高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算精品ppt课件
展开1.掌握复数代数表示的加减法运算。2.掌握复数代数表示的乘除法运算。
我们知道,虚数单位i与实数一起可以按照实数的运算法则进行运算。
思考:任意两个复数按照怎样的法则进行运算呢?
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下的法则进行运算:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
显然,两个复数的和仍是一个复数。
因为z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i=(a+c)+(b+d)i
显然,复数的加法满足交换律。
同理可验证,复数的加法满足结合律,即
即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
我们把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫作复数a+bi减去c+di所得的差,记作(a+bi)-(c+di)
根据复数的加法法则和复数相等的定义,有:c+x=a,d+y=b,即:x=a-c,y=b-d所以:x+yi=(a-c)+(b-d)i
于是,我们得到复数的减法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)。
计算(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i)。
解: 原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i
设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2?
解决复数加减运算的思路两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减)。复数的减法是加法的逆运算。当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减)。
复数的乘法按照以下的法则进行运算:
即:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
显然,两个复数的积仍是一个复数
复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的,只是在运算过程中要把i²换成-1,然后把实部与虚部分别合并。
下面我们来验证,复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律:
设z1=a+bi,z2=c+di,z3=e+fi且z1,z2,z3∈C,则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,z2z1=(c+di)(a+bi)=(ac-bd)+(bc+ad)i所以:z1z2=z2z1同理可验证(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2十z3)=z1z2+z1z3
即对任何z1,z2,z3∈C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2十z3)=z1z2+z1z3
(1)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i);(2)计算(a+bi)(a-bi)。解:(1)原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i;(2)原式=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2
思考:设x,y∈R,在复数集内,你能将x²+y²分解因式吗?
1.两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开.②再将i2换成-1.③然后再进行复数的加、减运算。2.常用公式①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R)。②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R)。③(1±i)2=±2i。
我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数。
复数的乘方是相同复数的积。根据复数乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。
即对任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n
在计算复数的乘方时,要用到虚数单位i的乘方,对于i的正整数指数幂,易知。
i1=i,i²=-1,i³=i²·i=-i,i4=(i²)²=1
一般地,如果n∈N*,那么我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i。
我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)
在复数范围内解方程x2+6x+10=0。
解:因为x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1,所以(x+3)2=-1,又因为i2=-1,所以(x+3)2=i2,所以x+3=±i,即x=-3±i。
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