高中数学13.3 空间图形的表面积和体积优秀课时练习

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知识点01 棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
知识点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
【即学即练1】（2024·高二·北京海淀·阶段练习）在长方体中，.该长方体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，在长方体中，连接,
，
，
该长方体的表面积为.
故选：D.
知识点02 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1、圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得．
（2）圆柱的表面积：．
2、圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表．
3、圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为．
（2）圆台的表面积：．
知识点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
【即学即练2】（2024·高一·河南·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出圆锥的轴截面，如图：
设圆柱的半径为r，由题意得，即，
则圆柱的侧面积，
而，
∴当时，圆柱的侧面积S取最大值．
故选：D.
知识点03 柱体、锥体、台体的体积
1、柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是．
综上，柱体的体积公式为．
2、锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
综上，锥体的体积公式为．
3、台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为．
【即学即练3】（2024·高三·河北衡水·阶段练习）分别为正四棱台的上、下底面的中心，且，则正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知上、下底面的面积、高分别为，
所以正四棱台的体积为.
故选：C.
知识点04 球的表面积和体积
1、球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2、球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
【即学即练4】（2024·高一·河南·阶段练习）已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 ．
【答案】
【解析】设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，
可得球心到两截面圆的距离分别为，．
当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，
所以，解得或（舍）；
当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．
综上，，故该球的体积为．
故答案为：
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
【典例1-1】（2024·河南·模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，
所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
【典例1-2】（2024·高二·新疆·阶段练习）已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【解析】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，
其表面积为：.
故选：C
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【解析】当该几何体为正四面体时，其表面积为．
当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．
当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．
当该几何体为正方体时，其表面积为．
故选：D．
【变式1-2】（2024·高二·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，
设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
过点作于点，如图所示，
因为，
所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以方亭的侧面积为.
故选：B.
【变式1-3】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知正四棱台的上、下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，
所以侧面的斜高为，则，
上下底底面面积分别为，
所以该四棱台的表面积为，
故选：C.
【方法技巧与总结】（求多面体表面积注意事项）
1、多面体的表面积转化为各面面积之和．
2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积
【典例2-1】（2024·高三·山东淄博·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱与底面ABCD所成的角为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，
则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面，
因为上、下底面边长分别为2和4，所以，
故，，
，由于，故，
故该正四棱台的体积为.
故选：B
【典例2-2】（2024·高二·上海·专题练习）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；

【解析】由底面菱形的两对角线长分别为，，
不妨设，，
则底面菱形的面积（）
所以该棱柱的体积为（）
【变式2-1】（2024·高二·内蒙古呼和浩特·期中）如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
【解析】（1）正三棱柱的底面积为，
所以正三棱柱的体积为，
设正三角形的内切圆半径为，
所以，所以，
所以圆锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
（2）因为正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，
倒圆锥的母线长为，
所以倒圆锥的侧面积为，
所以该几何体的表面积为.
【变式2-2】（2024·高三·四川·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．

(1)证明：平面．
(2)若，求四棱锥的体积．
【解析】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为线段的中点．
又为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）
记的中点为，连接，，
因为是边长为2的正三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，且平面，
所以平面，则．
又，，所以平面，
则．
因为四边形为矩形，所以，
则，
即，解得．
因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，
所以四棱锥的体积．
【变式2-3】（2024·高三·四川内江·开学考试）如图，四棱锥中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．

(1)证明：；
(2)若，M是PA的中点，求三棱锥的体积．
【解析】（1）
取BC中点N，连接AN，则，又，，
所以四边形ANCD为正方形，则，，
又在中，，则，所以，即．
又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，
所以平面，又面PAC，所以．
（2）连接，交于O，连接，
因为平面，平面，所以
由于，，又因为，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面
所以，
，
又因为M为PA中点，所以
【变式2-4】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在棱长均为6的三棱柱中，D、分别是BC和的中点．

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，，求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：连接，
在三棱柱中，
D、分别是BC和的中点，，且，
又，，，，
四边形为平行四边形，
，
又平面ABD，平面，
故平面．
（2）在三棱柱中，棱长均为6，则，
D为BC的中点，，
平面平面，交线为BC，平面ABC，
平面，即AD是三棱锥的高，
在中，，得，
在中，，，
为等边三角形．
的面积为，
．
【方法技巧与总结】（求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项）
1、常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2、求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
【典例3-1】（2024·高三·河北石家庄·期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意作图如下：
由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，
该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，
故该圆柱的侧面积，
当时，侧面积取得最大值．
故选：C.
【典例3-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）若一个圆锥的母线长为，且其侧面积与其轴截面面积的比为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得，
所以该圆锥的高为.
故选：A
【变式3-1】（2024·高三·辽宁·期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积.
表面积，
故.
故选：A.
【变式3-2】（2024·高三·河北张家口·期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，
由图形可得，，
母线与下底面所成的角为，故，
故圆台的母线长为2，所以侧面积为，
所以该圆台的表面积为．
故选：C．
【变式3-3】（2024·高三·河南·阶段练习）《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：
则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，
母线5，
所以圆台的表面积.
故选：D
【变式3-4】（2024·高三·河南周口·阶段练习）中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，
可得该瓷器的侧面积为．
故选：D
【方法技巧与总结】（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得，
因为圆锥的侧面积为，所以．
故该几何体的体积为．
故选：B.
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面半径为2，该圆台内切球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设该圆台内切球的半径为R，则，．
设圆台的下底面半径为r，易知圆台的轴截面与球的轴截面内切，
圆台的高为，母线长为，
，解得，
圆台的体积为.
故选：A．
【变式4-1】（2024·高一·贵州贵阳·期末）已知直角三角形三边长分别为3，4，5，以其中一条边所在直线为轴旋转一周后得到一个几何体，则该几何体的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当以斜边为轴旋转时，所得的几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示，
在直角三角形中，所以
解得：
故圆锥底面面积为：
所以几何体的体积为
以为轴旋转时，
当以为轴旋转时，
综上所述，当以为轴旋转时，体积最大，
故选： C.
【变式4-2】（2024·高一·辽宁·期末）如图．在直角梯形ABCD中，，，，，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，直角梯形旋转一周所得几何体为圆台，
则圆台高，
上下底面面积，
所以.
故选：C
【变式4-3】（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）等腰直角三角形的斜边为，以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在等腰直角中，设斜边的中点为，则，且，
以斜边为轴旋转一周所得几何体是以为底面圆的半径，高分别为、的两个圆锥拼接而成的组合体，
所以，该几何体的体积为.
故选：B.
【方法技巧与总结】（求几何体积的常用方法）
（1）公式法：直接代入公式求解．
（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
题型五：简单组合体的表面积
【典例5-1】（2024·高一·福建漳州·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一、图是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中是圆锥的顶点，分别是圆柱上、下底面圆的圆心，且.若该陀螺的体积是，底面圆的半径为，则其表面积为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
陀螺的体积，解得：，则圆锥母线长为，
陀螺的表面积.
故选：C.
【典例5-2】（2024·高二·陕西榆林·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为.
故选：D.
【变式5-1】（2024·高一·福建厦门·阶段练习）如图，一个几何体的上半部分是一个圆柱体，下半部分是一个圆锥体，圆柱体的高为1m，圆锥体的高为2m，公共的底面是半径为1m的圆形，那么这个几何体的体积为 ，表面积为 .
【答案】 /
【解析】由题意知，几何体的体积为圆柱体积加圆锥体积，即；
设圆锥的母线为，则，表面积为圆柱的上底面面积加上圆柱的侧面积加上圆锥的侧面积，
即.
故答案为：；.
【变式5-2】（2024·高一·广西柳州·期中）如图所示，圆锥的底面直径和高均为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩余几何体的表面积是 ．
【答案】
【解析】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图，
矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上，
依题意，，因为PO中点，则，，圆锥母线，
圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积，
剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后，
圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等，
所以剩余几何体的表面积是.
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它由哪些简单空间图形组成，然后再根据条件求各个空间图形的基本量，注意方程思想的应用．
（2）在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种空间图形，哪些面计算在内，哪些面在实际中没有．
题型六：组合体的体积
【典例6-1】（2024·高一·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在几何体ABCFED中，，，，侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，则该几何体的体积为 .
【答案】
【解析】在上取点，在上取点，使得，连接，
又由已知侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，
得，即，
故四边形与四边形都为平行四边形，
所以，，
又平面，且平面，
则平面，
同理，平面，，
平面，平面，
故平面平面，且平面，
则几何体为直三棱柱.
因为，，，
所以，
所以是以为直角的直角三角形，，
由侧棱AE垂直于底面ABC，得，
，平面，且平面，
故平面，则平面，
又，，
则多面体是四棱锥，且高为，
又，则，四边形为直角梯形，
所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，
，
，
所以该几何体的体积为.
故答案为：.
【典例6-2】（2024·高三·北京·开学考试）“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为 ．

【答案】
【解析】
如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点，
则多面体可以分成8个全等三棱锥，
则
则该“十字贯穿体”的体积为:
故答案为：.
【变式6-1】（2024·高一·江苏·专题练习）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别和，高为，球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为 ．

【答案】/
【解析】由题意知圆台的体积为，
如图可知，则球心到圆台上底面的距离为，
故球缺的高为，
故球缺的体积为，
所以组合体的体积为，
故答案为：．
【变式6-2】（2024·高一·陕西西安·期中）如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为 .

【答案】
【解析】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球．
小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示：
由题意知：，则，，
，
小球滚动形成的圆柱的高为
则小球滚动形成的几何体的体积为：，
容器的体积为，
则小球无法碰触到的空间部分的体积为.
故答案为：．
【变式6-3】（2024·高一·安徽·期中）依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是 .
【答案】
【解析】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，
如图，
该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为，所以该正八面体的体积是.
故答案为：.
【变式6-4】（2024·高一·四川广安·期中）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有 个面，其体积为 .
【答案】 26
【解析】将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，
则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形；
所以该半正多面体共有个面，
如图所示，
因为半正多面体的棱长为1，所以，又为等腰直角三角形，
故，所以正方体棱长为，
由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，
其中三棱柱的高1，底面为斜边为的等腰直角三角形，
小正方体的棱长为，大正方体的棱长为，
所以所求体积
故答案为：；.
【变式6-5】（2024·高一·全国·单元测试）图中的多面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面，其长为，其余的棱长都是．已知，则这个多面体的体积是 ．
【答案】288
【解析】如图，在线段上分别取两点，使得平面平面，中点为，连接.
则由题意，，.
又，故，.
故这个多面体的体积
.
故答案为：288
【变式6-6】（2024·高一·贵州贵阳·期中）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为 .

【答案】
【解析】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为的圆柱组合而成，
于是几何体的表面积，解得，
所以该几何体的体积.
故答案为：
【方法技巧与总结】
求组合体体积的常用方法
（1）补体法：将空间图形补成易求解的空间图形，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
（2）分割法：将空间图形分割成易求解的几部分，分别求体积．
题型七：球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球）
【典例7-1】（2024·高二·上海·期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .
【答案】/
【解析】依题意，球的半径，所以球的体积.
故答案为：
【典例7-2】（2024·高二·上海·期中）球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为，因为，，，则，
所以，，则为直角三角形，且为斜边，
所以，的外接圆半径为，
因为所确定的截面到球心的距离等于球半径的，
则，可得，
因此，该球的体积为.
故答案为：.
【变式7-1】（2024·高一·重庆北碚·阶段练习）一个倒置的圆锥形容器，其轴截面为等边三角形，在其内放置两个球形物体，两球体均与圆锥形容器侧面相切，且两球形物体也相切，则小球的体积与大球的体积之比为 ．

【答案】
【解析】根据题意可截取圆锥轴截面，
分别设大球和小球与轴截面的切点为，圆锥顶点为，如下图所示：
易知，，
设大球和小球的半径分别为，即；
所以可得，又因为，
所以，代入球的体积公式可得.
故答案为：
【变式7-2】（2024·高一·浙江·期中）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为，则该圆锥的高为 ．
【答案】3
【解析】因为内切球的体积为，故内切球的半径满足，故.
设母线的长为，底面圆的半径为，故，故，
故轴截面为等边三角形（如图所示），设分别为等边三角形的内切圆与边的切点，
为内切圆的圆心，则共线且，，
而，故，故，
故答案为：3.
【变式7-3】（2024·高一·辽宁·阶段练习）在长方体中，；点分别为中点；那么长方体外接球表面积为 ；三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】长方体对角线长为，所以长方体外接球半径为，表面积为；
如图，分别是中点，则是矩形，平面平面，
分别是中点，则，而平面，所以平面，
所以平面，而平面，平面，
所以平面平面，平面平面，
由平面，平面，得，而，
设平面与的交点分别为，则分别是的中点，
所以分别是和的外心，
在平面内过作，过作交于点，
由平面，得，，
而，平面，所以平面，同理平面，
所以是三棱锥的外接球球心．
四边形是圆内接四边形，
由长方体性质知，所以，，，
，
由平面，平面，得，
，，
，所以，
所以三棱锥的外接球的体积为．
故答案为：；．
【变式7-4】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知三棱锥外接球的直径为，，，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，连接，，
如图.
则平面.
在中，，，∴，
∴外接圆的直径，∴.
∵三棱锥外接球的直径为，∴为的中点，
则三棱锥的高为，
∴，
解得，
∴该三棱锥外接球的半径，
∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：
【变式7-5】（2024·陕西西安·一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 .
【答案】
【解析】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，
连接，是球与侧面的切点，可知在上，，
设内切球半径为，则，，，，由，
，即，解得，
所以内切球表面积为.
故答案为：.
【变式7-6】（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知三棱锥，底面为等边三角形，边长为3，平面平面，，则该几何体的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】底面为边长为3的等边三角形，取的中点，
设为底面的中心，连接，
则，
过点作底面的垂线，则球心在直线上.
设为的外心，连接,
过点作平面的垂线，则球心在直线上.
即与交点即为该几何体外接球的球心.
因为是的中点，则，又平面平面，且平面平面平面，
所以平面，
则，同理可得，
所以四边形是平行四边形，又由平面，则，
所以四边形是矩形，则，
设外接球的半径，三角形的外接圆半径为，
由，，
则由正弦定理得，，
解得，即，
因为在中，，
则，
所以该几何体的外接球的表面积为．
故答案为：.
【变式7-7】（2024·高三·河南周口·期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上，
，则，侧面上高为，
则正三棱锥的表面积为，
则正三棱锥的体积为，
即，故，
又，则，则，
故，
令，则，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为3，
故答案为：3
【变式7-8】（2024·吉林白山·一模）在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.
根据锥体的体积，解得，
所以长方体的长宽高分别为，和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.
所以四面体外接球的体积为．
故答案为：.
【方法技巧与总结】（与球有关问题的注意事项）
1、正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．
2、球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a2，如图（2）．
3、长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝a2+b2+c22，如图（3）．
4、正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq \r(3)a．
5、正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq \f(\r(6),2)a．
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
一、单选题
1．（2024·广东湛江·一模）中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．下图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得该圆台形大花盆的上底面面积为，
下底面面积为，又高为，
代入圆台体积公式可得.
故选：C
2．（2024·高一·全国·专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则利用弧长公式可得，即；，即；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，
故选：C.
3．（2024·高一·河北保定·开学考试）已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆台的高为，且上下两底面面积分别为
根据圆台体积公式可得，解得.
故选：A
4．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，所以三角形是直角三角形，
设的内切圆半径为，则，
，所以三棱柱内能放置的最大球的半径为，
则最大球的表面积是.
故选：A
5．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）一个球的内接正四棱柱的侧面积与上、下两底面面积的和的比为，且正四棱柱的体积是，则这个球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图，正四棱柱中，设其底面边长为，侧棱长为，体积为，外切球的半径为．
依题可得：，解得： ①．
又②，由①②解得：．
因正四棱柱的体对角线 即其外切球的直径，故
于是，这个球的体积为：.
故选：D．
6．（2024·高三·湖南娄底·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高为，将该圆柱注满水，然后将一个半径为的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积减去实心球的体积，
即.
故选：B
7．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以，
又，且，平面SCD，
所以平面SCD，又平面，故平面平面SCD，
又，
所以是等腰直角三角形，
所以其外接圆的圆心是CD的中点，
又四边形ABCD为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点，
所以四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点，
所以外接球的半径为，
所以四棱锥的外接球的体积为．
故选：D．
二、多选题
8．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）边长为4的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，则关于四面体，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．四面体的体积为D．四面体的体积
【答案】BD
【解析】
取中点，连接，，则，，
而，，则，
又平面平面，平面平面，平面，
于是平面，平面，则，
所以，，AC错误，BD正确.
故选：BD
9．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）设棱长为 的正四面体的高、内切球的半径、外接球的半径分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】对正四面体，设其棱长为，过作面，显然为面的中心，连接，如下所示：
在三角形中，，故可得；
不妨设内切球球心为，连接，
又的表面积，
由等体积法可得：，即，解得；
在棱长为的正方体中，其外接球即为正四面体的外接球，
故；
对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对CD，显然错误.
故选：AB.
10．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，
由四棱锥的体积为，解得；
，解得；
∴外接球的体积为．
故选：ACD．
三、填空题
11．（2024·高一·广西柳州·阶段练习）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是 .
【答案】6
【解析】
如图所示，原长方体，
设矩形的面积为，，
阳马的体积为2，
即，所以，即原长方体的体积是6.
故答案为：6.
12．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是 ．（取3.14）
【答案】102.28
【解析】正方体的表面积为，圆柱的侧面积为，
则挖洞后几何体的表面积为．
故答案为：102.28.
13．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 ．

【答案】
【解析】设正四棱柱和正四棱锥的高为，外接球的半径为，
因为底面边长为，所以底面的对角线长为.
则，解得，
所以外接球的体积为.
故答案为：.
四、解答题
14．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：⊥平面.
(2)若，平面平面，求点到平面的距离.
【解析】（1）因为，为的中点，
所以，
又因为平面，
所以⊥平面.
（2）因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为，所以均为等边三角形，
故，故，
所以，
因为平面，平面，
所以，由勾股定理得，
取的中点，连接，
在中，，故⊥，
故，，
设点到平面的距离为，所以，解得.
15．（2024·高一·福建宁德·期末）在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点.
(1)求证：平面BDE.
(2)求三棱锥的体积
【解析】（1）如图，连接交于点，连接.
∵四边形是正方形，在中，为的中点，
又∵为的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）如图，取的中点，连接，
则且，
∵平面，∴平面，
∴就是三棱锥的高.
∴.
16．（2024·高二·上海·期中）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为30，圆锥的母线长为20．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，可得，且，
所以笼具的体积.
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
故笼具的表面积．
故制造50个这样的笼具总造价为：元，
答：这种笼具的体积约为，生产50个笼具需要元．
17．（2024·高三·四川·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，延长至点，使得为线段的中点．

(1)证明：平面．
(2)若，求四棱锥的体积．
【解析】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为线段的中点．
又为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）
记的中点为，连接，，
因为是边长为2的正三角形，所以．
又平面平面，且平面平面，且平面，
所以平面，则．
又，，所以平面，
则．
因为四边形为矩形，所以，
则，
即，解得．
因为为线段的中点，所以到的距离等于到的距离的2倍，
所以四棱锥的体积．
18．（2024·高二·山东·学业考试）如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．
(1)求证：平面；
(2)求四棱柱的体积．
【解析】（1）
在四棱柱中，，，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面．
（2）
取中点为，连结．
在四棱柱中，，
因为四边形为菱形，所以，
又因为，所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱柱的高．
因为底面为矩形，，
所以四棱柱的底面积为，
故四棱柱的体积为．
课程标准
学习目标
（1）能运用柱体、锥体、台体的表面积、体积公式进行计算和解决有关实际问题.
（2）培养空间想象能力和思维能力．
（1）通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.
（2）了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式.
（3）掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积.
（4）了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.
（5）会求简单组合体的体积及表面积．
项目
名称
底面
侧面
棱柱
平面多边形
平行四边形
面积=底·高
棱锥
平面多边形
三角形
面积=·底·高
棱台
平面多边形
梯形
面积=·（上底+下底）·高