第十八章《平行四边形》单元测试题(解析版）

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第十八章《平行四边形》单元测试题(解析版）一、单选题1．如图，平行四边形的对角线、交于点O，下列结论错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC，∵平行四边形的对角线不一定相等，∴与不一定相等，故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．故选：C．2．如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（    ）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC【答案】B【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；B．菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确；D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．3．能够判定一个四边形是矩形的条件是（    ）A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直【答案】A【详解】试题分析：根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；B、对角线互相垂直平分的是菱形，故错误；C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误；D、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，故选A．4．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（    ）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1【答案】B【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=AB，∴∠B=30，∴∠DAB=150，∴∠DAB:∠B=5:1；故选B.5．如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（    ）  A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据平行四边形的判定逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，能得到四边形是平行四边形，故A不符合题意，，不能得到四边形是平行四边形，故B符合题意，，能得到四边形是平行四边形，故C不符合题意，，能得到四边形是平行四边形，故A不符合题意，故选B．如图，四边形中，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（    ）  A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】A【分析】连接，根据中位线定理的判定和性质得到，推出当点与点重合时，的值最大，即最大，在中求出长即可得到答案．【详解】如图，连接，，，当点与点重合时，的值最大，即最大，在中，，，的最大值，  ，故选：A．如图，在中，点是边上的点（不与点重合），过点作，，分别交于两点，下列说法正确的是（    ）A．若，则四边形是矩形B．若垂直平分，则四边形是矩形C．若，则四边形是菱形D．若平分，则四边形是菱形【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．根据矩形的判定和菱形的判定进行判断即可．【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形．A、若，则四边形不一定是矩形；故错误，不符合题意；B、若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；故错误，不符合题意； C、若，则四边形不一定是菱形；故错误，不符合题意；D、若平分，则．∵，∴，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，故正确，符合题意．故选：D．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第四个正方形的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，因而得到第n个正方形的面积表达式即可解答．【详解】解：可以发现，后面新得到的正方形是刚得到的正方形的面积的一半，所以第n个正方形的面积可表示为 ，第4个为＝．故选A.如图，将一个边长为4和8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形FDCE全等，所以EC=AF=AE，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即42+（8﹣AE）2=AE2，解得，AE=AF=5，所以BE=3，作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形，所以AG=3，GF=2，GE=AB=4，由勾股定理得EF=．故选：D．在平行四边形ABCD中，．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）A．①② B．②④ C．③④ D．①②④【答案】C【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF，进而可对各选项进行判断．【详解】解：延长AD，交FE的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠EFC，  ∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△DEM和△CEF中，， ∴△DEM≌△CEF（AAS），∴EM＝EF，∵AE平分∠FAD，∴AM＝AF，AE⊥EF．即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误．∵AF不一定是∠BAD的角平分线，∴AB不一定等于BF，故①错误．故选：C．二、填空题11 . 如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠BAD和∠ADC的平分线交BC于E、F两点，则EF的长是 ． 【答案】3【分析】由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE＝∠DAE，则BE＝AB＝5；同理可得，CF＝CD＝5．而EF＝BE+CF﹣BC，由此可以求出EF长．【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又∵AD∥CB，∴∠AEB＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，则BE＝AB＝5；同理可得，CF＝CD＝5．∴EF＝BE+CF﹣BC＝BE+CF﹣AD＝5+5﹣7＝3．故答案为：3．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC的长为 ． 【答案】5【详解】∵∠AOD=120° ∴∠AOB=60° ∵ABCD为矩形 ∴OA=OB ∴△AOB为等边三角形∴AO=2.5 则AC=2AO=5．13．如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形（改变矩形内角，边长保持不变）为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为 ．【答案】30°/30度【分析】由题意可得CE为CD的一半，然后根据直角三角形的性质可以得解．【详解】解：如图，由题意可得：CE=，∠CED=90°，∴∠D=30°，故答案为30°．【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握含30度角直角三角形的性质是解题关键．14．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 【答案】【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC=60°，∴∠BAE=90°-60°=30°，∴AB=2BE，在△ABE中，AB2=BE2+AE2，即AB2=AB2+32，解得AB=2，∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．故答案是：6．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．15．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是 cm．【答案】2【分析】连接BP，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝，S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可．【详解】解：连接BP，∵ 四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2∴AB＝BC＝×12＝3，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴ S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝＝3，∴S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE＝3，∴×3×PE＋×3×PF＝3，∴PE＋PF＝3×＝2，故答案为：2．16 .如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．  【答案】（）n﹣1【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC=；同理可求：AE=，HE=，…，∴第n个正方形的边长an=．故答案为．三、解答题17 .如图，□ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BFDE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ， ．在和中， ，．，， ．如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．先证四边形是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．∵，∴，∴平行四边形是矩形．19．如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：；(2)若与交于点O，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质． （1）由，可得，由，，可得，又由，即可证得≌；（2）由≌可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，则可得【详解】（1）证明：，，即，，，，，；（2）连接，交于点O，  ≌，，∴，，四边形是平行四边形，20．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接　 　 ；（2）猜想：　 　=　 　；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）【答案】（1）见解析（2）AF=AE（3）证明见解析【详解】试题分析：根据观察图形，应该是连接AF或者CF（1）连结AF（或连结CF）                     （2）猜想AF=AE（连结CF的，则猜想CF=AE）            （3）证明：（以AF=AE为例，其他证法参照得分）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD                        ∴∠ADB=∠ABD∵∠ABD+∠ABF=180°∠ADB+∠ADE=180°∴∠ABF=∠ADE                     ∵BF = DE∴△ABF≌△ADE（SAS）∴AF=AE                        考点：菱形的性质，全等三角形的判定和性质点评：基本的几何综合题，考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA．如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F．  (1)试说明；(2)如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质得到，再由，可得，从而求证出，即可．（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到，再根据已知条件求证出，即可．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：成立；证明如下：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图，△ABC中，点 O 是边 上一个动点，过 O 作直线 ，设 交 的平分线于点 E，交 的外角平分线于点 F． (1)求证：；(2)当点 O 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由．(3)若 边上存在点 O，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结论．【答案】(1)见解析；(2)当点 O 在边 上运动到中点时，四边形 是矩形．见解析；(3)是直角三角形，理由见解析．【分析】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案；（2）根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可；（3）利用正方形的性质得出，再利用平行线的性质得出，即可得出答案；【详解】（1）∵ 交的平分线于点 E，交的外角平分线于点 F，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴； （2）当点 O 在边 上运动到中点时，四边形是矩形． 证明：当 O 为的中点时，，∵，∴四边形是平行四边形，∵是的平分线，是的平分线，∴，∴平行四边形 是矩形．（3）△ABC是直角三角形，理由：∵四边形 是正方形，∴，故，∵，∴，∴，∴ 是直角三角形．