2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.5复数含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.5复数含解析答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
2．已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．复数的虚部是（ ）
A．2B．C．1D．
4．若复数，且z和在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数满足（为虚数单位），则对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．设复数满足，，复数所对应的点位于第四象限,则（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1B．C．1或D．2
8．若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
9．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（ ）
A．1B．C．D．2
11．已知复数且有实数根b，则=（ ）
A．B．12C．D．20
12．已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
13．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
14．复数z满足，则=（ ）
A．B．C．D．2
15．已知，则z等于（ ）
A．B．
C．D．
16．已知复数，则（ ）
A．B．C．2D．
17．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知复数，，若在复平面上对应的点在第三象限，则（ ）
A．B．C．D．
19．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
20．已知复数是纯虚数，则m=（ ）
A．1B．1或-4C．4D．4或6
二、多选题
21．已知满足，则（ ）
A．
B．复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
22．已知为复数，则（ ）
A．若，则为实数
B．
C．若，则
D．若，则复数在复平面内所对应的点位于坐标轴上
23．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
24．已知复数是的共轭复数，则（ ）
A．
B．的虚部是
C．在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数是方程的一个根
25．已知复数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若，则
26．已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有( )
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
27．设、为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
28．已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若是非零复数，且，则D．若是非零复数，则
29．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
三、填空题
30．已知复数，则的虚部为 .
31．已知复数，满足，，则的最大值为 .
32．
33．设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为 .
34．i是虚数单位，复数，则的虚部为
四、解答题
35．已知复数，，为虚数单位，.
（1）若为实数，求的值；
（2）若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围.
36．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
37．已知复数z满足，的虚部是2，z对应的点A在第一象限，
(1)求z的值；
(2)若在复平面上对应点分别为A，B，C，求cs∠ABC.
38．对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
(1)证明：；
(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；
(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．
39．设复数，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn.
（1）求复数z2，z3，z4的值；
（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；
（3）求数列的前项之和.
参考答案：
1．C
【分析】先将等式变形为，利用复数的除法运算求解即可.
【详解】依题意，得，
，
则复数z的虚部为：，
故选：C．
2．C
【分析】根据复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义判定选项即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选:C.
3．C
【分析】利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：C.
4．D
【分析】由求出，得到,，再由即可求出结果.
【详解】因为，，
所以z和在复平面内所对应的点分别为,,故,,
.
故选：D.
5．B
【分析】设，根据复数相等求出的值，根据复数的几何意义，即可求得答案.
【详解】设，
由得，
即，
即对应的点为，在第二象限，
故选：B
6．B
【分析】设出复数，由题意有，且，求出即可得解.
【详解】设，则，所以，
又，复数所对应的点位于第四象限，所以，
解得，从而.
故选：B.
7．B
【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.
【详解】因为，
若复数表示纯虚数，则，解得.
故选：B.
8．B
【分析】根据复数模的运算公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】令，为实数
由，
所以，
因此当时，取最小值，
故选：B
9．C
【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.
【详解】因为z在复平面内对应的点为，
所以，则，
又，所以，即.
故选：C．
10．B
【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.
【详解】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且，
所以该方程有两个互为共轭复数的虚数根，
即，即.
故选：B
11．D
【分析】根据题意可求得，从而得，求解得，从而可求解.
【详解】由题意知为的实数根，
则，即，
则，解得，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
12．D
【分析】利用复数相等可求参数的值.
【详解】因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，
所以，整理得到: 即，
故选：D.
13．C
【分析】首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解.
【详解】设，，
所以，所以，
解得：，
所以.
故选：C
14．A
【分析】先利用复数的乘方和除法运算化简复数，再利用复数模的公式求解.
【详解】解：∵，
∴.
故选：A
15．A
【分析】利用复数的共轭，复数的模长，复数相等计算即可.
【详解】设，，
则，
所以解得
所以．
故选：A．
16．A
【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.
【详解】，.
故选：A
17．B
【分析】由题意可知：，结合复数的除法运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：B.
18．B
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数的值.
【详解】因为，
则，解得，
因为复数在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，
因此，.
故选：B.
19．D
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.
【详解】令，由，得，
点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，
故选：D
20．A
【分析】根据纯虚数的概念列方程求解即可得的值.
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选：A.
21．ACD
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确.
【详解】设，
则由已知得，即，
所以解得
所以，则，故A项正确，B项错误；
，的实部为，虚部为1，
所以的实部与虚部之积为，故C，D项正确.
故选：ACD
22．ABD
【分析】根据复数减法的运算法则、共轭复数的定义，结合复数模的运算性质、复数乘法的运算法则逐一判断即可.
【详解】设，故为实数，故A正确；，故B正确；
令，故，但，故C错误；
若，则，故，即或，故D正确.
故选：ABD
23．BD
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
24．AC
【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，所以，故A正确；
易知的虚部是，故B错误；
在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
对于，
显然不符合题意，故D错误.
故选：AC
25．AC
【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得.
【详解】选项A，，则，故A正确；
选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误；
选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立.
证明：设，，
若，则有，
故有，即，两式相乘变形得，，
则有，或，或，
①当时，，即；
②当，且时，则，
又因为不同时为，所以，即；
③当，且时，则，同理可得，故；
综上所述，命题“若，则，或”成立.
下面我们应用刚证明的结论推证选项C，
，，
，或，即或，故C正确；
选项D，令，
则，
但，不为，故D错误.
故选：.
26．BC
【分析】设，，根据已知条件求出两个复数对应点的轨迹，从而依次计算可得正确答案．
【详解】设，则，即，
它表示以原点为圆心，半径为1的圆；
设，则由，得，
即，它表示一条直线；
对于选项A：，故选项A错误；
对于选项B：，故选项B正确；
对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）；
故选：BC．
27．BD
【分析】利用特殊值法可判断AC选项；设，，根据模长运算和复数乘法运算可判断B选项；设，，，根据模长运算和复数乘法运算可判断D选项.
【详解】对于A，令，，则，此时，A错误；
对于B，设，，则，
所以，，即，则；
若，则成立，此时；
若，，由知；由知：，此时；
同理可知：当，时，；
若，，由得：，则，此时；
综上所述：若，则或，B正确；
对于，令，，则，此时，C错误；
对于D，设，，，
则，，
由，可得，
所以，
又、不全为零，
所以表示一条直线，
即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：BD.
28．BC
【分析】对于A项，可以举反例说明；对于B项，可以设，则，代入等式两边验证即可判定；对于C项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D项，可通过举反例对结论进行否定.
【详解】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；
对于B项，设，则，，故而，故B项正确；
对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；
对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误.
故选：BC.
29．ACD
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
30．
【分析】根据的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得.
【详解】
，
则的虚部为.
故答案为：.
31．/
【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.
【详解】令复数，，，则，
所以，所以，，即.
又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：.
32．/
【分析】利用虚数单位的性质，复数的除法、乘方运算法则化简即可.
【详解】，，
.
故答案为：
33．1
【分析】由复数与共轭复数的意义可知，方程的两个根为和，再设出复数，结合韦达定理和复数运算解出模长即可.
【详解】由题意可知虚数为方程的一个根，也为方程的一个根，
所以，
设，则，
，
所以，
故答案为：.
34．
【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得复数得代数形式，从而得到其虚部.
【详解】.
所以复数的虚部为.
故答案为：.
35．（1）；（2）.
【分析】（1）先计算出出所表示的复数，然后根据为实数让对应的复数的虚部为即可计算出的值；
（2）先表示出、，然后根据有解得到关于的等式，根据的范围计算出三角函数部分的取值范围，然后再根据等式有解计算出的范围.
【详解】（1），
因为为实数，所以，所以，又因为，所以；
（2）因为，，
所以，
又因为存在使等式成立，
所以在上有解，
所以在上有解，又因为，所以，
所以，解得.
【点睛】本题考查复数的判断和复数与向量以及三角函数的综合，难度一般.
（1）复数，如果为实数，则虚部；
（2）复数对应的向量是.
（3）计算正弦型函数的值域时注意采用整体替换的思想和利用正弦函数的单调性求解.
36．(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆
(2)最大值为7，最小值为3
【分析】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
【详解】（1）设复数在复平面内的对应点为，
则，
故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，
，
则的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
37．(1)
(2)
【分析】（1）设出，利用复数的模和的虚部列出方程组，求出z的值；
（2）在（1）的基础上，得到和对应的复数，利用复数的除法运算的三角表示及其几何意义求出答案.
【详解】（1）设，，则，
由题意得，
故，
因为z对应的点A在第一象限，所以，
解得，故；
（2）由（1）知，，，
对应的复数为，对应的复数为，
因为，且的辐角为，
所以
38．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由，通过赋值即可证得；
（2）根据的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；
（3）构造，可以推出，然后再可证得.
【详解】（1）令，则．
由，令，则．
因为，故．
（2）证明：因为，
，
，
，
，
所以
（3）证明：令，则有
，
因此
故且，即．
【点睛】关键点点睛：主要考查了复数的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强.
39．（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102
【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4；
（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可；
（3）通过，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解数列的和即可.
【详解】（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，，.
（2）若，则存在实数λ，使得，故，
即（xn，yn）=λ（x1，y1），
又zn+1=（1+i）zn，故，即为实数，
，，故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；
（3）因为，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以xn+4yn+4=16xnyn，
又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）
=，
而，，
所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.
【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力，属于难题.