2024年五升六数学暑假专题训练 专题4 长方体（二）（北师大版）

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一、体积和容积
1、物体所占空间的大小，是物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。
二、体积单位和容积单位
1、常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
2、棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作 1 厘米3(cm3 )。
棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作1分米3(dm3)。
棱长为1米的正方体，体积是1立方米，记作1米3(m3)。
3、容器内盛放液体的量一般用升(L)、毫升(mL)作单位。
4、棱长为 1 dm 的正方体的容积是 1 L。
棱长为 1 cm 的正方体的容积是 1 mL。
三、长方体和正方体的体积
1、长方体的体积的计算公式:长方体的体积=长×宽×高，字母公式:V=abh。
2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长。字母公式:V = a×a×a=a3，a3读作a 的立方。
四、体积单位的换算
1、1 m3=1000 dm3 1 dm3=1000 cm3
1 L=1000 mL 1 L=1 dm3 1 mL=1 cm3
2、有趣的测量
不规则物体的体积的测量方法:把不规则物体的体积转化成可测量计算的水的体积，水面上升、下降或溢出的水的体积，就是浸入水中物体的体积。

一．选择题（共6小题）
1．（2024•邳州市模拟）如图，一个长方体被挖掉一小块，下列说法中完全正确的是
A．体积减少，表面积也减少。B．体积减少，表面积增加。
C．体积减少，表面积不变。
【分析】通过观察图形可知，在长方体棱的中间挖掉一个小长方形，原来这个小长方体外露2个面，挖掉这个小长方体后比原来多外露2个面，所以剩下图形的表面积增加了体积减少了。据此解答即可。
【解答】解：原来这个小长方体外露2个面，挖掉这个小长方体后比原来多外露2个面，所以剩下图形的表面积增加了体积减少了。
故选：。
2．（2023秋•宁阳县期末）一个球的体积是
A．B．C．D．
【分析】因为容器中的水不满，所以放入一个球排出水5毫升，再放入一个球共排除水20毫升，那么一个球排出水的体积是毫升。据此解答即可。
【解答】解：（毫升）
15毫升立方厘米
答：一个求的体积是15立方厘米。
故选：。
3．（2024春•凤翔区期中）一个长方体鱼缸，长30厘米，宽20厘米，水深8厘米，将一块石头放入水中后水面上升4厘米（水未溢出），这块石头的体积是 。
A．2400B．4800C．6000D．7200
【分析】根据题意，这块石头的体积等于长方体鱼缸内水上升的体积，结合长方体的体积公式，解答即可。
【解答】解：
（立方厘米）
答：这块石头的体积是2400立方厘米。
故选：。
4．（2024春•方城县期中）如图，一根长两米的长方体木料沿虚线锯成两段后，表面积增加，原长方体木料的体积是
A．B．C．
【分析】通过观察图形可知，把这根长方体木料横截成两段，表面积增加了200平方厘米，表面积增加的是两个截面的面积，据此可以求出长方体的底面积，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出原来长方体木料的体积。
【解答】解：2米厘米
（立方厘米）
答：原长方体木料的体积是20000立方厘米。
故选：。
5．（2024春•亳州期中）一个正方体玻璃鱼缸，底面边长为，放入一块石头后水面升高了，这块石头的体积是
A．B．C．
【分析】水面升高的体积就是石头的体积，鱼缸底面边长底面边长底面积，底面积水面上升的高度石头的体积，据此列式计算。
【解答】解：
答：这块石头的体积是。
故选：。
6．（2024春•潍坊期中）将一根长为15分米的长方体木料沿长截成3小段，表面积比原来增加了48平方分米，则原长方体木料的体积是 立方分米。
A．30B．360C．240D．180
【分析】根据题意可知，把这个长方体木料横截成3段后，比较比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积底面积高，把数据代入公式解答。
【解答】解：1米分米
（立方分米）
答：则原长方体木料的体积是180立方分米。
故选：。
二．填空题（共6小题）
7．（2024春•丹江口市期中）如图，从这个长方体木块中截取一个最大的正方体，则这个正方体木块的体积是 27立方厘米 。
【分析】通过观察图形可知，从这个长方体木块中截取一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。
【解答】解：
（立方厘米）
答：这个正方体的体积是27立方厘米。
故答案为：27立方厘米。
8．（2024春•新郑市期中）把2.1立方米的沙子填入一个长方体沙池，沙池的底是一个面积为7平方米的长方形，可以铺的厚度为 3 分米。
【分析】根据长方体体积底面积高，高长方体体积底面积，即可解答。
【解答】解：（米
0.3米分米
答：可以铺的厚度为3分米。
故答案为：3。
9．（2024春•房县期中）把一根长的长方体木料截成两个小长方体（如图所示），表面积增加了，原来这块木料的体积是 。
【分析】长方体木料截成两个小长方体后，表面积增加了两个面的面积，所以可以求一个面的面积，即长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积底面积高，再用长方体的底面积乘长方体木料的长，即可解答。
【解答】解：
答：把一根长的长方体木料截成两个小长方体（如图所示），表面积增加了，原来这块木料的体积是。
故答案为：。
10．（2024春•鼓楼区期中）一块面积为的长方形木板如下图所示竖直放置，现让木板向右平移，它扫过的立体图形的体积是 12500 。
【分析】一块面积为的长方形木板如下图所示竖直放置，现让木板向右平移，它扫过的立体图形是长方体，长是，宽乘高是，根据长方体体积长宽高，即可解答。
【解答】解：
答：它扫过的立体图形的体积是。
故答案为：12500。
11．（2024春•南宁期中）琪琪家的茶叶盒是边长为的小正方体。她把这些小正方体整齐摆放在一个长方体的透明收纳箱里。如图所示是琪琪取出一部分后，收纳箱中剩下的小正方体叶茶盒摆放的情况，这个收纳箱的容积是 90 。
【分析】由图可知：长方体的长等于小正方体的棱长，长方体的宽等于小正方体的棱长，长方体的高等于小正方体的棱长，由此分别求出长方体的长、宽、高，再代入体积（容积）公式：计算即可。
【解答】解：
答：这个收纳箱的容积是。
故答案为：90。
12．（2024春•湖里区期中）一个长方体容器里装满水，沿着容器边缘从左侧将水倒出一些（如图所示，单位：厘米），倒出了 100 立方厘米的水，还剩 立方厘米的水。（容器的厚度忽略不计）
【分析】通过观察图形可知，倒出水的体积相当于一个长8厘米、宽5厘米，高5厘米的长方体的体积的一半，剩下水的体积等于这个长方体容器的容积减去倒出水的体积，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。
【解答】解：
（立方厘米）
（立方厘米）
答：倒出了100立方厘米的水，还剩380立方厘米的水。
故答案为：100，380。
三．判断题（共4小题）
13．（2024春•淅川县期中）一个长1.2米，宽0.8米，高0.5米的长方体木箱，它的容积是0.48立方米。 （判断对错）
【分析】物体的体积是指物体所占空间的大小，计算体积通常从物体的外面测量数据；物体的容积通常是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，计算容积通常从物体的里面测量数据，木箱的容积要小于木箱的体积，据此解答。
【解答】解：长方体木箱的体积：（立方米），容积小于体积，本题说法错误。
故答案为：。
14．（2024春•信都区期中）体积相等的两个正方体，它们的棱长也一定相等，表面积也一定相等。 （判断对错）
【分析】根据正方体的特征：两个正方体的体积相等，则其棱长相等，则表面积也就相等，判断即可。
【解答】解：体积相等的两个正方体，它们的棱长也一定相等，表面积也一定相等。原题说法正确。
故答案为：。
15．（2024春•确山县期中）在、、和 这一组数中，体积最大的是。 （判断对错）
【分析】把立方厘米数、立方分米数、立方米数都化成相同单位的名数，再根据数值的大小进行比较、排列，即可看出哪个体积最大。
【解答】解：
即
在、、和 这一组数中，体积最大的是。
原题说法错误。
故答案为：。
16．（2024•黔西南州模拟）一个长方体，它的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的6倍。 （判断对错）
【分析】根据长方体的体积长宽高，再根据积的变化规律，长方体体积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，据此解答即可。
【解答】解：
它的体积扩大到原来的8倍，所以原题说法错误。
故答案为：。
四．计算题（共2小题）
17．（2024春•宁乡市期中）求下面长方体和正方体的表面积和体积．单位：厘米．
【分析】长方体的表面积（长宽长高宽高）；长方体的体积长宽高；正方体的表面积棱长棱长；正方体的体积棱长棱长棱长；由此列式解答．
【解答】解：长方体的表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：长方体的表面积是236平方厘米，体积是240立方厘米．
正方体的表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：正方体的表面积是294平方厘米，体积是343立方厘米．
18．（2023春•陆河县期末）如图，计算如图图形的表面积和体积。
【分析】左图的表面积等于长方体的表面积加上正方体的侧面积，体积等于长方体和正方体体积之和；
右图的表面积等于正方体的表面积，体积等于正方体的体积减去缺口处体积。
【解答】解：左图
表面积：
体积：
答：左图的表面积是，体积是。
右图
表面积：
体积：
答：右图的表面积是，体积是。
五．解答题（共7小题）
19．（2024春•丹江口市期中）一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米，体积为3900立方厘米的假石山。如果水管以每分12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时间才能将假石山完全淹没？
【分析】根据题意可知，当注水的高度等于38厘米时，假石山完全淹没，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出水面高38厘米时水与假石山的体积和，再减去假石山的体积就是需要注入水的体积，然后用注入水的体积除以每分钟注水的体积即可。
【解答】解：
（立方厘米）
41700立方厘米升
（分钟）
答：至少要3.475分钟才能将假石山完全淹没。
20．（2024春•桑植县期中）四名同学合作进行了如下实验：
步骤1：小明准备了一个长方体玻璃缸。并从里面测量出玻璃缸的长是，宽是。高是。
步骤2：小兰往玻璃缸中倒入了的水。
步骤3：小红把这块正方体铁块放入玻璃缸中，发现水正好能淹没这块正方体铁块。
步骤4．小强测出水面上升了。
请你根据他们的测量结果，算出小兰倒入水后，水面的高度离容器口有多少分米？
如何计算铁块的体积？
【分析】（1）因为水的体积不变，用水的体积除以长方体水缸的底面积即可求出水面的高度，进而求出这时水面的高度离容器口的距离；（2）求这个铁块的体积是多少立方分米，即长方体水缸中上升的部分水的体积，由此根据长方体的体积长宽高，即可求得答案。
【解答】解：10升立方分米
（分米）
（分米）
（立方分米）
答：这时水面的高度离容器口4分米。这个铁块的体积是6立方分米。
21．（2024春•方城县期中）测量一块不规则铁块的体积。
实验小组的同学先将水注入一个长方体水箱中，如图（1），然后将这块不规则的铁块放入长方体水箱中，如图（2）。先后测量得到的数据如图所示，请利用这些数据计算出不规则铁块的体积。
【分析】根据题意，将水注入一个长方体水箱中，水深10厘米，结合长方体的体积公式，，即可求出长方体水箱的底面积；然后根据将这块不规则的铁块放入长方体水箱中，水上升的体积就是不规则铁块的体积，结合长方体的体积公式，解答即可。
【解答】解：6升立方分米立方厘米
（平方厘米）
（立方厘米）
答：不规则铁块的体积是2400立方厘米。
22．（2023春•虞城县校级期中）在一个底面积为16平方分米的容器内，水深8厘米，向里面放入一个铁块，铁块被淹没，水面上升到13厘米处，这个铁块的体积是多少？
【分析】根据题意可知，不规则物体的体积容器的底面积水面上升的高度，据此进行计算即可。
【解答】解：16平方分米平方厘米
（立方厘米）
答：这个铁块的体积是8000立方厘米。
23．（2023春•成武县期中）学习了用“排水法”求不规则物体的体积后，五（1）班数学兴趣小组的同学进行了一项实验，并填写出了下面的实验记录单。
平均每个玻璃球的体积是多少立方厘米？
【分析】根据求不规则物体的体积的方法，不规则物体的体积容器的底面积水面上升的高度，再结合长方体的体积公式：，据此求出50个玻璃球的体积，再除以50即可求出平均每个玻璃球的体积是多少。
【解答】解：
（立方厘米）
答：平均每个玻璃球的体积是1.5立方厘米。
24．（2023春•锦江区期末）淘气和笑笑在科学课上，完成“增加船的载重量”小实验时发现铝箔船的容积越大船的载重量越大。下面是他们的实验过程：把一张边长为18分米的正方形铁皮，剪去4个边长为整分米的小正方形，沿虚线翻折做成一个长方体容器（如图所示），容器的容积最大是多少？算一算，并记录下探索的过程。
【分析】当减去的正方体的棱长时1分米的时候，这个容器的长和宽都是分米，高是1分米，根据长方体的体积公式，代入数据求出容器的体积；
当减去的正方体的棱长时2分米的时候，这个容器的长和宽都是分米，高是2分米，根据长方体的体积公式，代入数据求出容器的体积；
当减去的正方体的棱长时3分米的时候，这个容器的长和宽都是分米，高是3分米，根据长方体的体积公式，代入数据求出容器的体积；
当减去的正方体的棱长时4分米的时候，这个容器的长和宽都是分米，高是4分米，根据长方体的体积公式，代入数据求出容器的体积；
然后比较它们的体积大小即可得出结论。
【解答】解：当减去的小正方形的边长是1分米时，容器的容积是：
（立方分米）
当减去的小正方形的边长是2分米时，容器的容积是：
（立方分米）
当减去的小正方形的边长是3分米时，容器的容积是：
（立方分米）
当减去的小正方形的边长是4分米时，容器的容积是：
（立方分米）
即当减去的小正方形的边长是3分米时，容器的体积最大，最大为432立方分米。
答：容器的容积最大是432立方分米。
25．（2023春•台州期末）有一个棱长为60厘米的正方体玻璃容器如图，放入一个高为10厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃容器的水面高度变化情况如图。
（1）图中 的位置表示长方体铁块全部浸没水中。（从、、中选择）
（2）正方体玻璃容器中原来有多少升水？
（3）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？
【分析】（1）对照图示，当水面最高时，长方体铁块全部浸没水中；
（2）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。
（3）用铁块的体积除以高即可求解。
【解答】解：（1）根据图示可得：图中的位置表示长方体铁块全部浸没水中。
（2）
（立方厘米）
72000立方厘米升
答：正方体玻璃容器中原来有72升水。
（3）
（平方厘米）
答：长方体铁块的底面积是2880平方厘米。
故答案为：。长方体玻璃缸
长
15厘米
宽
10厘米
高
8厘米
水面高度
沉入物体前：6厘米
沉入物体后：6.5厘米
浸没水中的物体和数量
50个玻璃球