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    2022年江苏省南京大学强基计划数学真题试卷含答案(初试)

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    2022年江苏省南京大学强基计划数学真题试卷含答案(初试)

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    这是一份2022年江苏省南京大学强基计划数学真题试卷含答案(初试),共8页。试卷主要包含了填空题等内容,欢迎下载使用。
    一、填空题。
    1.函数y=的值域为 .
    2.x∈(0,),求函数y=sin2xcsx的最大值为 .
    3.已知x、y、z满足x+y+z=1,则x2+4y2+9z2的最小值为 .
    4.在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,已知acsC﹣bcs2A=asinAsinB﹣csinA,则tanA的值为 .
    5.若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是 .
    6.已知向量,,满足||=3,||=2,•=6,且()(+2)=0,则|+|最小值为 .
    7.已知直线y=ax+2与三次曲线y=x3﹣ax有三个不同交点,则a的取值范围为 .
    8.在棱长为6的正四面体ABCD中,M为面BCD上一点,且|AM|=5,设异面直线AM与BC所成的角为α,则|csα|最大值为 .
    9.方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=7的非负整数解个数为 .
    10.设F,l为双曲线=1的右焦点与右准线,椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线,过F作一条平行于y=x的直线,交椭圆Γ于A,B两点,若Γ的中心位于以AB为直径的圆外,则椭圆离心率e的范围为 .
    2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷(初试)
    参考答案与试卷解析
    一、填空题。
    1.函数y=的值域为 [1,2] .
    【分析】求出函数的定义域,利用导数研究出函数的单调性,确定出最值的位置,求出相应的函数值,即可得到值域
    【解答】解:∵y=
    ∴解得4≤x≤5
    又y′=
    令y′>0解得,令y′<0,得,故当函数取到最大值2
    又x=4时,y=,x=5时,y=1
    函数y=的值域为[1,2]
    故答案为[1,2]
    【点评】本题考查求函数的值域,由于本题函数解析式比较特殊,单调性不易判断出,故采取了求导的方法研究函数的单调性,确定出函数最值的位置,求出值域,解答本题关键是熟练掌握求导公式,以及掌握导数法确定函数单调性的步骤.
    2.x∈(0,),求函数y=sin2xcsx的最大值为 .
    【分析】由同角三角函数的平方关系,可得y=csx﹣cs3x,令t=csx∈(0,1),再求导,判断函数f(t)的单调性,然后求其最大值,即可.
    【解答】解:y=sin2xcsx=(1﹣cs2x)csx=csx﹣cs3x,
    令t=csx,则f(t)=t﹣t3,f'(t)=1﹣3t2,
    因为x∈(0,),所以t∈(0,1),
    令f'(t)=1﹣3t2=0,则t=±,
    所以f(t)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,
    所以f(t)max=f()=,即函数y的最大值为.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查利用导数求函数的最值,还涉及同角三角函数的平方关系,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
    3.已知x、y、z满足x+y+z=1,则x2+4y2+9z2的最小值为 .
    【分析】直接利用柯西不等式的应用求出结果.
    【解答】解:已知x、y、z满足x+y+z=1,利用柯西不等式,
    整理得,当且仅当x=4y=9z,即x=,y=,z=,时,等号成立,
    故x2+4y2+9z2的最小值为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查的知识要点:柯西不等式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
    4.在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,已知acsC﹣bcs2A=asinAsinB﹣csinA,则tanA的值为 1 .
    【分析】根据已知条件,结合正弦定理,以及三角函数的恒等变换公式,求出sinA=csA,即可求解.
    【解答】解:∵acsC﹣bcs2A=asinAsinB﹣csinA,
    ∴由正弦定理可得,sinAcsC﹣sinBcs2A=sin2AsinB﹣sinCsinA,
    ∴sinAcsC+sinCsinA=sinB(sin2A+cs2A)=sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC,
    ∴sinCsinA=csAsinC,
    ∵sinC≠0,
    ∴sinA=csA,
    ∴tanA=1.
    故答案为:1.
    【点评】本题主要考查解三角形,考查转化能力,属于基础题.
    5.若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是 [4,+∞)或(﹣∞,0] .
    【分析】由题意可知===++2.由此可知的取值范围.
    【解答】解:在等差数列中,a1+a2=x+y;在等比数列中,xy=b1•b2.
    ∴===++2.
    当x•y>0时,+≥2,故≥4;
    当x•y<0时,+≤﹣2,故≤0.
    答案:[4,+∞)或(﹣∞,0]
    【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细思考.
    6.已知向量,,满足||=3,||=2,•=6,且()(+2)=0,则|+|最小值为 .
    【分析】先根据||=3,||=2,•=6求出,的夹角θ,建立直角坐标系,设=(x,y),根据()(+2)=0得到的终点的轨迹是以(﹣2,﹣)为圆心,为半径的圆,再根据||=表示的是圆(x+2)2+(y+)2=上的点到点(﹣2,﹣2)的最小值,进而求解即可.
    【解答】解:设,的夹角为θ,根据•=||||csθ=6,解得,则θ=45°.
    以方向为x轴正方向建立如下图坐标系:
    则,,设=(x,y),则,,
    因为()(+2)=0,所以(3+x)(2+2x)+y(2+2y)=0,整理得到(x+2)2+(y+)2=,
    所以的终点的轨迹是以(﹣2,﹣)为圆心,为半径的圆.
    因为,所以||=,表示的是圆(x+2)2+(y+)2=上的点到点(﹣2,﹣2)的最小值,
    经验证(﹣2,﹣2)在圆外,故最大值为点(﹣2,﹣2)到圆心的距离减去半径的长度.
    点(﹣2,﹣2)到圆心的距离d==,
    则|+|最小值为=.
    故答案为:.
    【点评】本题主要考查平面向量的数量积和图形的几何意义,属于中档题.
    7.已知直线y=ax+2与三次曲线y=x3﹣ax有三个不同交点,则a的取值范围为 (,+∞) .
    【分析】利用分离参数法,构造函数,再对函数求导,求得函数的单调性,再分析a的范围即可.
    【解答】解:依题设得ax+2=x3﹣ax,即x3=2ax+2有三个不同的解.显然x≠0,于是.
    记,则.
    所以f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,0)及(0,+∞)上单调递增,
    ,,
    由图像知2a>3,解得a,
    故答案为:(,+∞).
    【点评】本题考查导数的应用,考查学生的运算能力,属于难题.
    8.在棱长为6的正四面体ABCD中,M为面BCD上一点,且|AM|=5,设异面直线AM与BC所成的角为α,则|csα|最大值为 .
    【分析】过点A作底面BCD的垂线为AH,H为垂足,连接DH,推导出AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线,且M所在的底面圆周半径r=1,由最小角定理知,AM与BC所成角α的最小值为AM与面BCD所成线面角,由此能求出结果.
    【解答】解:过点A作底面BCD的垂线为AH,H为垂足,连接DH,
    DH==2,AH==2,
    ∵AM=5,∴AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线,
    且M所在的底面圆周半径r=1,
    由最小角定理知,AM与BC所成角α的最小值为:
    AM与面BCD所成线面角,
    即当α最小时,(csα)max=.
    故答案为:.
    【点评】本题考查线面角的定义、最小角定理、旋转的性质、正四面体的结构特征、圆锥的结构特征等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    9.方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=7的非负整数解个数为 42 .
    【分析】讨论六个字母的取值,通过分类讨论,分别求解即可.
    【解答】解:方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=7的非负整数解,
    令a=x1+x2+x3,b=x4+x5,c=x6,可知c∈{0,1},b∈{0,3,6},a∈{0,1,2,3,4,5,6,7},
    又a+3b+5c=7,a=7,则非负整数解个数为3组;
    a=6,非负整数解个数为0组;
    a=5,非负整数解个数为0组;
    a=4,x1、x2、x3,取值为:0,0,4;0,1,3;0,2,2;1,1,2四种类型,x6为0,x4,x5为0,1,
    非负整数解个数为2×(3+6+3+3)=30组;
    a=3,非负整数解个数为0组;
    a=2,x1、x2、x3,取值为:0,0,2;0,1,1;x6为1,x4,x5为0,0,
    非负整数解个数为3+3=6组;
    a=1,x1、x2、x3,取值为:0,0,1;x6为0,x4,x5为3,3,
    非负整数解个数为3组;
    a=0,非负整数解个数为0组;
    共有:3+30+6+3=42.
    故答案为:42.
    【点评】本题考查不定方程解的公式问题,排列组合的实际应用,是难题.
    10.设F,l为双曲线=1的右焦点与右准线,椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线,过F作一条平行于y=x的直线,交椭圆Γ于A,B两点,若Γ的中心位于以AB为直径的圆外,则椭圆离心率e的范围为 <e<1 .
    【分析】根据定义求得椭圆Γ的焦准距,设椭圆中心为O,建立平面直角坐标系,联立直线AB和椭圆Γ,利用韦达定理与向量法即可求解.
    【解答】解:由双曲线方程可知其焦准距为:3,
    则椭圆Γ的焦准距=3(同侧焦点和准线),
    如图,设椭圆中心为O,建立平面直角坐标系,
    设Γ:=1(a>b>0),
    设A(x1,y1),B(x2,y2),
    设直线AB方程:y=(x+c),
    联立直线AB和椭圆Γ可得:(b2+3a2)x2+6a2cx+3a2c2﹣a2b2=0,
    由韦达定理得:,
    由椭圆中心O位于以AB为直径的圆外,
    则有:>0⇒x1x2+y1y2>0,
    代入韦达定理:+>0,
    所以4a4﹣10a2c2+3c4<0,
    即,3e4﹣10e2+4<0,
    解得:<e<1.
    故答案为:<e<1.
    【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质,主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系,考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.

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