2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.6幂函数与一元二次函数含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.6幂函数与一元二次函数含解析答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
3．设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（ ）
A．B．C．D．
5．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
7．设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．若，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
13．如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．B．
C．D．
14．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
15．若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（ ）
A．-2B．2C．D．3
16．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
17．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．B．C．D．
18．若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
19．已知，则函数在上是增函数的概率为（ ）
A．B．C．D．
20．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
21．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
22．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）

A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
23．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函数为幂函数，则（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
25．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
26．已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
27．下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
28．下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过点
B．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称
C．函数恒过定点
D．函数在整个定义域内是单调递减的
29．已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．B．为偶函数
C．为单调递增函数D．的值域为
30．已知关于的不等式的解集为，或，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是，或
31．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．关于x的不等式的解集是
C．D．关于x的不等式的解集为或
32．若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．3
33．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．若，则D．若，则
34．已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
三、填空题
35．若函数是幂函数，且满足，则的值为 .
参考答案：
1．B
【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可.
【详解】对于A，为偶函数，不符合题意；
对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意；
对于C，为偶函数，不符合题意；
对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为，
则有，解得且，因此的定义域是．
故选：B.
3．A
【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.
【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则.
故选：A
4．B
【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数与反比例函数的性质即可得解.
【详解】因为幂函数的值域为，
对于A，指数复合函数的值域为，故A错误；
对于B，对数复合函数的值域为，故B正确；
对于C，幂函数的值域为，故C错误；
对于D，反比例函数的值域为，故D错误.
故选：B.
5．C
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
6．D
【分析】不等式在区间内有解，仅需，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.
【详解】不等式在区间内有解，仅需即可，
令，因为的对称轴为，，，
所以由一元二次函数的图像和性质的得，
所以，
故选：D
7．B
【分析】根据题意，由对称轴求解.
【详解】解：函数的对称轴方程为：，
因为函数在区间上是减函数，
所以，解得，
故选：B
8．C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
【详解】令，
则或或或
解得或，
即实数m得取值范围为.
故选：C．
9．D
【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系.
【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，，
，所以，则.
故选：D.
10．C
【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得.
【详解】把代入可得：，易得：，则，
显然函数的定义域为R，由知为偶函数.
且，由，
因故，即，故函数在上为增函数.
由，将两边平方整理可得：，
解得：或.
故选：C.
11．A
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小.
【详解】∵指数函数在上单调递增，
且，
∴，即.
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，即，
∴.
故选：A.
12．B
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是减函数，则，即，
所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
13．B
【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【详解】由题意结合图象可知.
故选：B.
14．A
【分析】利用图象上的点求出函数解析式，根据幂函数的性质选项正确选项.
【详解】设幂函数，则，即，解得，即，
的定义域是，，函数为偶函数，
由，则在上递增且越来越慢.
故选：A.
15．D
【分析】由幂函数的函数图像逐一确定即可.
【详解】A：当时，，图像为：

故A错误；
B：当时，，图像为：

故B错误；
C：当时，，图像为：

故C错误；
D：当时，，图像为：

故D正确；
故选：D
16．D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
17．D
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【详解】函数的定义域和值域均为，
函数的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数的定义域为，值域为R，不满足要求；
函数的定义域为R，值域为，不满足要求；
函数的定义域和值域均为，满足要求；
故选：D．
18．B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
19．D
【分析】利用二次函数的性质可得，结合画出可行域，根据面积比求概率即可.
【详解】由题设对称轴为，而，函数开口向上，
所以的增区间为，故在上是增函数有，
综上，对应可行域如下阴影部分：
所以阴影部分面积为，而的面积为1，故在上是增函数的概率为.
故选：D
20．C
【分析】由复合函数单调性可得二次函数对称轴与区间的关系，建立不等式再求解的范围.
【详解】设函数，
则函数是由二次函数与指数函数复合而成的.
当时，由于函数单调递减，
而二次函数的图象开口向上，
在区间上不可能单调递减，
则函数在区间上不可能单调递增，故不满足题意；
当时，函数单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则二次函数在区间上单调递增，
又其对称轴为，故，
所以.
故选：C.
21．D
【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是。
故选：D
22．D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，
且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；
当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，
是曲线；综上所述幂函数，，，，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.
故选：D.
23．B
【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可.
【详解】是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得
故选：B
24．A
【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可.
【详解】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
故选：A.
25．BD
【分析】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.
【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，
则，即，A错误；
不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；
，C错误；
不等式化为，即，解得或，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：BD
26．ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
27．BC
【分析】根据指对幂函数的单调性结合中间量即可比较，结合选项即可得结果．
【详解】解：函数，在上单调递增，∴，故A错误；
函数，在上单调递减，，函数，在上单调递增，，
，故B正确；
函数单调递减，，故C正确；
，故D错误，
故选：BC．
28．BC
【分析】根据幂函数的性质即可判断A；根据反函数的定义即可判断B；根据指数函数的定点即可判断C；根据反比例函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，幂函数不过，故A错误；
对于B，互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，令，则，
所以函数恒过定点，故C正确；
对于D，函数的单调减区间为，
当时，，当时，，故D错误.
故选：BC.
29．AC
【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由为幂函数可得，解得，
所以，故A正确，C正确；
由于，故为奇函数，故B错误；
的值域为，D错误，
故选：AC.
30．AD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案.
【详解】由关于的不等式解集为或，
知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B不正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：AD.
31．ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.
【详解】由关于x的不等式的解集为或，
知和3是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
所以，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：ABD.
32．BD
【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或；
②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下：
结合图象可知，要使函数在上单调，
则，或，或，或
解得：，或，
综上：或；
故选：BD
33．BD
【分析】先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断A，B，由，可判断C，
假设，对不等式进行证明，即可判断D.
【详解】将点代入函数得：，则.
所以，显然在定义域上为减函数，所以A错误；
，所以为偶函数，所以B正确；
当时，，即，所以C错误；
当若时，
假设，整理得
，化简得，，
即证明成立，
利用基本不等式，，因为，故等号不成立，成立；
即成立，所以D正确.
故选：BD.
34．BD
【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由其单调性以及奇偶性即可得到结果.
【详解】因为幂函数的图像关于y轴对称，
所以函数为偶函数，则，即，
又，由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，故B正确，A错误；
因为，在上单调递减，且函数为偶函数
则，故D正确，C错误.
故选：BD
35．16
【分析】设，根据
【详解】设，由可得可得.
故，则.
故答案为：16