江西省上饶市广丰洋口中学2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷

这是一份江西省上饶市广丰洋口中学2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数f(x)及其导函数f'(x)定义域均为R，满足f(32+x)-f(32-x)=4x，且f(x+3)为奇函数，记g(x)=f'(x)，其导函数为g'(x)，则g(152)+g'(2025)=( )
A．-2B．2C．1D．0
2．已知函数 f(x)=sin(ωx+π3) ，( ω>0 )在区间 [-2π3，5π6] 上是增函数，且在区间 [0，π] 上恰好取得一次最大值1，则 ω 的取值范围是（ ）
A．(0，15]B．[12，35]C．[16，15]D．[12，52)
3．关于函数 f(x)=|tanx| 的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A．f(x) 的最小正周期为 π2
B．f(x) 是偶函数
C．f(x) 的图像关于直线 x=kπ2(k∈Z) 对称
D．f(x) 在每一个区间 (kπ，kπ+π2)，k∈Z 内单调递增
4．已知点A（0，1），B（3，2），向量AC→=（﹣4，﹣3），则向量BC→=（ ）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）
C．（﹣1，4） D．（1，4）
5．已知α是第二象限角，sinα=513，则csα=( )
A．-513B．-1213C．513D．1213
6．已知z=2-i，则z(z+i)=（ ）
A．6-2iB．4-2iC．6+2iD．4+2i
7． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ）
A．2B．157C．177D．197
8．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n
B．若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β
C．若α∩β=m，n//α，n//β，则m//n
D．若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(-3,4)为其终边上一点，若角 β 的终边与角2α的终边关于直线y=-x对称，则( )
A．cs(π+α)=35B．β=2kπ+π2+2α(k∈Z)
C．tanβ=724D．角 β 的终边在第一象限
10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，且AB=BC=CC1=2，M为线段BC上的动点，则( )
A．AB1⊥A1M
B．三棱锥C1-AMB1的体积不变
C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+5
D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC-A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
11．欧拉公式exi=csx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A．eπi=1B．eπi2为纯虚数
C．|exi3+i|=12D．复数e2i对应的点位于第三象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知将函数 f(x)=3sinxcsx+cs2x-12 的图象向左平移 5π12 个单位长度后得到 y=g(x) 的图象，则 g(x) 在 [-π12，π3] 上的值域为 ．
13．已知tan(α-π4)=2，则5sin2α+sin2α= ．
14．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF．则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+12(x∈R,ω>0)的最小正周期为π．
（1）求f(x)单调递增区间；
（2）当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的值域．
16．（15分）如图，在△ABC中，|AB|=|AC|=4，AB⋅AC=8，BD=34BC，AE=λAD(0<λ<1).
（1）证明：△ABC为等边三角形.
（2）试问当 λ 为何值时，AE⋅BE取得最小值？并求出最小值.
（3）求|BE|2|ED|+613|AD|的取值范围.
17．（17分）已知函数f(x)=23sinx-csx+2cs2x．
（1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f(x)在区间[-π6,5π12]上的最大值、最小值及相应的x的值．
18．（15分）已知复数z1=2-m2+(2m-1)i，z2=λ+sinθ-(1-2csθ)i（其中i是虚数单位，m，λ∈R）.
（1）若z1在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数m的值；
（2）若z1=z2，求实数λ的取值范围.
19．（17分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AD1，CD1的中点.
（1）证明：EF//平面ABCD.
（2）求异面直线EF与BC1所成角的大小.
（3）求直线BD与平面D1EF所成角的正切值.
高一数学参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】【解答】解：解法一：(复合函数法)
令 X=ωx+π3 ， -2π3≤x≤5π6 ，
则 -2πω3+π3≤X≤5πω6+π3 .
所以函数 y=sinX 在区间 [-2πω3+π3，5πω6+π3] 上单调递增，
从而可得 [-2πω3+π3，5πω6+π3]⊆[-π2，π2] ，
则 -π2≤-2πω3+π35πω6+π3≤π2 ，解得 ω≤15 .
当 0≤x≤π 时， π3≤X≤πω+π3 ，
所以函数 y=sinX 在区间 [π3，πω+π3] 恰好取一次最大值1，
所以 π2≤πω+π3<5π2 ，解得 16≤ω≤136 .
综上所知 16≤ω≤15 .
故答案为：C
解法二：(特殊值法)
当 ω=12 时，令 X=x2+π3 ， -2π3≤x≤5π6 ，
则 0≤X≤3π4 ，则函数 y=sinX 在区间 [0，3π4] 上不单调，
所以 ω=12 不合题意，排除B、D.
当 ω=112 时，令 X=x12+π3 ， 0≤x≤π ，
则 π3≤X≤5π12 ，则函数 y=sinX 在区间 [π3，5π12] 取不到最大值1，
所以 ω=112 不合题意，排除A.
故答案为：C
【分析】解法一：(复合函数法)令 X=ωx+π3 ，根据 -2π3≤x≤5π6 ，得出 -2πω3+π3≤X≤5πω6+π3 .再根据 y=sinX 的单调性得出 [-2πω3+π3，5πω6+π3]⊆[-π2，π2] ，解得 ω≤15 .又因为 0≤x≤π 时， π3≤X≤πω+π3 ，函数在区间 [π3，πω+π3] 恰好取一次最大值1，可得 π2≤πω+π3<5π2 ，即可解得 16≤ω≤136 .解法二：(特殊值法)代入特殊值当 ω=12 ， ω=112 ，逐项排除即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】因为 f(x+π2)=|tan(x+π2)|=|1tanx|≠f(x) ，所以A不符合题意； f(-x)=|tan(-x)|=|tanx|=f(x) ，所以函数 f(x) 是偶函数，B符合题意；由 f(x)=|tanx| 的图像可知，C、D均正确，
故答案为：A.
【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到AB→=（3，1），向量AC→=（﹣4，﹣3），
则向量BC→=AC→-AB→=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【分析】顺序求出有向线段AB→，然后由BC→=AC→-AB→求之．
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵z=2-i，
∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i．
故选：C．
【分析】把z=2-i代入z(z+i)，再由复数代数形式的乘除运算求解即可．
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：根据题意可得：sinα=45,csα=-35，则sin2α=2sinαcsα=-2425，cs2α=1-2sin2α=-725，所以θ-7，-24是2α终边上一点，所以θ'24,7是 β 终边上一点，所以sinβ=725,csβ=2425，对于A选项：cs(π+α)=-csα=35，故A选项正确；
对于B选项：采用反证法：假设B选项正确，则csβ=cs2kπ+2α+π2=cs2α+π2=-sin2α=2425，sinβ=sin2kπ+2α+π2=sin2α+π2=cs2α=-725，与已知得到的结论矛盾，故B选项错误；
对于C选项：tanβ=sinβcsβ=725÷2425=724，故C选项正确；
对于D选项：根据θ'24,7是 β 终边上一点，可得 角 β 的终边在第一象限 ，故D选项正确.
故答案为ACD.
【分析】本题主要考查象限角，终边相同的角，同角三角函数关系，正弦及与余弦的倍角公式，根据题意可得：sinα=45,csα=-35，结合诱导公式，同角三角函数关系即可判定AC选项，再根据终边相同的角的三角函数关系即可判定BD选项.
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A：eπi=csπ+isinπ=-1，A不符合题意；
对于B：eπi2=csπ2+isinπ2=i，所以eπi2为纯虚数，B符合题意；
对于C：|exi3+i|=|exi||3+i|=|csx+isinx||3+i|=cs2x+sin2x(3)2+12=12，C符合题意；
对于D：e2i=cs2+isin2，则复数e2i在复平面内对应的点为(cs2，sin2)，
因为π2<2<π，所以cs2<0，sin2>0，所以点(cs2，sin2)位于第二象限，
即复数e2i对应的点位于第二象限，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D.
12．【答案】[-1，12]
【解析】【解答】 f(x)=3sinxcsx+cs2x-12=32sin2x+12+12cs2x-12=sin(2x+π6) ，向左平移 5π12 个单位长度后得到 y=g(x) 的图象，则 g(x)=sin[2(x+5π12)+π6] =sin(2x+π) =-sin2x ， ∵-π12≤x≤π3 ， -π6≤2x≤2π3 ， -12≤sin2x≤1，∴-1≤-sin2x≤12 ，则 g(x) 在 [-π12，π3] 上的值域为 [-1，12] .
【分析】先利用三角变换化简函数f(x)，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换求得g（x）的解析式，再结合正弦函数的定义域和值域，即可求得g（x）在给定区间上的值域．
13．【答案】-2110
14．【答案】25+324
【解析】【解答】解：下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，
∴MN//EF，又MN⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN//平面AEF；
∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N//AE，又A1N⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N//平面AEF，
又A1NMN=N，A1N,MN⊂平面A1MN，∴平面A1MN//平面AEF，
Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q//平面AEF，
则Q必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M=A1B12+B1M2=1+(12)2=52，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=52，
∴△A1MN为等腰三角形，
当Q在MN中点O时A1Q⊥MN，此时A1Q最短，Q位于M、N处时A1Q最长，
A1O=A1M2-OM2=(52)2-(24)2=324，
A1M=A1N=52，
所以线段A1Q长度的是大值与最小值之和为324+52=25+324．
【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，利用三角形的中位线定理可证明MN//平面AEF，利用正方体的结构特征可证明A1N//平面AEF，进而推出平面A1MN//平面AEF，据此可推出A1Q//平面AEF，进而证明出Q点的轨迹为线段MN，通过分析点Q的位置可得：Q在MN中点O时A1Q⊥MN，此时A1Q最短，Q位于M、N处时A1Q最长，利用勾股定理可计算出A1Q的最值，求出答案.
15．【答案】（1）解：∵函数f(x)的最小正周期为π且ω>0，
∴T=π，即2π2ω=π，得ω=1，
则f(x)=sin(2x+π6)+12，
由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得2kπ-2π3≤2x≤2kπ+π3，k∈Z，得kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6]，k∈Z．
（2）解：∵x∈[0,π3]，∴2x∈[0,2π3]，2x+π6∈[π6,5π6]，
当2x+π6=π6或5π6时，函数f(x)取得最小值，函数f(x)的最小值为f(x)=sinπ6+12=12+12=1，
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值，函数f(x)的最大值为f(x)=sinπ2+12=1+12=32，
即函数的值域为[1,32].
16．【答案】（1）因为AB⋅AC=8，所以cs=AB∙AC|AB||AC|=84×4=π3，
因为〈AB,AC〉∈(0,π)，所以=π3，
因为|AB|=|AC|，所以△ABC为等边三角形.
（2）AE=λAD=λ(AB+34BC)=λ(AB+34AC-34AB)=14λAB+34λAC，
BE=BA+AE=BA+14λAB+34λAC=(14λ-1)AB+34λAC，
则AE⋅BE=(14λAB+34λAC)⋅[(14λ-1)AB+34λAC]
=(116λ2-14λ)AB2+(316λ2+316λ2-34λ)AB∙AC+916λ2AC2
=λ2-4λ+3λ2-6λ+9λ2=13λ2-10λ，
当λ=513时，AE⋅BE取得最小值，最小值为2513-10×513=-2513.
（3）由题意可得|AD|=9+16-2×3×4×csπ3=13，
在△ABC中，cs∠ADB=13+9-162×3×13=1313，
设|BE|=m，|DE|=n，n∈(0,13)，
则m2=9+n2-2×3n×1313=n2-61313n+9，
所以|BE|2|ED|+613|AD|=m2n+61313=n2-61313n+9n+61313=n+9n，
因为函数f(n)=n+9n在上单调递减，在(3,13)上单调递增，
且f(3)=3+93=6，
所以|BE|2|ED|+613|AD|的取值范围为[6,+∞).
17．【答案】（1）解：f(x)=23sinx⋅csx+2cs2x=3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1
故T=2π2=π；
由f(x)=2sin(2x+π6)+1，令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
（2）解：当x∈[-π6,5π12]时，2x+π6∈[-π6,π]，
则sin(2x+π6)∈[-12,1]，即f(x)∈[0,3]，
即f(x)在区间[-π6,5π12]上的最小值和最大值分别为0，3，
即2x+π6=-π6时，即x=-π6时，f(x)有最小值0，
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值3．
18．【答案】（1）解：若z1在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
则2-m2=2m-1<0，解得m=-3；
（2）解：若z1=z2，
则2-m2=λ+sinθ①2m-1=-(1-2csθ)②，
由②得m2=cs2θ③，
将①③相加得2=λ+sinθ+cs2θ，
故λ=-cs2θ-sinθ+2=sin2θ-sinθ+1=(sinθ-12)2+34，
因为-1≤sinθ≤1，
则当sinθ=12时，λmin=34，当sinθ=-1时，λmax=3，
所以λ的取值范围为[34，3].
【解析】【分析】(1)由题意可得 z1的实部与虚部相等且小于0，由此列式求解出m的值；
(2)利用两复数的实部与实部、虚部与虚部相等列方程组，可得 λ关于sinθ的函数式，再由配方法求得最值，进而求出实数λ的取值范围.
19．【答案】（1）如图，连接AC交BD于点O，
因为E，F分别为AD1，CD1的中点，所以EF//AC.
因为AC⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，
所以EF//平面ABCD
（2）因AB//CD//D1C1，且AB=CD=D1C1，易得▱ABC1D1，
则有BC1//AD1，由（1）得EF//AC，故EF与BC1所成角为∠D1AC（或其补角）.
因为AC=AD1=CD1，所以∠D1AC=60∘，
即EF与BC1所成角的大小为60∘
（3）连接D1O，过D作DG⊥D1O于点G.
因为DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
所以DD1⊥AC，又BD⊥AC且DD1∩BD=D，
所以AC⊥平面D1DO
因为DG⊂平面D1DO，所以DG⊥AC，
又DG⊥D1O，且AC∩D1O=O，AC,D1O⊂平面ACD1，
所以DG⊥平面ACD1，
所以直线BD与平面D1EF所成角为∠DOD1（或其补角）
因为正方体的边长为1，所以DD1=1，DO=22，
所以tan∠DOD1=DD1DO=2.