苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用精品随堂练习题

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1．已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点坐标得向量，结合方向向量的定义以及向量共线即可求解.
【解析】由题知，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．D选项中的向量与线，所以是直线的方向向量．
故选：D．
2．若，分别为直线，的一个方向向量，则（ ）．
A．B．与相交，但不垂直
C．D．不能确定
【答案】C
【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可求解.
【解析】由，，得
，
所以，即.
故选：C.
3．已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后根据向量共线确定正确选项.
【解析】由题知，，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量. A选项中的向量与不共线，所以不是直线的方向向量.
故选：A
4．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（ ）
A．B．C．2D．16
【答案】A
【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.
【解析】由条件可知，，得.
故选：A
5．已知平面内有两点，若平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．-24D．24
【答案】C
【分析】根据，即可列出等量关系，求得结果.
【解析】由题可得，因为平面的一个法向量为，所以，
所以，解得．
故选：C．
6．已知，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出平面ABC的一个法向量，进而得出单位法向量．
【解析】因为
所以，
令平面ABC的一个法向量为
可得，即，令，则，所以
故平面ABC的单位法向量是，即或．
故选：B．
7．在空间直角坐标系中，平面过点，它的一个法向量为．设点为平面内不同于的任意一点，则点的坐标满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程即可.
【解析】因为，，所以，
由已知，，
所以，所以，
故选：C.
8．已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（ ）
A．与不是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】C
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
【解析】对于A，，，由于，
所以与不是共线向量，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，
，故C错误；
对于D，，，设平面的法向量，
则，取，得，故D正确，
故选：C.
9．已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据入射角等于反射角的性质作图即得．
【解析】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B.
【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型．
10．以下四组向量：①，；②，；③，；④，.其中，分别为直线，的方向向量，则它们互相平行的是（ ）
A．②③B．①④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】由向量的坐标表示和向量共线定理，逐一判断即可得结果.
【解析】①∵，∴
.②∵，∴.
③∵，∴.
④∵，∴.
故选：D
【点睛】本题考查向量的坐标表示和向量共线定理，考查了运算求解能力，属于基础题目.
11．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法向量的定义判断.
【解析】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确.
故选：D
12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为（0，0，2）B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.
【解析】建立空间直角坐标系如图：
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，
取，可得.
因为，，
所以平面PAB，
所以平面平面PAB，
所以，
所以.
综上所述，A，B，C错，D正确.
故选：D
二、多选题
13．(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A．(1，2，3)B．(1，3，2)
C．(－1，－2，－3)D．(－1，－3，－2)
【答案】AC
【分析】由结合直线方向向量的定义求解即可.
【解析】
故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(－1，－2，－3)．
故选：AC
14．（多选）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】ABC
【分析】根据向量共线的坐标表示，可判断AB；根据向量夹角公式，可判断C；根据平面法向量的求法，即可得出结果.
【解析】对于A ，，，所以不存在实数，使得，则与不是共线向量，所以A错误；
对于B，因为，所以与同向的单位向量为，所以B错误；对于C，向量，，所以，所以C错误；
对于D项，设平面的一个法向量是，，，所以，则，令，则平面的一个法向量为，所以D正确.
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查空间向量的应用，考查空间向量的夹角公式，法向量的求法等，属于常考题型.
15．在空间直角坐标系中，已知向量（其中），定点，异于点的动点，则以下说法正确的是（ ）
A．若为直线的方向向量，则
B．若为直线的方向向量，则
C．若为平面的法向量，面经过和P，则
D．若为平面的法向量，面经过和P，则
【答案】AD
【分析】由直线的方向向量、平面法向量的概念求解判断．
【解析】直线是直线的一个方向向量，，为直线的方向向量，则，A正确 ，B错误，
在平面内，为平面的法向量，则，
所以，C错误D正确．
故选：AD．
16．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由已知，根据题意，表示出各点坐标，然后假设平面的法向量为，将选项一一代入验证即可做出判断.
【解析】由已知，设正方体边长为，
因为为的中点，为的中点，
所以，，，
所以，，设平面的法向量为
选项A，假设，则需满足，
即，满足，该选项正确；
选项B，假设，则需满足，
即，不满足，该选项错误；
选项C，假设，则需满足，
即，不满足，该选项错误；
选项D，假设，则需满足，
即，不满足，该选项错误；
故选：BCD.
三、填空题
17．直线的方向向量是指和这条直线___________的非零向量，一条直线的方向向量有___________个；平面的法向量是指与该平面___________的非零向量，一个平面的法向量有___________个.
【答案】 平行 无数 垂直 无数
【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，即可求解.
【解析】根据直线的方向向量的定义，可得直线的方向向量是与这条直线平行的非零向量，
其中一条直线的方向向量有无数个；
根据平面法向量的定义，可知平面的法向量与该平面垂直的非零向量，一个平面的法向量由无数个.
故答案为：平行；无数；垂直；无数.
18．已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量：______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据直线方向向量的求法求得.
【解析】由于，，
所以直线的一个方向向量.
故答案为：（答案不唯一）
19．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
【答案】
【分析】先求出正四面体中各边的长度，得到各个点的坐标.
对于（1）（2）：直接求出方向向量；
对于（3）：根据法向量的定义列方程组，即可求得；
对于（4）：利用重心坐标公式直接求得.
【解析】由题意可得：,,..
由图示，可得：，，，，，，
（1）直线BC的一个方向向量为，
（2）点OD的一个方向向量为；
（3）,.设为平面BHD的一个法向量，
则，不妨设，则.
故平面BHD的一个法向量为.
（4）因为，，，，
所以的重心坐标为.
故答案为：（1）；（2）；（3）（4）.
20．如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，E为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，借助线面角求出DP长，并求出点A，B，P的坐标，再利用空间向量求出平面的单位法向量作答.
【解析】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即，
在正方形中，，而，则有，
于是得，PB中点，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
与共线的单位向量为，
所以平面的单位法向量.
故答案为：
四、解答题
21．如图，在长方体中．
(1)写出直线的一个方向向量；
(2)写出平面的一个法向量；
(3)写出与，共面的两个向量．
【答案】(1)
(2)
(3),
【分析】（1）（2）（3）根据直线方向向量、平面法向量、共面向量的定义可得.
(1)
易知，所以向量为直线的一个方向向量.
(2)
在长方体中，平面，所以是平面的一个法向量.
(3)
由共面向量的定义可知,都是与，共面的向量.
22．已知正方体，分别写出对角面和平面的一个法向量．
【答案】平面的一个法向量为，平面的一个法向量为；
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，分别求出平面与平面的法向量；
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、，所以，，，设面的法向量为，所以，令，则，，所以，即平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，所以平面的一个法向量为；
23．已知直线l经过点，平行于向量，求经过直线l和点的平面的一个法向量的坐标．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平面的法向量与平面垂直，建立等式即可求解.
【解析】由题意，，设经过直线和点的平面的一个法向量为，
则有，令，可得，所以，
所以经过直线l和点的平面的一个法向量的坐标可以是.
24．在空间直角坐标系中，设平面α经过点，平面α的法向量为，是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【答案】
【分析】根据是平面的法向量，可得，则有，从而可得出答案.
【解析】解：因为，则，
因为是平面的法向量，所以，
所以，，
从而，
即，
得到，
所以满足题意的关系式为．
25．如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量．
【答案】（结果不唯一）
【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可.
【解析】不妨设平面的法向量，又，
故可得，即，不妨取，故可得，
故平面的一个法向量为.
又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可.
故答案为：.（结果不唯一）
26．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，，H是的中点，建立适当的空间直角坐标系，求线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量．
【答案】见解析
【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由已知求出各点坐标，从而可求出线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量
【解析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为E，F分别是，DB的中点，
所以，
因为G在棱CD上，，H是的中点，
所以，，
所以， ，，，
所以线段，EF，，FH所在直线的一个方向向量分别为
， ，，，
27．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设棱长为2，平面BDD1B1的一个法向量为，利用 即可求得；
（2）设平面BDEF的一个法向量为，利用 即可求出.
【解析】设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则，
（1）设平面BDD1B1的一个法向量为，
，
则，即 ，令，则，
平面BDD1B1的一个法向量为；
（2），
设平面BDEF的一个法向量为．
∴， ，令，得，
平面BDEF的一个法向量为.