福建省厦门市双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦门市双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知圆的面积为，则( )
A.B.C.D.
2．若随机变量，随机变量，则( )
A.0B.C.D.2
3．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A.6种B.3种C.20种D.12种
4．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A.若、，则B.若，，则
C.若，，，则D.若，，则
5．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A.B.C.D.
6．已知等差数列的前n项和，则“”是“是递减数列”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7．若，，，则( )
A.B.C.D.
8．如图，在中，，其内切圆与边相切于点D，且.延长至点E.使得，连接.设以C，E两点为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以C，E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则( )
A.C的焦距为2B.C的短轴长为
C.C的离心率为D.的周长为8
10．已知，则下列结论正确的是( )
A.有三个零点
B.有两个极值点
C.若方程有三个实数根，则
D.曲线关于点对称
11．已知数列的通项公式为，其前n项和为，数列与数列的前n项和分别为，，则( )
A.B.存在n，使得
C.D.
三、填空题
12．的展开式中，含的项的系数为________.
13．记为等比数列的前n项的和，若，，则________.
四、双空题
14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为________，模型中九个球的表面积之和为________.
五、解答题
15．正四棱锥的底面是边长为6的正方形，高为4，点M，N分别在线段，上，且，，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为年全球新能源汽车的销售量情况统计.
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)求变量y与x的样本相关系数(结果精确到0.01)；
(2)求y关于x的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.
附：线性回归方程，其中,，
样本相关系数.
参考数据：，，，，.
17．设函数，
(1)讨论的单调性.
(2)若函数存在极值，对任意的，存在正实数，使得
（ⅰ）证明不等式.
（ⅱ）判断并证明与的大小.
18．已知抛物线的焦点为F，A，B，C为E上不重合的三点.
(1)若，求的值；
(2)过A，B两点分别作E的切线，，与相交于点D，过A，B两点分别作，的垂线，，与相交于点M.
（i）若，求面积的最大值；
（ii）若直线过点，求点M的轨迹方程.
19．设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，B两点间的距离.
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，B，用随机变量X表示他们之间的距离，
①求X的分布列与期望；
②证明：当n足够大时，.（注：当n足够大时，）
参考答案
1．答案：B
解析：因为圆，即，
所以，解得.
故选：B.
2．答案：B
解析：由可知：，，
又因为，所以，
，
则，
故选：B.
3．答案：A
解析：一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.
要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，
即有种坐法.
故选：A.
4．答案：D
解析：对于A，当时，过n作平面，使，则，因为，，
所以，所以，故A正确；
对于B，当，，由线面垂直的性质可得，故B正确；
对于C，因为，，所以，又，所以，故C正确；
对于D，当，时，n可能在平面内，故D错误.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为，即，解得，
又因为，即，解得，
且，可得，
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：当等差数列为常数列时，此时，满足前者，但是此时“不是递减数列”，故充分性不成立；
当是递减数列，则对，，
，
当时，，
当时，，，
所以对，，则反推成立，故必要性成立，
则“”是“是递减数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
7．答案：C
解析：设，，当时，
，单减，故，即；
设，，当时，，
所以，即，即；
，故a最小，
,，，，
因为，所以，所以，，
所以
故选：C
8．答案：D
解析：如图，设内切圆与边,分别相切于点F,G，
由切线长定理和的对称性，可设.
由，可得,.
在中，由余弦定理，.
于是根据椭圆和双曲线的定义，.
接下来确定x的取值范围.
设，
在中，，，，
于是由余弦定理，，
整理得，于是，故，
又因为在内单调递增，可知，
可得，所以的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：由于，所以,
故，
因此，故，
所以椭圆，，，
对于A，焦距为，故A正确，
对于B，短轴长为，B正确，
对于C，离心率为，C错误，
对于D，的周长为，D正确，
故选：ABD
10．答案：BC
解析：，
令解得，令解得或，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
因为，极大值，且极小值，
所以在有一个零点，共1个零点，A错误；
由A知，函数有1，3两个极值点，故B正确；
由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增，
且时，，时，，
所以方程有三个实数根，需，即，故C正确；
因为，所以点在函数图象上，
又点关于点的对称点为，而，
即不是函数图象上的点，
故函数不关于点对称，故D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：对A，由可得，所以，故A正确，
对B，，，
，
所以,故B错误，
对C，由于时，，
故，所以,
对D，记
，
故，根据指数幂的性质可知，
当且仅当取等号，故，只有取等号，
故,故D正确，
故选：ACD
12．答案：
解析：因为
，
其中展开式的通项为（），
所以展开式中，含的项为，
所以含的项的系数为.
故答案为：
13．答案：
解析：设等比数列的公比为q，由题意可得，
由，可得，解得，
又，即，所以，
同理，，，，
因为，
所以.
故答案为：
14．答案：/；
解析：设正四面体的棱长为x，高为h，底面圆半径为r，
则，得，又，
所以正四面体的体积为，解得.
如图，取的中点E，连接，，则，，
过点A作底面，垂足在上，且，
所以,，故，
点O为最大球的球心，连接并延长，交于点M，则，
设最大球的半径为R，则，
因为，所以，即，解得，
所以最大球的体积为，且，则，，
设最小球的球心为J，中间球的球心为K，则两球均与直线相切，设切点分别为H,G，
连接,，则,分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a,b，
则,，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故答案为：；
15．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）在线段上取点F，使得，连接、，如图：
因为，为的中点，所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
在平行四边形中，因为，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，且，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）连接交于点O，连接，
因为正四棱锥的底面是正方形，所以平面，
且，故以O为坐标原点，，，所在直线依次为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示：
由已知可得：，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，取
设直线与平面的夹角为，则：
16．答案：(1),
(2)，百万辆
解析：（1）因为，
，
所以，
，
所以
（2）由题意得，
所以，
得y关于x的线性回归方程为，
所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为百万辆.
17．答案：(1)在单调递增，在单调递减
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），证明见解析
解析：（1），，
若，则，在上单调递增，
若，由得，
当时；当时，，
在单调递增，在单调递减.
（2）存在极值，由（1）知，
，
由题设得，
，设，
（ⅰ）要证明即证明，
设，（），
则，
在上单调递增，，
，即得证，
（ⅱ），
，
，
在上是减函数，
.
18．答案：(1)3；
(2)（i）8；（ii）
解析：（1）依题意，，
设，，，
由得，，
即，
由抛物线定义得，.
（2）（i）显然，直线的斜率不为0，
可设直线的方程为，，，
由得：，
，，.
，则，，
切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立两直线方程，解得，即，
则点D到直线的距离为，
由，
化简得：，
，当且仅当时取等号，面积的最大值为8.
（ii）若直线过点，由（i），可以设直线的方程为，
，.
直线的方程为，
同理，直线的方程为.
联立两直线方程，解得，
整理后可得消去m得：，
点M的轨迹方程为.
19．答案：(1)12对；
(2)①分布列见解析，；②证明见解析
解析：（1）当时，若，可知A，B有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有对.
（2）①由题意可知，中元素的个数为个，
对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，
即，剩下个坐标值满足，
此时所对应情况数为种.
所以，
故X的分布列为：
数学期望
，
当时，则
，
且，
则，
两式相加得，
所以；
②当n足够大时，，
由方差定义
因为，则，当且仅当或时，等号成立，则，
所以.
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号x
1
2
3
4
5
6
销售量y/百万辆
2.02
2.21
3.13
6.70
10.80
14.14
X
1
2
P