北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和优秀课时作业

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考点01：求等差数列前n项和
1．已知等差数列中，，则（ ）
A．24B．36C．48D．96
【答案】C
【分析】利用等差数列通项的性质，可求.
【详解】等差数列中，，
则.
故选：C.
2．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
考点02：等差数列前n项和的基本量计算
3．在等差数列中，首项，公差，若，则等于 .
【答案】34
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程，求出答案.
【详解】因为，
由题知，即，所以.
故答案为：34
4．已知两个等差数列， 的前n项和分别为， . 若 则 .
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式、等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列， 的前n项和分别为，，，
所以.
故答案为：2
考点03：含绝对值的等差数列前n项和
5．已知数列的通项公式为，，则其前项的和为 .
【答案】
【分析】利用分组求和直接计算.
【详解】由，
当时，，
当时，，
所以
，
故答案为：.
6．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式；
（2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∴，解得，
∴.
（2）由（1）知：，则，得，又，
∴时，，而，，
∴数列的前项和，而，，
∴，故.
考点04：由前n项和判断数列是否含是等差数列
7．已知数列的前项和（），则此数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由数列的前n项和得，再由an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得an，验证即可．
【详解】由Sn=n2，得a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n-1．
当n=1时 =1代入上式成立，∴an=2n-1．
故答案为2n-1．
【点睛】本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式的问题，应用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是关键，属于基础题．
8．（多选）无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ）
A．可能为等差数列
B．可能为等比数列
C．中一定存在连续三项构成等差数列
D．中一定存在连续三项构成等比数列
【答案】ABC
【解析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．
考点05：由Sn求通项公式
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
【答案】CD
【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：CD.
10．等差数列中，若，则通项 .
【答案】
【分析】当时，，当时，根据，即可求得，综合即可得答案.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
又，满足上式，所以，
故答案为：
考点06：等差数列片段和的性质及应用
11．设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18B．27C．45D．63
【答案】C
【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，解得.
故选：C
12．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
考点07：前n项和与n的比所组成的等差数列
13．在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10B．100C．110D．120
【答案】B
【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可.
【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，
则，则，又因为，
所以，所以，所以.
故选：B.
14．记为等差数列的前项和.证明：也成等差数列.
【答案】证明见解析
【分析】由等差数列的求和公式可得出，再利用等差数列的定义可证得结论成立.
【详解】证明：设等差数列的公差为，则，则，
故对任意的，，
因此，数列为等差数列.
考点08：两个等差数列的前n项和之比问题
15．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解.
【详解】.
故选：D.
16．等差数列前项和分别为，且，则 .
【答案】/
【分析】通过等差数列性质其前项和，结合已知可得，即可解出答案.
【详解】由等差数列性质可得，解得，
故答案为：.
考点09：等差数列前n项和的其他性质及应用
17．设为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．34B．35C．36D．37
【答案】D
【分析】已知，先由等差数列的性质，求出，然后求出公差，得出.
【详解】因为数列是一个等差数列，且，
所以，即.
又，所以公差，
所以.
故选：D．
18．设等差数列的前项和是，若，则必定有（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以.
故选：A
考点10：等差数列前n项和的二次函数特征
19．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
【答案】A
【解析】利用等差数列的定义及通项公式，判断数列的单调性，进而判断数列前项和的最值.
【详解】由数列为等差数列，且，
得，
故数列为递增数列，且，
所以有最小值，无最大值，
故选：A.
20．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】根据等差数列前n项和的函数特征，即可根据对称性求解.
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，则，
所以可看成关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，
可得，解得k＝2022．
故选：C
考点11：二次函数法求等差数列前n项和的最值
21．数列的前项和，则取最大值时的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质计算可得.
【详解】对于函数对称轴为，开口向下，
所以当时函数取得最大值，
所以当时取得最大值.
故选：B
22．已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
【答案】(1)；
(2)时取得最大值为.
【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为.
考点12：求等差数列前n项和的最值
23．记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．D．
【答案】AC
【分析】利用等差数列的通项公式得到，借助通项公式、求和公式、等差中项性质依次分析，即得解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，则，故，
所以，所以，故A正确；
由于的正负不清楚，故可能为最大值或最小值，故B错误；
因为，则，故C正确；
因为，所以，即，故D错误．
故选：AC.
24．已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项.
【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
考点13：等差数列的简单应用
25．我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道,某无人机生产公司2022年投入研发费用4亿元,计划此后每年研发费用比上一年都增加2亿元,则该公司一年的研发费用首次达到20亿元是在( )
A．2029年B．2030年C．2031年D．2032年
【答案】B
【分析】依题意,该公司每年研发费用依次成等差数列,设为,利用等差数列的通项公式可以得到该公司第年的研发费用,令即可得到结果.
【详解】依题意,该公司每年研发费用依次成等差数列,设为,
可得,公差,
则该公司第年的研发费用为,
令,
则,
所以从2022年开始第9年,即2030年的费用首次达到20亿元.
故选:B.
26．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（ ）
A．6B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知，
，
即，
即，
解得，
所以最小一份的口罩个数为12个，
故选：C．
考点14：根据等差数列前n项和的最值求参数
27．设为数列的前项和，，则取到最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式，可得结果.
【详解】由，可得，故当时，取最小值.
故选：C.
28．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
【答案】ABC
【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案．
【详解】等差数列的前项和为，
，所以，
，所以，所以且，
所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值．
故D正确，ABC错误．
故选：ABC．
考点15：求等差数列奇数项或偶数项的和
29．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.
【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，
奇数项之和为，
偶数项之和为，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为，
故选：D
30．求下列两题：
(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差；
(2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项．
【答案】(1)5；
(2)11．
【分析】（1）利用前12项中奇数项和偶数项和的比和前12项的总和列出方程，求出前12项的奇数项和偶数项的和，然后即可求出公差.
（2）根据等差数列奇数项和偶数项之比可求出项数，然后根据等差数列求和性质即可求解.
【详解】（1）解：由题意得：
设等差数列的首项为，公差为，奇数项和为，偶数项的和为
则由题意得：，解得：
由等差数列性质可知：解得：
故该数列的公差为.
（2）设等差数列中共有项，则奇数项有项，偶数项由项，中间项为第项，记作，奇数项和为，偶数项的和为
由等差数列前项和的性质，可知
又
所以，解得：
又因为，所以
所以这个数列的中间项为，共有项.
1．在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于（ ）
A．24B．26C．28D．25
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式计算即得.
【详解】等差数列中，，因此，
所以数列的前13项之和.
故选：B
2．已知数列的前n项和为，且，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项，公差再根据数列的函数特性判定选项即可.
【详解】由知，
显然时，，所以，
易知，
即数列为等差数列，首项，公差，
所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.
故选：C
3．《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为（ ）
A．1尺B．1.5尺C．11.5尺D．12.5尺
【答案】D
【分析】设夏至的日影长为，公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二节气，其日影之长依次成等差数列，
设夏至的日影长为，公差为，
经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺，
这十二节气的所有日影子长之和为84尺，
所以，解得，
所以大雪的日影子长为（尺）.
故选：D.
4．已知等差数列的前项和为，若，则使成立的的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差，进而求出前项和即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
解得，于是，，
由，得，所以使成立的的最大值为5.
故选：C
5．设是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式得出等差数列的基本量，计算可得结果．
【详解】记等差数列的公差为，
由可得，整理得；
因为，，即；
整理可得，联立可得，，
故；
故选：A．
6．已知等差数列的前项和为，若与是方程的两个实根，则（ ）
A．46B．44C．66D．40
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，结合韦达定理求解即可.
【详解】因为与是方程的两个实根，
所以，
又因为数列是等差数列，
所以，
故选：C
7．（多选）已知等差数列的前项和是，且，则（ ）
A．B．C．D．的最小值为
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质得当时，；当时，；对选项逐一判断.
【详解】由，所以，即，
所以当，时，；当，时，；
所以，故A错；，故B对；，故C错；的最小值为，故D对.
故选：BD
8．（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则时最大
C．若，则使为负值的n的值有6个D．若，则
【答案】AD
【分析】直接利用等差数列的通项公式和前n项和的基本量计算，结合等差数列的性质的应用，判断各选项的结论.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：，则，当时，，
则，所以，，
则当时最大，故B错误；
选项C：，则当时，，
故，
所以使为负值的n的值有5个，分别为1，2，3，4，5，故C错误；
选项D：若，则，又，即，
于是，，，故D正确．
故选：AD
9．若数列满足，则的通项公式是 ．
【答案】
【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解.
【详解】因为，
所以，，…，，，
所以
，，
又也满足上式，所以.
故答案为：.
10．若等差数列的首项，，记，则 ．
【答案】
【分析】求出通项公式，得到当时，，当时，，再分组求和即可.
【详解】，
当时，，当时，，
故
故答案为：
11．设是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和的最值.
【答案】(1)
(2)当时，有最小值，没有最大值.
【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解.
（2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解.
【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，
由题意，，
解得，
所以，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，所以，对称轴为，
所以当时，有最小值，没有最大值.
12．已知数列的前n项和为，其中．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）因为当时，有，
所以当时，有，
两式相减，得，
当时，由，适合，
所以，；
（2）因为，；
所以，
因此.
1．记为数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：（其中），则下列说法正确的是（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意利用等差数列的定义和和的递推关系求解即可.
【详解】由题意知：甲：数列为等差数列，设其首项为，公差为，则，
充分性：当数列为等差数列时，其前项和，故充分性成立；
必要性：当时，得，，
将上述两式相减得，即，
所以，，两式相减，得，
即，，所以数列为等差数列，故必要性成立.
综上所述：甲是乙的充要条件，故C正确.
故选：C.
2．若数列满足，（，），则的最小值是 .
【答案】6
【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数.
【详解】由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6，
故答案为：6.
3．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求其前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把条件都用，表示出来，解方程求出，，可得等差数列的通项公式；
（2）采用裂项求和的方法求数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的通项公式为：，由题意：，解得.
所以：.
（2）由（1）可得：，
所以：，
故：.
4．已知数列满足：，．
(1)求的通项公式；
(2)设表示不超过的最大整数，如，．设，为前项和，求数列的前1000项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求得，，从而得到数列的性质，结合等差数列的通项公式即可得解；
（2）分类讨论为奇数或偶数，得到的通项公式，从而利用等差数列的求和公式即可得解.
【详解】（1）因为，，
当时，，得；
又由，得，两式相减得，，
所以数列的奇数项和偶数项分别构成以1为公差的等差数列.
当为奇数时，，
当为偶数时，，
综上，.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，，
.