× 8=4D. 10÷ 5=2
3.在▵ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A=90∘的是( )
A. a=3,b=4,c=5B. a=6,b=5,c=4
C. a=2,b= 2,c= 2D. a=1,b=2,c= 3
4.如图，AB/​/CD，AD,BC相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是( )
A. ▵ABC和▵ABDB. ▵ACD和▵BCD
C. ▵AOC和▵BODD. ▵AOB和△COD
5.在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
6.满足下列条件的四边形一定是正方形的是( )
A. 对角线互相平分的四边形B. 有三个角是直角的四边形
C. 有一组邻边相等的平行四边形D. 对角线相等的菱形
7.下列函数的图象是由正比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的是( )
A. y=2x+1B. y=2x+2C. y=2x−1D. y=2x−2
8.我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形ABCD的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形ABCD的面积为y，AC的长度为x，则下列图象中，可以表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若 3−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式 ．
11.下表是某校排球队队员的年龄分布，该排球队队员的平均年龄是 岁．
12.如图，DE是▵ABC的中位线，若▵ABC的周长为10，则▵ADE的周长为 ．
13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BEC= ∘．
14.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘,AB=4，P为射线AB上一点，若▵ACP是等腰三角形，则AP的长为 ．
15.直线y=kx+3k−2k≠0一定经过一个定点，这个定点的坐标是 ．
16.如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 27− 8+ 22− 6．
18.(本小题8分)
已知a= 2，求代数式a+ 1−2a+a2的值．
19.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长至点F，使EF=EO，连接AF,BF．
求证：四边形AFBO是菱形．
20.(本小题8分)
数学课上老师提出一个命题：如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形．
下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．
证明：因为ABCD是平行四边形，
所以AD=BC,AB=CD．
又因为BEFC也是平行四边形，
所以BC=EF,BE=CF．
所以AD=EF,AB+BE=DC+CF．
即AE=DF．
所以四边形AEFD是平行四边形．
讨论后大家发现这个证明过程存在问题
(1)请说明该同学证明中出现的问题；
(2)给出正确的证明．
21.(本小题8分)
如图；在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx与y=6−x的图象交于点A．
(1)若点A的横坐标为2，求k的值；
(2)若关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解，直接写出k的取值范围．
22.(本小题8分)
某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a.16名学生的编号与身高：
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
c.分组方案：
(1)写出表中m，n的值；
(2)按照方案一分成的两组中，学生身高更整齐的是_ (填“甲组”或“乙组”)；
(3)如果分成的两组学生的平均身高接近，且身高的方差也接近，则认为这两组学生的身高整体接近，在演出时舞台呈现效果更好．在这四个分组方案中，舞台呈现效果最好的是方案 (填“一”“二”“三”或“四”)．
23.(本小题8分)
《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a，芦苇高出水面的部分CD=nn24.(本小题8分)
如图，E为正方形ABCD内部一点，且AE=AB，BE的延长线交CD于点F．
(1)求证：∠CBF=12∠BAE；
(2)作FG⊥AB于点G，交AE于点H，用等式表示线段AH,BG,FH的数量关系，并证明．
25.(本小题8分)
如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；

(2)当t= _s时，杯中水位最高， 是 cm；
(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为_______cm/s；
(4)求停止注水时t的值；
(5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 _s．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 5是最简二次根式，符合题意；
B、 8=2 2被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 13= 33被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 0.3= 3010被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2和 3不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、3 2− 2=2 2，原式计算错误，不符合题意；
C、 2× 8= 16=4，原式计算正确，符合题意；
D、 10÷ 5= 2，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵a=3,b=4,c=5，
∴a2+b2=32+42=25=c2，
∴∠C=90∘，即∠A≠90∘，故 A不符合题意；
B、∵a=6,b=5,c=4，
∴c2+b2=42+52=41≠a2，
∴∠A≠90∘，故 B不符合题意；
C、∵a=2,b= 2,c= 2，
∴c2+b2= 22+ 22=4=a2，
∴∠A=90∘，故 C不符合题意；
D、∵a=1,b=2,c= 3，
∴c2+a2=12+ 32=4=b2，
∴∠B=90∘，即∠A≠90∘，故 D不符合题意；
故选：C。
4.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴S△ACD=S△BCD,S△ACB=S△ADB，
∴S△ACD−S△COD=S△BCD−S△COD,S△ACB−S△AOB=S△ADB−S△AOB，
∴S▵AOC=S▵BOD，
根据现有条件无法得到▵AOB和△COD的面积相等，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：把正比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的函数解析式为y=2x+1=2x+2，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E；
当E点与B点重合时，AE=2，则x=AC= AB2+BC2=2 2，
此时面积最大，且为2×2=4，
当A往右方向移动时，AE减小，EC也减小，
而x=AC= AE2+EC2跟着减小，
即随着x由2 2减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0；
同理，随着x的增大到2 2，面积也增大到4，
前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足；
故选：D．
9.【答案】x≤3
【解析】解：∵ 3−x在实数范围内有意义，
∴3−x≥0
∴x≤3
故答案为：x≤3
10.【答案】答案不唯一，如y=−x−2
【解析】解：∵一次函数图像过第二、三、四象限，
∴k<0，b<0，
∴此题答案不唯一，如y=−x−2．
故答案为：答案不唯一，如y=−x−2．
11.【答案】14
【解析】解：该排球队队员的平均年龄是12+13+14×3+15×38=14(岁)
故答案为：14．
12.【答案】5
【解析】解：∵DE是▵ABC的中位线，
∴DE=12BC,AD=12AB,AE=12AC，
∴▵ADE的周长为AD+DE+AE=12(AB+BC+AC)=12×10=5；
故答案为：5．
13.【答案】30
【解析】解：正方形ABCD中，AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA=90∘；
∵▵ADE为等边三角形，
∴AD=AE=DE,∠EAD=∠AED=∠ADE=60∘，
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠EAD=150∘，
∴∠AEB=12(180∘−∠BAE)=15∘；
同理，∠DEC=15∘；
∴∠BEC=∠AED−∠AEB−∠DEC=60∘−15∘−15∘=30∘；
故答案为：30．
14.【答案】2 3或6或2
【解析】解：∵∠C=90∘,∠A=30∘,AB=4，
∴BC=12AB=2，
由勾股定理得：AC= AB2−BC2=2 3；
当AC=AP时，如图，则AP=2 3；
当AC=PC时，过点C作CE⊥AB于E，如图；
则CE=12AC= 3，AP=2AE，
由勾股定理得：AE= AC2−CE2=3，
∴AP=2AE=6；
当PC=PA时，则∠PCA=∠A=30∘，
∴∠BPC=2∠A=60∘；
而∠ABC=90∘−∠A=60∘，
即∠ABC=∠BPC=60∘，
∴PC=BC=2，
∴△PBC是等边三角形，
∴PB=2，
∴PA=AB−PB=2；
综上，PA的长为2 3或6或2．
15.【答案】(−3,−2)
【解析】解：y=kx+3k−2变形为y=k(x+3)−2，
直线y=kx+3k−2过定点，则与k值无关，
∴x+3=0，
即x=−3，
∴y=−2，
即定点坐标为(−3,−2)；
故答案为：(−3,−2)．
16.【答案】2 5
【解析】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为2a+b，宽为a+2b，
由题意得：(2a+b)(a+2b)−5ab=40，
化简得a2+b2=20，
∴ a2+b2= 20=2 5；
即小矩形对角线的长为2 5．
故答案为：2 5．
17.【答案】解： 27− 8+ 22− 6
=3 3−2 2+2 2− 12
=3 3−2 3
= 3．
18.【答案】解：∵a= 2>1，
∴a+ 1−2a+a2
=a+ (a−1)2
=a+a−1
=2a−1，
当a= 2时，原式=2 2−1．

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可．
19.【答案】证明：∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
又∵EF=EO，
∴四边形AFBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴四边形AFBO是菱形．
【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四边形AFBO是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到OA=OB，由此即可证明四边形AFBO是菱形．
20.【答案】(1)解：∵题中并没有指明A、B、E三点共线，C、D、F三点共线，
∴由AB+BE=DC+CF并不能得到AE=DF；
(2)证明：因为ABCD是平行四边形，
所以AD=BC,AD//BC．
又因为BEFC也是平行四边形，
所以BC=EF,BC//EF．
所以AD=EF,AD//EF．
所以四边形AEFD是平行四边形．
【解析】
(1)题中并没有指明A、B、E三点共线，C、D、F三点共线，则无法证明AE=DF；
(2)由平行四边形对边相等且平行得到AD=BC,AD//BC，BC=EF,BC//EF，进而得到AD=EF,AD//EF，由此即可证明四边形AEFD是平行四边形．
21.【答案】(1)解：当x=2时，y=6−2=4，
则A(2,4)；
把A的坐标代入y=kx中，得4=2k，即k=2；
(2)解：由(1)知，当x=2时，k=2；
当x=3时，y=6−3=3，即B3,3，如下图所示；
把点B坐标代入y=kx中，得3=3k，即k=1；
由图知，当1≤k<2时，关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解．
故k的取值范围为1≤k<2．
【解析】
(1)把点A的横坐标为2代入y=6−x中，得A点坐标，把A点坐标代入y=kx中，即可求得k的值；
(2)由(1)知，当x=2时，求得k的值为2；当x=3时，可求得k的值；结合图形，当k的值位于这两者之间时，保证关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解．
22.【答案】(1)解：由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，
则m=166+1662=166；
从表中知，数据165出现的次数最多，故众数n=165；
故答案为：166；165；
(2)解：甲组中最大与最小数据的差为166−161=5，
乙组中最大与最小数据的差为175−166=9，而9>5，
表明甲组的数据更接近平均数，即甲组的波动程度更小，学生身高更整齐；
故选：甲；
(3)解：方案一：甲组平均数为：18(161+2×162+164+3×165+166)=163.75，
乙组的平均数为：18(166+167+2×168+170+2×172+175)=169.75
方案二：甲组平均数为：18(161+162+2×165+166+168+170+172)=166.125，
乙组的平均数为：18(162+164+165+166+167+168+172+175)=167.375
方案三：甲组平均数为：18(161+162+2×165+167+168+172+175)=166.875，
乙组的平均数为：18(162+164+165+2×166+168+170+172)=166.625；
方案四：甲组平均数为：18(161+164+165+2×166+168+170+175)=166.875，
乙组的平均数为：18(2×162+2×165+167+168+2×172)=166.625；
方案三、四中两组的平均数更接近；
而方案三中，甲组最大与最小的差为14，乙组中最大与最小的差为10；方案四中甲组最大与最小的差为11，乙组中最大与最小的差为10；表明方案四中两组的方差更接近，故方案四舞台呈现效果最好；
故答案为：四．
【解析】
(1)由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，由中位数的意义则可求得中位数m的值；找到出现次数最多的即可；
(2)根据两组中最大值与最小值的差即可作出判断；
(3)分别计算各个方案中每组的平均数，选择平均数最接近的两组，再计算出方案中两个组的最大值与最小值的差，可判断出数据的稳定性，从而作出判断．
23.【答案】(1)解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为OC=OD+CD=(x+1)尺，
由题意有：OE=OC=(x+1)尺；
∵O为AB中点，且AB=1丈=10尺，
∴OA=12AB=12×10=5(尺)；
在Rt▵EAO中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2，
即x2+52=(x+1)2，
解得：x=12；
即OD=12尺；
答：水池的深度OD为12尺；
(2)证明：水池深度OD=b，则芦苇高度为OC=OD+CD=b+n，
由题意有：OE=OC=b+n；
∵O为AB中点，且AB=2a，
∴OA=12AB=a；
在Rt▵EAO中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2，
即b2+a2=(b+n)2，
整理得：b=a2−n22n；
表明刘徽解法是正确的．
【解析】
(1)设水池深度为x尺，则得芦苇高度为(x+1)尺，在Rt▵EAO中，利用勾股定理建立方程即可求解；
(2)由水池深度OD=b，则得芦苇高度为OC=OD+CD=b+n，由题意有：OE=OC=b+n；由勾股定理即可得证．
24.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90∘，
如图1，作AM⊥BE于M，
图1
∵AE=AB，
∴∠BAM=∠EAM=12∠BAE，
∵∠CBF+∠ABF=90∘=∠BAM+∠ABF，
∴∠CBF=∠BAM=12∠BAE，
∴∠CBF=12∠BAE；
(2)解：AH=BG+FH，证明如下；
∵正方形ABCD，FG⊥AB，
∴四边形BCFG是矩形，
∴BG=CF，
如图2，将▵BCF绕着点B逆时针旋转90∘到▵BAP，连接PF交AH于Q，
图2
由旋转可知，∠BAP=90∘=∠C，∠BPA=∠BFC，∠FBP=90∘，BP=BF，PA=CF=BG，
∴∠BAP+∠BAD=180∘，∠BFP=∠BPF=45∘，
∴P、A、D三点共线，
设∠CBF=α，则∠BAE=2α，∠BPA=∠BFC=90∘−α，
∴∠DAE=90∘−∠BAE=90∘−2α，∠FPA=∠BPA−∠BPF=45∘−α，
∴∠AQP=∠DAE−∠FPA=45∘−α=∠FPA，
∴QA=PA=BG，
∵GF//AD，
∴∠QFH=∠FPA=45∘−α=∠AQP=∠FQH，
∴FH=QH，
∴AH=QA+QH=BG+FH，
∴AH=BG+FH．
【解析】
(1)如图1，作AM⊥BE于M，由AE=AB，可得∠BAM=∠EAM=12∠BAE，由∠CBF+∠ABF=90∘=∠BAM+∠ABF，可得∠CBF=∠BAM=12∠BAE，进而结论得证；
(2)证明四边形BCFG是矩形，则BG=CF，如图2，将▵BCF绕着点B逆时针旋转90∘到▵BAP，连接PF交AH于Q，由旋转可知，∠BAP=90∘=∠C，∠BPA=∠BFC，∠FBP=90∘，BP=BF，PA=CF=BG，可求∠BAP+∠BAD=180∘，∠BFP=∠BPF=45∘，即P、A、D三点共线，设∠CBF=α，则∠BAE=2α，∠BPA=∠BFC=90∘−α，∠DAE=90∘−2α，∠FPA=45∘−α，∠AQP=∠DAE−∠FPA=45∘−α=∠FPA，则QA=PA=BG，由GF//AD，可得∠QFH=∠FPA=45∘−α=∠AQP=∠FQH，则FH=QH，AH=QA+QH=BG+FH．
25.【答案】(1)解：描点如下

(2)3；6；
(3)2；
(4)3；
(5)11．
【解析】
(1)描点即可；
(2)由表格即可求解；
(3)由表格即可求解；
(4)由表格即知；
(5)由表知，经过4秒排了一半，则经过8秒排完，再加上注满水的时间，即可求得总时间．
年龄/岁
12
13
14
15
频数
1
1
3
3
编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
身高
161
162
162
164
165
165
165
166
编号
⑨
⑩
⑪
⑫
⑬
⑭
⑮
⑯
身高
166
167
168
168
170
172
172
175
平均数
中位数
众数
166.75
m
n

甲组队员编号
乙组队员编号
方案一
①②③④⑤⑥⑦⑧
⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯
方案二
①③⑤⑦⑨⑪⑬⑮
②④⑥⑧⑩⑫⑭⑯
方案三
①③⑤⑦⑩⑫⑭⑯
②④⑥⑧⑨⑪⑬⑮
方案四
①④⑤⑧⑨⑫⑬⑯
②③⑥⑦⑩⑪⑭⑮
时间(t/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
水位高度(ℎ/cm)
2
4
6
5.75
5.5

3