2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷4

这是一份2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷4，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=-1,0,1,2,B=0,2,3，则A∩B=（ ）
A．0,2B．0,1,2C．-1,0,1,2D．-1,0,1,2,3
2．命题p：∃n∈N，n2≥2n，则命题p的否定为（ ）
A．∀n∈N，n2≤2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2<2nD．∃n∈N，n2<2n
3．不等式x-12x-1>0的解集是（ ）
A．x|12
C．x|121
4．下列函数中，既是奇函数，又在(0，+∞)上为增函数的是（ ）
A．y=x12B．y=x3C．y=1xD．y=x2
5．已知x>2，则x+1x-2的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．2
6．若a，b满足a=2，b=1，a，b的夹角为π4，则a⋅b的值为（ ）
A．2B．3C．1D．0
7．计算sin40∘cs20∘+cs40∘sin20∘的结果是（ ）
A．0B．22C．32D．1
8．函数y=2-x的图象大致是
A．B．
C．D．
9．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同数字，则这两个数字乘积为偶数且它们的和大于 5的概率为（ ）
A．710B．35C．12D．25
10．要得到函数y=3cs2x-π4的图象，只要将函数y=3cs2x的图象（ ）
A．向右平移π8个单位B．向右平移π4个单位
C．向左平移π8个单位D．向左平移π4个单位
11．对于直线l和平面α，"直线l不在平面α上"是"l∕∕α"的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知函数fx=lg2x,x>0,-12sinx,x<0.则ff-π6=（ ）
A．2B．-1C．-2D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知复数z=1+2i，则z= .
14．函数fx=3sinωx+π6ω>0的最小正周期为π，则ω= .
15．已知a=2,3,b=4,x，且a//b，则x= .
16．每年的10月10日为“辛亥革命”纪念日，某高中欲从高一、高二、高三分别600人、500人、700人中采用分层抽样法组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三 人．
17．四面体的各棱长均为2，则它的表面积S= ．
18．设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-1)= .
三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．阳江市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
20．在△ABC中，a=4，b=5，csC=18.
(1)求△ABC的面积；
(2)求c及sinA的值.
21．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试.现要求这两名学生在相同条件下各射箭5次，命中的环数如下：
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；
(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.
22．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，E为SD的中点.
(1)求证：SB∥平面EAC；
(2)若SA=AD，求证：AE⊥SC.
甲
8
9
7
9
7
乙
10
9
8
6
7
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷4
参考答案：
1．A【详解】因为A=-1,0,1,2,B=0,2,3，所以A∩B= 0,2，故选:A.
2．C 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为∀n∈N，n2<2n．故选：C．
3．D【详解】依题意x-12x-1>0，解得x<12或x>1，
所以不等式x-12x-1>0的解集是x|x<12或x>1，故选：D
4．B【详解】对于A，y=x12的定义域为[0,+∞)，因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，y=x3的定义域为R，因为f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以此函数为奇函数，
因为y=x3在(0,+∞)上为增函数，所以B正确，
对于C，y=1x在(0,+∞)上为减函数，所以C错误，
对于D，y=x2的定义域为R，因为f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以此函数为偶函数，所以D错误，
5．B【详解】由于x>2，故x-2>0，所以x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-21x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时等号成立，故x+1x-2最小值为4，
6．A【详解】因为a=2，b=1，a，b的夹角为π4，所以a⋅b=2×1×22=2，
7．C【详解】sin40∘cs20∘+cs40∘sin20∘=sin40∘+20∘=sin60∘=32.
8．B【详解】因为y=2-x可化为y=(12)x，所以答案选B．
9．D【详解】从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同数字的样本空间是Ω=(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个样本点，记事件A= “这两个数字乘积为偶数且和大于5”，
则A=(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共4个样本点，所以PA=nAnΩ=25.
10．A【详解】因为y=3cs2x-π4=3cs2x-π8，所以要得到函数y=3cs2x-π4的图象，只要将函数y=3cs2x的图象向右平移π8个单位.
11．B【详解】直线l不在平面α上⇔l∕∕α或l与α相交，
故"直线l不在平面α上"是"l∕∕α"的必要不充分条件.
C【详解】f-π6=-12sin-π6=14,f14=lg214=-2,故ff-π6=-2.
13．1-2i【详解】由题意得z=1-2i.
14．2【详解】∵fx的最小正周期T=2πω=π，∴ω=2.
15．6【详解】由向量a=2,3,b=4,x，
因为a//b，可得2x-3×4=0，解得x=6.
16．14【详解】设应抽取高三x人，则700600+500+700=x36，可得x=14.
17．43【详解】因为四面体的各棱长均为2，所以S=4×12×22×sin60∘=43.
18．﹣1【详解】因为函数是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1），
又当x>0时，f(x)=2x-3，则f（1）＝21﹣3＝﹣1，∴f（﹣1）＝﹣1．
19．解:（1）由题意得，商家降价前每星期的销售利润为(130-100)×80=2400（元）；
（2）设售价定为x元，则销售利润y=(x-100)(80+130-x5×20) =-4x2+1000x-60000=-4(x-125)2+2500.
当x=125时，y有最大值2500.
∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
20解：（1）由csC=18且0所以S△ABC=12absinC=1574.
（2）由c2=a2+b2-2abcsC=16+25-5=36，则c=6，
而csinC=asinA，则sinA=asinCc=74.
解：（1）甲的平均数x1=8+9+7+9+75=8，
甲的标准差s1=8-82+9-82+7-82+9-82+7-825=255；
乙的平均数x2=10+9+8+6+75=8，
乙的标准差s2=10-82+9-82+8-82+6-82+7-825=2.
由(1)可知，甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数相等，但甲的标准差小于乙的标准差，这表明甲的成绩比乙更稳定一些. 故选择甲参赛更合适.
22．证明：（1）连接BD交AC于点O，连接OE，
∵O,E分别为BD,SD的中点，则SB ∥ OE，
SB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，
∴SB ∥平面EAC.
（2）∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴SA⊥CD，
又∵ABCD为矩形，则AD⊥CD，且SA,AD⊂平面SAD，SA∩AD=A
∴CD⊥平面SAD，
由AE⊂平面SAD，可得CD⊥AE，
若SA=AD，且E为SD的中点，则SD⊥AE，
CD,SD⊂平面SCD，CD∩SD=D，则AE⊥平面SCD，
SC⊂平面SCD，故AE⊥SC.