福建省厦门市湖里区双十中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦门市湖里区双十中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．等差数列中,,则的前9项和为( )
A.B.C.90D.180
2．某调查机构对某地区互联网行业进行了调查统计，得到如图1甲所示的该地区的互联网行业从业者年龄分布饼状图和图乙所示的90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计知该地区互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从该地区互联网行业从业人员中选出1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为( )
（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.）
甲乙
3．过直线上的一点P作圆的两条切线,,切点分别为,当直线,关于对称时,线段的长为( )
A.4B.C.D.2
4．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音.已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知半径为4的球O，被两个平面截得圆、，记两圆的公共弦为AB，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
7．函数的一个极值点是1，则的值( )
A.恒大于0B.恒小于0C.恒等于0D.不确定
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为,离心率为2 ,焦点到渐近线的距离为.过作直线l交双曲线C的右支于A, B两点, 若H, G分别为 与的内心,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.,当不变时,越小,该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B.运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点
C.相关系数r越大,y与x相关的程度就越强
D.利用进行独立性检验时,的值越大,说明有更大的把握认为两事件有关系
10．已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则( )
A.
B.展开式中x的系数为-135
C.展开式中奇数项的二项式系数的和为32
D.展开式中二项式系数最大的项为-540
11．已知椭圆的两个焦点为，，P是椭圆C上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是( )
A.椭圆C的离心率是
B.若A，B是左，右端点，则的最大值为
C.若P点坐标是，则过P的C的切线方程是
D.若过原点的直线交C于M，N两点，则
12．如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面，CD是直径，，，点A，B，C，D在上底面的射影分别为，，，，点M，N分别是线段，上的动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则( )
A.若面DMN交线段于点R，则
B.若面DMN过点，则直线MN过定点
C.的周长为定值
D.当点Q在上底面圆周上运动时，记直线QA，QB与下底面圆所成角分别为，，则
三、填空题
13．近年来,随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变,假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生,3名女生.其中2名女生关系要好,必须去同一景点,每个景点至少有两名同学前往,每位同学仅选一处景点游玩,则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.
14．已知函数的导函数为，且是偶函数，，.写出一个满足条件的函数______.
15．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为___________.
16．斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第______项．
四、解答题
17．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….球数构成一个数列，满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
18．如图1所示，在四边形ABCD中，，E为BC上一点，，，将四边形AECD沿AE折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．
（1）若平面平面，证明：；
（2）点F是棱BE上一动点，且直线BD与平面ADF所成角的正弦值为，求．
19．某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.
（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
（2）某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表
其中，．
20．如图，已知抛物线，F为其焦点，点在C上，的面积为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点作斜率为-1的直线交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线，且，求的面积．
21．研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
参考数据：，
（1）已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增感冒就诊的学生人数.参考数据：，
22．已知函数
（1）已知在点处的切线方程为，求实数a的值；
（2）已知在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
（3）已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以,
又,所以,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，由统计图可知，，所以，所以，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为0.34.
3．答案：C
解析：如图所示, 圆心为,连接CP,
因为直线,关于对称, 所以CP垂直于直线,
故,而,
所以.
故选:C.
4．答案：C
解析：令，
求导得
，
当时，由解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，
由于，
可得，当时，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C．
5．答案： D
解析：由题可知，即，解得，
故，，
故两个站台各有1个乘客候车的概率为．
故选：D．
6．答案：C
解析：设弦AB的中点为M，连接，，依题意，可得如下图形，
由圆的性质可知，，则即为二面角的平面角，
故，
四面体的体积为
，
其中
，当且仅当时取等号，
由球的截面性质，，，
所以O，，，M四点共圆，则有外接圆直径，
从而，
.
故选：C
7．答案：B
解析：，是的极值点，，
即，令，，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，故，
故，即恒小于0.
故选：B.
8．答案：D
解析：设半焦距为c,由题意知,所以,
所以,故双曲线C的方程为.
记的内切圆在边,,上的切点分别为M,N, E,则H,E横坐标相等, ,,由 ,
即,得 ,即,
记H的横坐标为,则,于是,得,同理内心G的横坐标也为a,故轴.设直线AB的倾斜角为, 则,(O为坐标原点),在中,
,由于直线l与C的右支交于两点,且C的一条渐近线的斜率为,倾斜角为,
所以, 即 , 可得的范围是.故选D.
9．答案：BD
解析：对于A,根据正态曲线的几何特征,可知当不变时,即越小,该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高,故A错误;
对于B,运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心,故B正确;
对于C,线性相关系数r绝对值越接近1,表明2个随机变量相关性越强,故C错误;
对于D,因为随机变量的观测值越大,说明两个变量有关系的可能性越大,即犯错误的概率越小,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：令，则，可得，A对；
，
当时，，B错；
由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；
由上知：二项式系数最大为，即，则，D对.
故选：ACD
11．答案：BD
解析：的面积最大值是，则，椭圆方程.
，，椭圆C离心率，A选项错误；
若A，B是椭圆C的左，右端点，则，，以A，B为焦点作新椭圆，P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆C的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；
P点在椭圆C上，过点P的C的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆C方程消去y得，
由，解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，，，M，N，P都在椭圆上，有和，
两式相减得，，，
，D选项正确.
故选：BD.
12．答案：ABD
解析：对A：由题可得，面，面，故面；
又，面，面，故面；
，DC，面，故面面；
又面，故面；
又面DMN，面面，故可得，A正确；
对B：根据题意，，MN共面，
又M，N分别为，上的动点，故直线面；
不妨设直线与平面的交点为P，
若要满足与MN共面，则直线MN必过点P，又P为定点，故B正确；
对C：设的周长为l，
当点Q与重合时，
；
当点Q与中点重合时，连接BQ，AQ：
此时
；
显然周长不为定值，C错误；
对D：过Q作底面圆垂线，垂足为E且在下底面圆周上，即面ABCD，
连接BE，AE，则、分别是直线QA，QB与下底面圆所成角，
所以，，，，则，，
所以，而，，底面圆半径为，
若E在AB对应优弧上时，则，
所以，仅当时等号成立，
此时，
若E在AB对应劣弧上时，则，
所以，仅当时等号成立，
此时，
综上，，故，D正确.
故选：ABD
13．答案：150
解析：由题,两个关系好的女生要在一起,则为特殊元素,可以分为,她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点,
第一类:仅要好的两位女生去同一景点;
第二类:要好的两位女生和另一位同学去同一景点,
总方法数为.
故答案为:150.
14．答案：（答案不唯一）
解析：因为是偶函数，
设，则，
由题意可知，，解得，，
故.
故答案为：.
15．答案：
解析：记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，，
记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到3号球的事件为B，
．
故答案为：
16．答案：2023
解析：由可得
.
故答案为：2023.
17．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）因为，，所以，，
所以当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（2）由，
所以.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）在图1中，因为，，，
所以，，又，
所以，
因为，，
所以，故，
在图2中，因为，平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE，
因为平面BCD，平面平面，所以；
（2）由（1）知，，，
，平面BCE，平面BCE，
所以平面BCE，
又平面AEB，所以平面平面BCE，
故以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，
在平面BCE内过点E作BE的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因为，平面平面BCE，且，
所以点C在平面AEB的射影为BE中点，故，，
设，则，，，
设平面ADF的法向量为，
则，即，
不妨令，则，，
所以为平面ADF的一个法向量．
因为直线BD与平面ADF所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以F为EB中点，所以.
19．答案：（1）列联表见解析，能
（2）从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析
解析：（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，
其中年轻人有人，非年轻人30人，
由图1知，样本中的年轻人有人，
不常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，非年轻人10人，
补充完整的列联表如下，
计算，
依据小概率值的独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利X万元，则X的所有可能取值为300，-150，0，
，
，
方案二：设获利Y万元，则Y的所有可能取值为500，-300，0，
，
，
所以，，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，
所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
20．答案：（1）；
（2）64
解析：（1）由题意可知：抛物线C的焦点，
将代入抛物线C的方程得：，
且，则，
因为的面积为，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）可得抛物线C的方程为，焦点，
设直线，，，，
联立方程，消去x得，
则，可得，，
因为点在抛物线上，则，即，
所以直线MF的方程为，
联立方程，消去x得，
可得，即，
则，即，
因为，可设，
代入，得，即，
所以，
联立方程，消去x得，
因为为抛物线C的切线，则，
整理得，解得，
又因为，，，
可得，，，
即，，
可得，
点到的距离，
所以的面积.
21．答案：（1）X的分布列见解析；
（2）15
解析：（1）因为，所以，
所以，解得，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，其中，，，
，，，
X的分布列为
X数学期望为；
（2）因为，所以，所以，
由于，
所以，所以，
因为，，
解得，所以，所以，
当时，，
据此估计昼夜温差为时，该校新增感冒就诊的学生人数为35.
22．答案：（1）；
（2）；
（3），证明见解析
解析：（1）因为，所以.
所以，又在点处的切线方程为，
所以，解得..
（2）的定义域为，因为在定义域上为增函数，
所以在上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.
（3）
定义域为，
当时，，所以在上单调递减，不合题意.
当时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
函数存在两个零点的必要条件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一个零点（）.
当时，，所以在上存在一个零点，
综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.
不妨设两个零点
由，所以，，
所以，所以，
要证，
只需证，
只需证，
由，
只需证，
只需证，
只需证，
令，只需证，
令，
，
在上单调递增，，
即成立，
所以成立.
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（）
4
7
8
9
14
12
新增感就诊人数y（位）
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
90
30
120
不常使用直播销售用户
70
10
80
合计
160
40
200
X
0
1
2
P