安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

这是一份安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题，共13页。试卷主要包含了答题时，必须使用0，对于实数，下列说法正确的是，已知，则的取值范围是，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知命题，命题，则（ ）
A.命题､命题都是真命题
B.命题的否定､命题都是真命题
C.命题､命题的否定都是真命题
D.命题的否定､命题的否定都是真命题
2.给定两个随机变量和的5组数据如下表所示，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则（ ）
A.时的残差为-1
B.时的残差为1
C.时的残差为-0.9
D.时的残差为0.9
3.若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ）
A. B. C. D.
4.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.对于实数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列说法中正确的是（ ）
A.若，且，则
B.设，若，则
C.已知随机变量的方差为，则
D.若，则当时概率最大
10.已知且，下列等式正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
11.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B.若函数有3个零点，则实数的取值范围是
C.设函数的3个零点分别是，则的取值范围是
D.存在实数，使函数在内有最小值
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.全集，则__________.
13.已知，函数有两个不同极值点，则__________.
14.从一列数中抽取两项，剩余的项分成三组，每组中数的个数均大于零且是3的倍数，则有__________种不同的取法.（答案用表示）
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明证明､过程或演算步骤.）
15.（13分）
（1）解关于的不等式：.
（2）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
16.（15分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生，得到如下等高堆积条形图：
从所有学生中获取容量为100的样本，由样本数据整理得到如下列联表：
（1）根据样本数据，依据的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性别有关联？与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致？试解释其中原因.
（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，依据的独立性检验，与原样本数据得到的结论是否一致？试解释其中原因
参考公式：其中.
17.（15分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点是函数到点的“最近点”.
（1）对于和点，求点，使得点是到点的“最近点”.
（2）对于，请判断是否存在一个点，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直，若存在，求出点；若不存在，说明理由.
18.（17分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选人选人选，则选择的人获奖；5人中3人选人选人选，则选择和的人均获奖；如中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖）
（1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率；
（2）设每组5人中获奖人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（3）商家提供方案2：将三个字母改为和两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2？
19.（17分）函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；
（3）设，若是函数在上的极值点，求证：.
合肥一中2023~2024学年度高二下学期期末联考
数学参芳答案
一.单选题
1.【答案】D
【解析】对于命题，当时，，故是假命题，则的否定为真命题，对于命题，故是假命题，的否定是真命题，综上可得，的否定和的否定都是真命题.
故选D.
2.【答案】A
【解析】由已知，
因为点在回归直线上，
所以，
所以时残差为.
故选：A.
3.【答案】D
【解析】，
所以.即该质点在时的瞬时速度为；
从到这两秒内的平均速度为；
故选：D.
4.【答案】B
【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿.
故选：B.
5.【答案】D
【解析】对于选项A，若时，，则错误.
对于选项B，若，当，则，则B错误.
对于选项C，若取，则，故错误.
对于选项D，因为函数在上单调递增，故D正确.
故选：D.
6.【答案】A
【解析】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以.
则即，通项公式为，
故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项，
把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4
个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种，
故奇次项都互不相邻的概率为，
故选：A.
7.【答案】C
【解析】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，由，得，化简得，解得，即本次测试的不合格率为.
故选：C.
8.【答案】
【解析】因为，当且仅当时等号成立.
，由对勾函数性质，所以，
则，同理
则，
故的取值范围是.
故选：B.
二､多选题
9.【答案】ABD
【解析】对于选项A，若，则A正确.
对于选项，设，则，解得，则B正确.
对于选项C，，故C错误.
对于选项D，因为，则；
因为，若，
则当时，，当时，，
即，所以当时概率最大，故D正确.
故选：ABD.
10.【答案】BD
【解析】对于选项A，，则A错误.
对于选项B，，所以，则B正确.
对于选项，故C错误.
对于选项D，考虑二项式展开式的前的系数是，又因为
的前的系数可看成，故D正确.
故选：BD.
11.【答案】BC
【解析】对于选项A，若函数在上单调递增，则，即，即，则A错误.
对于选项B，令，当时，，若函数有3个零点，则需有一个零点，则；
当时，得，若函数有3个零点，则需有两个不等的负实根
，则，解得.
故若函数有3个零点，则的取值范围是，则B正确.
对于选项，设函数的3个零点分别是，则，得，令则，则在上单调递减，
当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为
即的取值范围是，故C正确.
对于选项D，当时，函数是开口向下的二次函数，故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，故；要使函数在内有最小值，即，即，故无解，所以不存在，故
错误.
故选：BC.
三､填空题
12.【答案】
解析：，所以
13.【答案】4.
解析：由三次函数对称性可知.答案：4.
（24年全国1卷18题第2问思路）
另解：解得
所以
14.答案：.
解析：设三组中的数的个数分别为
则，所以
隔板法可得.
（24年全国1卷19题第3问思路）
四､解答题
15.解析：（1）因为解得
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
（2）易知在上有解，所以..
因为，所以.
所以.
答案：
16.解析：（1）零假设为：是否喜欢篮球和学生性别没有关联.
.
根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该高中学生是否喜欢篮球和学生性别没有关联.5分
不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论..
（2）将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算：
.
根据独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联
与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断结论发生了变化.
17.解析：（1），当且仅当时，等号成立，所以当时，
点是到点的“最近点”；.
（2）；
所以
记，则在上单调递增，
因为，所以在单调递减，在单调递增，
所以，即点是到点的“最近点”.
切点为，则在点处的切线的斜率为1，
所以直线与在点处的切线垂直，
当且仅当取时，它是到点的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直.
18.解析：（1）设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B.
.
（2）的可能取值为
所以的分布列为：
的数学期望
（3）选择方案1获取奖金总额的数学期望为
设选择方案2获奖人数为的可能取值为.
则
方案2获奖人数的数学期望.
选择方案2获取奖金总额的数学期望为.
因为.所以选择方案2.
19.解析：（1）的定义域为
.得到.
所以在单调递增，在和单调递减.
（2）因为，所以
设切点坐标为，则切线方程为
因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或.
在切线方程中，令，得，
解得
令，则或，
可得.
即在轴上的截距的取值范围为.
（3）因为.则
当时，.故在上单调递减.
当时，令
则
所以在上单调递减，因为，
所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点
当时，，即，
当时，，即，所以时取最大值.
所以，
即得证.1
2
3
4
5
2
4
4
7
8
男生
女生
合计
喜欢
35
15
50
不喜欢
25
25
50
合计
60
40
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1