数学选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义精品第1课时教案

这是一份数学选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义精品第1课时教案，共5页。教案主要包含了创设情境，引入课题，观察分析，感知概念，抽象概括，形成概念，辨析理解，深化概念，概念应用，巩固内化，归纳总结,反思提升等内容，欢迎下载使用。
课时教学内容
能建立实际问题的函数模型，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义.
运用导数解决一些实际问题．
课时教学目标
1.了解实际问题中导数的意义．(数学抽象)
2．利用导数解决实际问题中的最值问题．(数学建模、数学运算)
教学重点、难点
教学重点：在明确函的单调性和导数的关系基础上，会求函数的单.调区间、极值、最值.
教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
例1功与功率如图2-22,某入拉动一个物体前进,他所做的功(单位:)是时间(单位:)的函数,设这个函数可以表示为
（1）求从从变到时,功关于时间的平均变化率,并解释它的实际意义;
(2)求,并解释它们的实际意义.
解(1)当从变到时,功从变到,
此时功关于时间的平均变化率为
它表示从到这段时间内,这个入平均每秒做功.
(2)首先求.根据导数公式表和导数的运算法则,可得
于是,.
和分别表示和时,这个入每秒做的功为和.
在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.
环节二 观察分析，感知概念
例2降雨强度表2-11为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据.
显然,降雨量(单位:)是时间(单位:)的函数,用表示.
(1)分别计算当从变到,从变到时,降雨量关于时间的平均变化率,比较它们的大小,并解释它们的实际意义;
（2）假设得到降雨量关于时间的函数的近似表达式为,求并解释它的实际意义.
解(1)当从变到时,降雨量从变到,此时,降雨量关于时间的平均变化率为
它表示从到这段时间内,平均每分钟降雨量为.
当从变到时,降雨量从变到,此时,降雨量关于时间的平均变化率为
它表示从到这段时间内,平均每分钟降雨量为.
,说明这次降雨过程中,刚开始的比后的雨下得大.
在气象学中,通常把在单位时间(如等)内的降雨量称作降雨强度.它是反映一次降雨大小的一个重要指标.因此,用气象学的知识解释,到这段时间内的平均降雨强度是,而到这段时间内的平均降雨强度为.
将代入,得
表示当时,降雨量关于时间的瞬时变化率(即瞬时降雨强度)为.
环节三 抽象概括，形成概念
例3建造一幢面积为(单位:)的房屋需要成本(单位:万元),与的函数关系为.
(1)当从变到时,建筑成本关于建筑面积的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?(结果精确到0.001万元)
(2)求并解释它的实际意义.
解(1)当从变到时,建筑成本关于建筑面积的平均变化率为
它表示在建筑面积从增加到的过程中,每增加的建筑面积,建筑成本平均约增加1050元.
于是,(万元.
表示当建筑面积为时,成本增加的速度为1050元,也就是说,保持这一增速,当建筑面积为时,每增加的建筑面积,成本就要增加1050元.
环节四 辨析理解，深化概念
说明
在经济学中,通常把生产成本关于产量的函数的导函数称为边际成本.边际成本指的是当产量为时,生产成本的增加速度,也就是当产量为时,每增加一个单位的产量,需要增加个单位的成本.
环节五 概念应用，巩固内化
思考交流
在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例,速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于长度的导数,功率是功关于时间的导数等.请再举出3个实例,体会导数的实际意义,并与同学交流.
环节六 归纳总结,反思提升
函数在某处的导数的实际意义
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．
2．导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．
3.利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
关于证明问题
首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关，如果有关则转化为相应的问题证明；其次是针对要证明的命题构造函数，再通过构造的函数性质证明，函数的证明问题往往都比较复杂，需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明．
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书练习 第1题.
练习
1.一辆正在加速的汽车在内速度从提高到了.下表给出了它在不同时刻的速度,为了方便起见,已将速度单位转化成了,时间单位为.
（1）分别计算当从变到、从变到时,速度关于时间的平均变化率,并解释它们的实际意义;
(2)根据上面的数据,可以得到速度关于时间的函数近似表示式为,求,并解释它的实际意义.