北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式完美版课件ppt

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考察下列3个数列的共同特征：（1）一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数组成数列：38,40,42,44,46,…，76.①这个剧场座位安排有何规律？（2）全国统一鞋号中,鞋的各种尺码（表示以mm为单位的鞋底的长度）由大至小可排列为250,245,240,235,230,225,220,215,210, ②这种尺码的排列有何规律？
（3）蓝白两种颜色的正六边形地面砖，按图1-10的规律拼成若 干个图案，前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少？.
研究这些数列的特征及变化规律，可以发现：对于数列①，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2； 对于数列②，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是一5； 对于问题（3）,前4个图案中白色地面砖的块数依次为6,10,14,18.③因此，对于数列③，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4.
等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1）指出定义中的关键词：
⑵由定义得等差数列的递推公式：
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.
练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
例1 判断下面数列是否为等差数列.(1)an=2n-1；(2) an = (-1)n.
解(1)由 an = 2n-l,得 an+1 = 2(n+1)-1,于是an+1-an= [2(n+l)-1]-(2n-1)=2. 由n的任意性知，这个数列是等差数列.(2)a2-a1=1-(-1) = 2,a3-a2 = -1-1 = -2. 因为a2-a1≠a3-a2，所以这个数列不是等差数列.
分析：如果是等差数列，需要证明an+1-an=常数；如果不是等差数列，则举反例.
1，4，7，10，13，16，( ),( )……
你能求出该数列的通项公式吗？
要是有通项公式该有多好啊！
等差数列的通项公式（推导一）
是等差数列，它的公差是d，那么
等差数列的通项公式（推导二）
在等差数列通项公式中，有四个量，
知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等差数列的公差不能为0. (　　)(2)若一个数列从第三项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则该数列为等差数列. (　　)(3)若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差是常数，则该数列为等差数列. (　　)(4)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　)
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)A．2 B．3 C．－2 D．－3
解析：由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.故选C.
例2 (1)求等差数列9,5,1,…的第10项；(2)已知等差数列｛an},an=4n-3,求a1和d.
解(1)由a1 = 9,d=5-9 = -4,得a10=a1 +(n-l)d=9+(10-l)×(-4) = -27.(2)由an =4n-3,得a1=4×1-3 = 1,且d=a2-a1 =(4×2-3) -1 = 4.所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4.
变式 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) ×(-3)=-49.
⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.
例3 已知在等差数列{an}中,a5 = -20,a20=-35.试求出此数列的通项公式.
变式：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。
解：由等差数列的通项公式知
（这是等差数列通项公式的推广形式 ）
例3 在等差数列{an}中 (1)   若a59=70，a80=112，求a101； (2)   若ap=q，aq=p (p≠q)，求ap+q；  (3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n.