苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.1 复数的概念精品达标测试

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分层练习
基础篇
一、单选题
1．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】A
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得：，
故选：A.
2．（2021春·陕西渭南·高二统考期末）若复数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，则，解得.故选：B.
3．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）已知复数是纯虚数,则实数=（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】A
【详解】,
根据题意得,解得.
故选:A.
4．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得.
故选：B
5．（2022秋·浙江·高二校联考期中）若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】复数为纯虚数，等价于，且，
，且可推出，但，不一定得到，且，
所以 “复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件．
故选：B.
6．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2．
故选：C．
7．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，故，故复数的虚部为2,故选：D
8．（2022春·广东江门·高一统考期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，解得，
所以，
故选：A
二、多选题
9．（2022春·江苏淮安·高一马坝高中校考期中）已知复数是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数的实部为5
B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数为
D．复数的虚部为12
【答案】CD
【详解】解：A. 复数的实部为-5，所以该选项错误；
B. 复数的虚部为，所以该选项错误；
C. 复数的共轭复数为，所以该选项正确；
D. 复数的虚部为12，所以该选项正确.
故选：CD
10．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】，，
，，，
故选：AD.
三、填空题
11．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）若复数，则的虚部为______．
【答案】5
【详解】复数的实部为2，虚部为5，故答案为：5
12．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）复数的虚部为___________.
【答案】4
【详解】由复数的概念可得复数的虚部为.故答案为：
13．若，则______．
【答案】
【详解】.故答案为：
14．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为______.
【答案】3
【详解】解：复数（为虚数单位），，
则，解得.
故答案为：3.
四、解答题
15．若，且，求实数x的取值范围．
【答案】
【详解】由题意知，可得，解得，
当时，可得，此时满足，
所以实数x的取值范围.
16．（2022春·广西桂林·高一校考期中）复数为实数，求满足以下条件的的值．
(1)为实数；
(2)为纯虚数．
【答案】(1)或；(2).
【详解】（1）解：由题得m2-m-2=0，所以m=-1或m=2.
（2）解：由题得m2-1=0且m2-m-2，解之得m=1.
17．（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期中）已知是虚数单位，复数，R.
(1)当复数为实数时，求的值；
(2)当复数纯虚数时，求的值.
【答案】(1)或；(2).
【详解】（1）当时，得；
（2）当时，得.
18．（2022春·上海黄浦·高一校考期末）已知复数（）.试求实数分别为什么值时，分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为（）为实数，
所以，解得，
所以，当时，为实数.
（2）解：因为（）为虚数，
所以，解得且.
所以，当时，为虚数.
（3）解：因为（）为纯虚数，
所以，，解得.
所以，当时，为纯虚数.
19．（2022春·广西钦州·高二统考期末）已知复数，，
(1)若z是实数，求x；
(2)若z是纯虚数，求x．
【答案】(1)或；(2)
【详解】(1)若是实数，
则，
所以或时，是实数.
(2)若是纯虚数，
则，且，
所以时，是纯虚数.
20．（2022春·辽宁沈阳·高一同泽高中校考期中）复数．
(1)当m为何值时，z是纯虚数．
(2)当m为何值时，z为实数？
【答案】(1)或；(2).
【详解】(1)若z是纯虚数，则，即，可得或，
所以或时，z是纯虚数．
(2)若z为实数，则，可得，
所以时，z为实数.
提升篇
一、单选题
1．（2021春·浙江·高一期末）设，“复数是纯虚数”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件；B．必要不充分条件；
C．充分必要条件；D．既不充分也不必要条件.
【答案】A
【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
2．（2022春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期末）已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）
A．-1或6B．2或3C．2D．6
【答案】A
【详解】因复数为纯虚数，则，解得或，
所以实数m的值是-1或6.
故选：A
3．（2022春·福建漳州·高一统考期末）已知复数，，，则（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】C
【详解】，，
，.
故选：C.
4．（2022春·广西河池·高一统考期末）已知，则“为纯虚数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【详解】由题意，为纯虚数则设，则；
当时，可取，则为纯虚数不成立.故“为纯虚数”是“”的充分非必要条件
故选：A
5．若复数(i为虚数单位)为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．1B．2C．D．1或
【答案】C
【详解】因为复数(i为虚数单位)为纯虚数，
所以 ，
解得，
故选：C
6．（2020·浙江杭州·高一期末）已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
7．（2020·浙江·高一期末）已知复数，则（ ）
A．的虚部为B．的实部为2C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以复数的实部为2，
故选：B
8．（2020春·江苏镇江·高一统考期末）已知，复数（i为虚数单位）为实数，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【详解】解：∵（i为虚数单位）为实数，
，
∴，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（2022春·辽宁沈阳·高一同泽高中校考期中）有下面四个命题，真命题的是（ ）
A．
B．若，且，则
C．，则
D．两个虚数不能比较大小
【答案】AD
【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当，时，，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确.
故选：AD
10．（2022春·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期中）下列四种说法中正确的有（ ）
A．复数是纯虚数
B．复数中，实部为1，虚部为
C．复数的共轭复数为，则的一个充要条件是
D．（为虚数单位）
【答案】CD
【详解】对于A：复数的实部为2，故不是纯虚数，故A错误；
对于B：复数中，实部为1，虚部为-2，故B错误；
对于C：设，则，
若，则虚部为，此时，充分性成立，
若，则，则，此时，必要性成立，
所以的一个充要条件是，故C正确；
对于D：因为，所以，故D正确.
故选：CD
11．（2021春·江苏扬州·高一校考期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若，，且，则
B．若（），则
C．若（），则当且仅当且时，
D．若，，且，则
【答案】ABD
【详解】A.设，，满足，但不能比较大小，故错误；
B.因为，所以不能判断，比如：，，故错误；
C. 当且仅当且时，，故正确；
D.当，，满足，故错误.
故选：ABD
12．（2021春·河北唐山·高一唐山市第十一中学校考期中）下列命题中错误的有（ ）
A．若，则的充要条件是
B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集
C．，若，则
D．若实数与对应，则实数集与复数集一一对应
【答案】ABCD
【详解】A.因为，所以的充要条件不是，故A不正确；
B.纯虚数集相对于复数集的补集是实数集合和虚数集中的非纯虚数集，故B不正确；
C.因为，若，则不一定相等，比如，，满足，此时不相等，故C不正确；
D. 因为规定实数与复数对应，所以复数却没有实数与之对应，所以只有纯虚数和有原象，因此不满足实数集与复数集一一对应，故D不正确.
故选：ABCD
三、填空题
13．（2022春·福建厦门·高一统考期末）若复数是纯虚数，则实数m=____.
【答案】2
【详解】由题意，，解得，故答案为：2.
14．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数______．
【答案】
【详解】为纯虚数，，解得：.故答案为：.
15．（2021春·黑龙江鸡西·高一鸡西实验中学校考期中）若其中是虚数单位，则______
【答案】5
【详解】解：，
，，
．
故答案为：．
16．（2021春·广东茂名·高一统考期中）若，，则复数________．
【答案】
【详解】由 可得，则
所以
故答案为：
四、解答题
17．（2022春·新疆昌吉·高一校考期末）当m取何值时，复数
(1)是实数；
(2)是纯虚数．
【答案】(1)m＝5；(2)m＝3或m＝－2.
【详解】（1）因为复数为实数，
所以；
（2）因为复数为纯虚数，
所以有，或，
∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
18．（2022春·江苏扬州·高一校考期中）已知复数（是虚数单位）.
(1)若复数是实数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
【答案】(1)或；(2)
【详解】（1）由是实数，得
，即，解得或，
所以实数的值为或.
（2）由是纯虚数，得
，解得，即，
所以实数的值为.
19．（2022春·山东菏泽·高一校考期中）已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cs θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
【答案】(1)-2；(2)[2，6]
【详解】（1）由z1为纯虚数，
则解得m＝－2.
（2）由z1＝z2，得
∴λ＝4－cs2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
20．（2021春·安徽滁州·高一校联考期中）已知复数（其中）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【答案】（1）或1；（2）.
【详解】解：（1）因为复数为实数，所以，所以或1；
（2）因为复数为纯虚数，所以，即，所以.