数学必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示精品同步达标检测题

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分层练习
基础篇
一、单选题
1．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.
故选：C
2．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】是平面内两个不共线的向量，
对于A，，即向量共线，A不是；
对于B，，即向量共线，B不是；
对于D，，即向量共线，D不是；
对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.
故选：C
3．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；
对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；
对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；
对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C
4．（2022春·吉林白城·高一校考阶段练习）已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为点是线段AB的中点，
所以，设，
所以，解得，
所以点的坐标是.
故选：B
5．已知向量且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，解得．
故选：D
6．（2022春·四川凉山·高一统考期末）在中，点D在边AB的延长线上，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为点在边的延长线上且，
所以，即，
所以，所以.
故选：B
7．（2022春·北京·高一统考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
8．（2022春·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）已知点，且，当时，此时P点（ ）
A．落在轴上B．落在轴上
C．落在一、三象限的角平分线上D．落在二、四象限的角平分线上
【答案】D
【解析】设，因为，即，
当时，可得，即，所以P点落在二、四象限的角平分线上.
故选：D.
二、多选题
9．（2022春·广西桂林·高一校考期中）已知向量，，且与共线，则可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】，与共线，或，
又，或.
故选：AD.
10．（2021春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BC
【解析】对于A．＝(0，0)，， 不可以作为平面的基底，不能表示出；
对于B．由于，不共线，可以作为平面的基底，能表示出；
对于C．，不共线， 可以作为平面的基底，能表示出；
对于D．，， 不可以作为平面的基底，不能表示出．
故选：BC.
11．下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与共线，则
B．若，且，则与不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量都是共线向量
D．若向量，且，则
【答案】BCD
【解析】对选项A，或时，比例式无意义，故错误；
对选项B，若，与共线，则一定有，故正确；
对选项C，若A，B，C三点共线，则在一条直线上，则都是共线向量，故正确；
对选项D，若向量，且，则，即，故正确；
故选：BCD
12．（2022春·浙江台州·高一统考期末）已知向量满足，设向量的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由可得：，
对于A，，故A错误.
对于B，,故，所以B正确.
对于C，，故与不平行，故C错误.
对于D,，由于，故，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知向量，若向量，则实数_____.
【答案】
【解析】向量，由得，所以.故答案为：
14．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知在中，，，，为中点，则的坐标为 __．
【答案】
【解析】，，，
，.
因为为中点，
所以
故答案为：．
15．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）是边长为4的正三角形，以为圆心，2为半径作圆，点为圆上一动点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】以为坐标原点建立如图所示坐标系，
则，，
设，所以，，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
16．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）已知，则的单位向量的坐标为_______．
【答案】
【解析】因为，
所以，故，
则的单位向量的坐标为．
故答案为：.
四、解答题
17．设两个非零向量，不共线，，，．
(1)求证：A、B、D共线；
(2)试确定实数k，使和共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【解析】（1）因为，，，
所以，所以，
因为、共点，所以、、三点共线；
（2）∵和共线，
存在实数，使得，
∵非零向量，不共线，
且，可得或
18．已知，．
(1)当k为何值时，与垂直？
(2)当k为何值时，与平行？
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），．
若可得，
即，得，
即时，与垂直
（2）因为，不平行，由平行向量的定义可知，
需满足时，
即 时，与平行
19．（2021春·河北邯郸·高一校考期中）已知
(1)当k为何值时，与共线？
(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为
所以，，
因为与共线，
所以，解得；
（2）因为
所以，
，
因为A，B，C三点共线，
所以，解得.
20．（2022春·山东东营·高一统考期中）已知点，，，，且点满足，其中，
(1)若，点P在直线上，求实数；
(2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可知：，，，
因为，
故，即，化简可得，
因为点P在直线上，故，解得：
（2）由，得：，
代入，得：，消去，得：
提升篇
一、单选题
1．点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
2．在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【答案】C
【解析】解：∵是边的中点，
∴.
∵，
∴，
即.
∵与不共线，
∴且，
∴，
∴是等边三角形.
故选：C
3．（2022春·山西忻州·高一校联考期末）如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】，因为，分别为，的中点，所以，
又，所以，解得
故选：D
4．（2022春·江西上饶·高一上饶中学校考阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．5B．C．D．26
【答案】B
【解析】依题意，，解得，则，
所以，故．
故选：B．
5．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考阶段练习）平面上有，，三点，点C在直线上，且，连接并延长至E，使，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
，，
设，，，，
，①，
，，
②，由①②可得：，
点E的坐标为，
故选：A.
6．设，向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】向量，，，则，解得，即，
所以.
故选：A
7．（2022春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知得，，
∵∥，
∴，解得，
故选：
8．设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】A
【解析】由题设，，，A，B，C三点共线，
∴且，则，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故选：A
二、多选题
9．（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【解析】对A，给定向量，总存在向量，使，
即，显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.
故选：ABD
10．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．与共线的一个单位向量是
D．在上的投影向量是
【答案】AB
【解析】设，则，
所以，即，
所以，故A正确；
，故B正确；
与共线的一个单位向量为，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误.
故选：AB
11．已知向量，，则（ ）
A．与的夹角余弦值为
B．
C．向量在向量上的投影向量的模为
D．若，则
【答案】ACD
【解析】解：对于A：因为向量，，所以，所以与的夹角余弦值为，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，故B不正确；
对于C：向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：因为，所以，所以，故D正确，
故选：ACD.
12．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
【答案】CD
【解析】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为
所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以.
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当,即时取等号，
故的最大值为2，故D正确.
故选:CD.
三、填空题
13．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______.
【答案】
【解析】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
14．平面直角坐标系中，，，，为等腰直角三角形，且A､B､C按顺时针排列，则B点的坐标为___________
【答案】
【解析】设，则，，又，
所以，则，即，
又，联立可得或，
因为A､B､C按顺时针排列，所以B点的坐标为.
故答案为：
15．（2022春·湖北·高一校联考阶段练习）已知向量，，若向量和向量垂直，则实数的值是__________．
【答案】-9
【解析】解：因为向量，，
所以向量，
因为向量和向量垂直，
所以，
解得，
故答案为：-9
16．已知，的夹角为，则使向量与的夹角为锐角的的取值范围是____.
【答案】
【解析】因为与的夹角为锐角，
所以，即，
因为，的夹角为
所以 ，解得或.
当与共线同向时，，
故的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17．平面内向量（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
(1)若，求的坐标．
(2)已知BC中点为D，当取最小值时，若AD与CP相交于点M，求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意，可设，其中，从而
因为，所以，
解得．所以.
（2）由题意，
因为，
所以当时，有最小值，此时，从而．
因为与的夹角就是与的夹角，而
，
所以，
所以与的夹角的余弦值为.
18．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，
所以存在唯一实数，使得，
因为，不共线，
所以，
解得
19．（2021春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）已知向量，，其中，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量满足，，求的坐标.
【答案】(1)；(2)或
【详解】（1），，
.，，，
，
故与的夹角的余弦值；
（2）设，则,
∵，,
，
解得或，
所以或.
20．（2022春·北京西城·高一北京四中校考期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
(1)当时，设，求；
(2)若，且存在，使得，求证：；
(3)记.若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)26
【解析】（1）解：由于，
则
故
（2）解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，

，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以


，整理得



又

即
对于
有 ，且

综上所得，的最大值为