2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练 题型一 规律探索题 (含答案)

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(1)若一列正整数：1，2，3，4，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是______，这n(n≥1)个数的和为______．
(2)若一列数：1，3，5，7，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是______，这n(n≥1)个数的和为______．
(3)若一列数：2，4，6，8，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________．
(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
能力提升
(6)若一列数：1，4，9，16，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(7)若一列数：2，5，10，17，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(8)若一列数：0，3，8，15，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(9)若一列数：4，7，10，13，17，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
(10)若一列数：2，6，12，20，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．
类型一 图形累加型
典例精讲
例 下列图形都是由同样大小的三角形按照一定规律所组成的，其中图①中一共有3个三角形，图②中一共有6个三角形，图③中一共有10个三角形，…，按此规律排列下去，则图⑨中三角形的个数为________，图中三角形的个数为________．
例题图
55，eq \f(（n＋1）（n＋2）,2) 【解析】设第一个图形中三角形的个数为3＝1＋2，第二个图形中三角形的个数为6＝1＋2＋3，第三个图形中三角形的个数为10＝1＋2＋3＋4，…，第n个图形中三角形的个数为an，根据题意列表如下：
由列表可知，图⑨中三角形的个数为1＋2＋3＋…＋9＋10＝55，图中三角形的个数为1＋2＋3＋…n＋n＋1＝eq \f(（n＋1）（n＋2）,2).
针对训练
1. 如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，图①中有3个菱形，图②中有5个菱形，图③中有7个菱形，…，按此规律摆下去，图中菱形的个数为________．
第1题图
2. 下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第________个图形共有210个小球．
第2题图
3. 如图，每个图案均由大小相同的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中正三角形的个数比圆的个数多________个．(由含n 的代数式表示)
第3题图
4. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依照此规律，第n个图形中白色正方形的个数为________．
第4题图
5 用大小相等的黑白棋子组成下列一组图形：
第5题图
按照这样的规律摆下去，若第n个图形中有416枚白棋，则n的值为________．
6. 海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有______个菱形，第n个图中有________个菱形 (用含n的代数式表示)．
第6题图
类型二 图形成倍递变型
典例精讲
例 如图，四边形ABC1D是菱形，且AC1＞BD，∠BAD＝60°，AB＝2，以对角线AC1为边作菱形AC1C2E，使点D在对角线AC2上，再以对角线AC2为边作菱形AC2C3F，使点E在对角线AC3上，…，如此下去，则对角线ACn的长度为________．
例题图
【答案】2(eq \r(3))n
【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出AC1，AC2的长度即可找出ACn长度的规律．
步骤一 求AC1的长：
由基本模型图可知，菱形对角线的交点分别为O1、O2，∵四边形ABC1D是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，∴∠C1AB＝30°，∴在Rt△ABO1中，cs30°＝eq \f(AO1,AB)，∴AO1＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，∴AC1＝2AO1＝2eq \r(3).
步骤二 求AC2的长：
在Rt△AC1O2中，cs30°＝eq \f(AO2,AC1)，∴AO2＝eq \f(\r(3),2)×2eq \r(3)＝3，∴AC2＝2AO2＝6＝2eq \r(3)×eq \r(3)＝2(eq \r(3))2，
步骤三 总结，同理可得ACn的长度：
同理可得AC3＝2(eq \r(3))3，AC4＝2(eq \r(3))4，…，依此类推，
∴ACn＝2(eq \r(3))n.
徐州近年中考真题精选
1. 如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
第1题图
2.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第n个正方形的边长为________．
第2题图
3. 如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝eq \r(3).过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；…；按此规律，所得线段A20B20的长等于________．
第3题图
针对训练
1. 如图，在边长为1的正方形OABC中，以点O为圆心，OA长为半径画弧，以点O为顶点在扇形OAC中作第2个正方形OA1B1C1，使点B1在eq \(AC,\s\up8(︵))上，点C1在边OC上；再以点O为圆心，OA1长为半径画弧，以点O为顶点在扇形OA1C1中作第3个正方形OA2B2C2，使点B2在eq \(A1C1,\s\up8(︵))上，点C2在边OC上；…；则第2022个正方形的边长是________．
第1题图
2. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC为对角线，记△ABC的面积为S1，取AC中点O，连接DO，记△COD的面积为S2，取AD中点E，连接OE，记△AOE的面积为S3，取OD的中点F，连接EF，记△EOF的面积为S4，如此下去，则S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝________．
第2题图
3. 如图①，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2，如图②；…；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为________．
第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq \r(2)，CD⊥AB，垂足为D，以BD为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt△BDE，DF⊥BE，再以BF为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt△BFG，如此下去，如果Rt△ABC的斜边记为c1，上述方法所作的等腰直角三角形的斜边依次记为c2，c3，c4，…，cn，则c2022＝________.
第4题图
5. 如图①，正六边形ABCDEF的边长为1 ，把它的各边延长一倍得到新正六边形A1B1C1D1E1F1(如图②)，称为第一次扩展；把正六边形A1B1C1D1E1F1边按原方法延长一倍得到正六边形A2B2C2D2E2F2(如图③)，称为第二次扩展；如此下去，…，第n次扩展得到正六边形AnBnCnDnEnFn，则eq \f(A1B1,AB)＝________；第n次扩展得到正六边形AnBnCnDnEnFn的面积是________．
第5题图
6.如图，点B1在直线l：y＝eq \f(1,2)x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn＋1Cn的边长为________(结果用含正整数n的代数式表示)．
第6题图
参考答案
基础小练
(1)n；eq \f(n（n＋1）,2).
(2)(2n－1)；n2. (3)2n；(n2＋n)．
(4)(－1)n. (5)(－1)n＋1.
能力提升
(6)n2. (7)(n2＋1)．
(8)(n2－1)． (9)(3n＋1)．
(10)n(n＋1)．
类型一 图形累加型
针对训练
1. (2n＋1) 【解析】由题意可知，图①中有2×1＋1＝3个菱形，图②中有2×2＋1＝5个菱形，图③中有2×3＋1＝7个菱形，∴图中有(2n＋1)个菱形．
2. 20 【解析】 第1个图中有1 个小球，第2个图中有1＋2＝3个小球，第3个图中有1＋2＋3＝6个小球，第4个图中有1＋2＋3＋4＝10个小球，则第n个图中有1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2)个小球，令210＝eq \f(n（n＋1）,2)，则n＝20.
3. (2n＋1) 【解析】第一个图中有1 个圆，有1×3＋1＝4个三角形，第二个图中有2个圆，有2×3＋1＝7个三角形，第三个图中有3个圆，有3×3＋1＝10个三角形，以此类推，第n个图中有n个圆，有n×3＋1个三角形，则第个图中三角形的个数比圆的个数多n×3＋1－n＝(2n＋1)个．
4. (3n＋2) 【解析】图①中白色正方形的个数为：2＋3×1＝5，图②中白色正方形的个数为：2＋3×2＝8，图 ③中白色正方形的个数为：2＋3×3＝11，…，则第n个图形中白色正方形的个数为：2＋3n.
5. 19 【解析】第1个图形中白棋的个数为2×3－4＝2，第2个图形中白棋的个数为3×4－4＝8，第3个图形中白棋的个数为4×5－4＝16，第4个图形中白棋的个数为5×6－4＝26，…，∴第n个图形中白棋的个数为(n＋1)(n＋2)－4，当(n＋1)(n＋2)－4＝416时，解得n＝19(负值已舍去)．
6. 41，(2n2－2n＋1) 【解析】观察题图可以发现：第1个图中菱形个数为1＝12＋02，第2个图中菱形个数为5＝22＋12，第3个图中菱形个数为13＝32＋22，第4个图中菱形个数为25＝42＋32，则第5个图中菱形个数为52＋42＝41个，以此规律可得第n个图中菱形个数为n2＋(n－1)2＝(2n2－2n＋1)个．
类型二 图形成倍递变型
徐州近年中考真题精选
1. (eq \r(2))n 【解析】由等腰直角三角形的性质可知，OA1＝eq \r(2)OB＝eq \r(2)，OA2＝eq \r(2)OA1＝(eq \r(2))2，OA3＝eq \r(2)OA2＝(eq \r(2))3，…，OAn＝(eq \r(2))n.
2. (eq \r(2))n－1 【解析】第一个正方形的边长为1，它的对角线为第二个正方形的边长，即为eq \r(2)，第二个正方形的对角线为第三个正方形的边长，即为eq \r(2)×eq \r(2)＝(eq \r(2))2，同理，第四个正方形的边长为(eq \r(2))3，以此规律可得，第n个正方形的边长为(eq \r(2))n－1.
3. 219 【解析】∵B1O＝B1A2，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1＝eq \f(1,2)B2A2，∴A2B2＝2A1B1，同理A3B3＝2A2B2＝22A1B1，…，则A20B20＝219A1B1，∵A1B1＝OA1·tan30°＝1，∴A20B20＝219.
针对训练
1. (eq \f(\r(2),2))2021 【解析】如解图，连接OB，则正方形的顶点B1，B2，B3，…都在OB上，第2个正方形的对角线OB1＝OA＝1，边长为1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)；第3个正方形的对角线OB2＝OA1＝eq \f(\r(2),2)，边长为eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝(eq \f(\r(2),2))2，…，第n个正方形的边长为(eq \f(\r(2),2))n－1，∴第2022个正方形的边长为(eq \f(\r(2),2))2021.
第1题解图
2. 1－eq \f(1,22022) 【解析】由题意可得S1＝eq \f(1,2)，S2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)，S3＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)，S4＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)，…，∴Sn＝eq \f(1,2n)，∴S1＋S2＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝1－eq \f(1,4)＝1－S2，S1＋S2＋S3＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＝1－eq \f(1,8)＝1－S3，S1＋S2＋S3＋S4＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＝1－eq \f(1,16)＝1－S4，∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝1－S2022＝1－eq \f(1,22022).
3. 625 【解析】最初边长为1，面积1，延长一次边长为eq \r(5)，面积5，再延长一次边长为51＝5，面积52＝25，下一次延长边长为5eq \r(5)，面积53＝125，以此类推，当n＝4时，正方形A4B4C4D4的面积为54＝625.
4. eq \f(（\r(2)）2021,22020) 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq \r(2)，∴c1＝2.∵CD⊥AB，垂足为D，以BD为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt△BDE，c2＝eq \r(2)，再以BF为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt△BFG，c3＝1，如此下去，c4＝eq \f(\r(2),2)，…，cn＝2×(eq \f(\r(2),2))n－1，∴c2022＝2×(eq \f(\r(2),2))2021＝eq \f(（\r(2)）2021,22020).
5. eq \r(3)；eq \f(\r(3),2)×3n＋1 【解析】由题意可知AB＝1，∴AB1＝2，A1B1＝eq \r(22－1)＝eq \r(3)，∴eq \f(A1B1,AB)＝eq \r(3).由题意可知eq \f(S正六边形AnBnCnDnEnFn,S正六边形ABCDEF)＝3n，S正六边形ABCDEF＝6×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×1＝eq \f(3\r(3),2)，∴S正六边形AnBnCnDnEnFn＝eq \f(\r(3),2)×3n＋1.
6. eq \f(\r(5),2)×(eq \f(3,2))n－1 【解析】如解图，过点B1作B1D⊥x轴，∵点B1的横坐标为2，点B1在直线y＝eq \f(1,2)x上，∴B1D＝1，∵∠OB1A1＝90°，∴∠A1B1D＝∠B1OD，可得DA1＝eq \f(1,2)，则A1B1＝eq \f(\r(5),2)，∵∠A2A1C1＝∠A1OB1，∴可得A2C1＝eq \f(1,2)A1C1，∴A2B2＝eq \f(\r(5),2)(1＋eq \f(1,2))＝eq \f(\r(5),2)×eq \f(3,2)，以此类推进行计算，可得AnBnBn＋1Cn的边长为eq \f(\r(5),2)×(eq \f(3,2))n－1.
第6题解图
图序n
三角形个数an的值
1
1＋2
2
1＋2＋3
3
1＋2＋3＋4
…
…
n
1＋2＋3＋…n＋n＋1