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    广西南宁市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学测试卷(含答案)

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    广西南宁市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学测试卷(含答案)

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    这是一份广西南宁市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学测试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.空间直角坐标系中,点关于平面的对称点是( )
    A.B.C.D.
    3.下列函数中,以为周期,且其图象关于点对称的是( )
    A.B.C.D.
    4.已知甲组数据由,,,这n个数据构成,记这组数据的平均数为,方差为;乙组数据由,,,,这数据构成,记这组数据的平均数为,方差为,则( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    5.已知复数z满足,且,则( )
    A.1B.C.iD.
    6.如图,二面角等于,A,B是棱l上两点,,分别在半平面,内,,,且,则的长等于( )
    A.4B.C.D.
    7.如图,在棱长为1的正方体中,,,若平面,则线段的长度的最小值为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    8.已知向量,,,若,,三个向量共面,则实数,的取值可能分别为( )
    A.,2B.2,2C.,1D.1,5
    9.下列命题是真命题的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若,则
    D.若正实数a,b满足,则的最小值为4
    10.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8,将其随机拋掷两次,记与地面接触面上的数字依次为,,事件“”,事件“”,事件“”,则( )
    A.B.C.B,C互斥D.B,C独立
    11.已知正方体边长为2,动点M满足,则下列说法正确的是( )
    A.当,时,则直线平面
    B.当,,时,的最小值为
    C.当,时,的取值范围为
    D.当,且时,则点M的轨迹长度为
    三、填空题
    12.已知,,且,则________.
    13.三棱锥的高为,若三个侧面两两垂直,则H为的心________.
    四、双空题
    14.如今中国在基建方面世界领先,可谓是逢山开路,遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型,中间最大球为正四面体的内切球,中等球与最大球和正四面体三个面均相切,最小球与中等球和正四面体三个面均相切,已知正四面体体积为,则模型中最大球的体积为________,模型中九个球的表面积之和为________.
    五、解答题
    15.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验,求:
    (1)三人都合格的概率;
    (2)三人都不合格的概率;
    (3)三人中恰有两人合格的概率.
    16.函数的一段图象如图所示.
    (1)求函数的解析式及单调递增区间;
    (2)求函数在上的值域;
    (3)若不等式对,上恒成立,求实数m的取值范围.
    17.如图,在正三棱柱中,,M,N,P分别是,,的中点.
    (1)若点E为矩形内动点,使得面,求线段的最小值;
    (2)求证:面.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:依题意,,,故,故选C.
    2.答案:B
    解析:关于平面的对称点为.
    故选:B
    3.答案:C
    解析:对于A:的最小正周期为,对称中心为,故A错误;
    对于B:的图象是由将x轴下方部分关于x轴对称上去,x轴上方及x轴部分不变,
    所以的最小正周期为,没有对称中心,故B错误;
    对于C:,则最小正周期,
    且当时,所以函数图象关于点对称,故C正确;
    对于D:,最小正周期,故D错误.
    故选:C
    4.答案:D
    解析:由已知可得,



    所以ABC错误,D正确.
    故选:D.
    5.答案:D
    解析:设,则由,得,
    由,得,即,
    所以,化简整理得,得,
    所以,得,
    所以,
    故选:D
    6.答案:A
    解析:由二面角的平面角的定义知,,
    由,,得,,,
    ,
    所以,即.
    故选:A.
    7.答案:D
    解析:
    如图,以点D为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.则有,,,,,
    依题意,,
    ,
    于是,.
    又因平面,平面,则,
    又,平面,故平面,
    故平面的法向量可取为,
    因平面,故,即.


    因,故当时,.
    故选:D.
    8.答案:AD
    解析:因为,,三向量共面,
    所以存在实数x,y,使得,
    所以,解得,
    故当,或,时满足条件.
    故选:AD.
    9.答案:ACD
    解析:对于A,由,得,所以,故A正确;
    对于B,要证成立,只需证,即证.
    因为,当时,显然,故B不正确;
    对于C,因为,所以,
    当且仅当,即,时,等号成立,故C正确;
    对于D,由,可得,
    所以.
    由a,b为正实数且,可得,
    所以,
    当且仅当,即,时等号成立,故D正确.
    故选:ACD.
    10.答案:ABD
    解析:“且”,
    事件C的基本事件有;,;,;,,
    ,,;,,,共个,
    所以,故A正确;
    “且”“且”,
    所以,故B正确;
    对于C,当且时,事件B,C同时发生,
    所以B,C不互斥,故C错误;
    对于D,,,
    而“且”,则,
    所以,所以B,C独立,故D正确.
    故选:ABD.
    11.答案:BC
    解析:对于A中,由于,时,则,此时M为的中点,
    在正方体中,由平面,所以直线不会垂直平面,所以A错误;
    对于B中,在上取点H,使,在上取点K,使,
    因为,,,即,可得M点在上,
    将平面与平面沿着展开到同一平面内,如图(1)(2)所示,
    连接交于P,此时B,P,D三点共线,取到最小值即的长,
    由于,所以,则,
    所以,所以,
    即此时的最小值为,所以B正确;
    对于C中,当,时,可得点M的轨迹在平面内(包括边界),
    在正方形中,可得,
    因为平面,平面,所以,
    又因为,且平面,所以平面,
    所以,又由,
    所以的取值范围为,所以C正确;
    对于D中,当时,可得点M的轨迹在内(包括边界),
    由于平面,平面,可得,
    又因为,,平面,故平面,
    因为平面,可得,同理可证,
    又因为,平面,所以平面,
    设与平面交于点P,由于,
    为边长为的正三角形,则点A到平面的距离为,
    若,则,即M点落在以P为圆心,为半径的圆上,
    此时P点到三边的距离均为,
    即M点轨迹是以P为圆心,为半径的圆的一部分,
    又由,其轨迹长度为3倍的弧长,所以D错误.
    故选:BC.
    12.答案:
    解析:由可得,解得,.
    故答案为:.
    13.答案:垂
    解析:如图:
    首先证明平面PBC.若不然,在平面PAB中,过A作于M,
    因为平面平面PBC,平面平面PBC,平面,
    所以平面PBC.(AM不同于AP)
    在平面PAC中,过A作于N,
    因为平面平面,平面平面,平面,
    所以平面PBC.(AN不同于AP)
    这样,过点A有两条不同直线AM,AN垂直于平面PBC,这是不可能的.
    所以假设不成立,平面PBC得证.
    同理,由三个侧面两两垂直,得平面,平面PAB,
    因为平面,平面ABC,所以.①
    因为平面,平面PBC,所以.②
    由①②及,平面APH,所以平面APH.
    又平面APH,所以.
    同理可证,,所以H为的垂心.
    故答案为:垂
    14.答案:/;
    解析:设正四面体的棱长为x,高为h,底面圆半径为r,
    则,得,又,
    所以正四面体的体积为,解得.
    如图,取的中点E,连接,,则,,
    过点A作底面,垂足在上,且,
    所以,,故,
    点O为最大球的球心,连接并延长,交于点M,则,
    设最大球的半径为R,则,
    因为,所以,即,解得,
    所以最大球的体积为,且,则,,
    设最小球的球心为J,中间球的球心为K,则两球均与直线相切,设切点分别为H,G,
    连接,,则,分别为最小球和中间球的半径,长度分别设为a,b,
    则,则,
    又,所以,解得,
    又,故,解得,
    所以,模型中九个球的表面积和为.
    故答案为:;
    15.答案:(1);
    (2);
    (3)
    解析:(1)设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,
    且,,,设恰有k人合格的概率为.
    则三人都合格的概率:;
    (2)三人都不合格的概率:;
    (3)三人中恰有两人合格的概率:,
    .
    16.答案:(1),单调递增区间为.;
    (2);
    (3)
    解析:(1)由图象可知,,,
    所以,
    将图象上点代入函数中得,,
    结合图象知,,
    所以,,
    又因为,
    所以,
    故.
    由,,
    解得,,
    故函数的单调递增区间为,.
    (2)因为,
    所以,
    当,时,函数最大值为,
    当,时,函数最小值为0,
    所以,
    故函数在区间的值域为.
    (3)因为对,,不等式恒成立,
    所以,
    由(2)知,函数在区间的值域为,
    所以,
    即能成立,
    所以,
    又因为,
    当且仅当,即时取等号,
    所以.
    故实数m的取值范围为.
    17.答案:(1);
    (2)证明见解析
    解析:(1)连接,,,
    在正方形中,M,P分别为,的中点,
    所以且,
    所以四边形为平行四边形,
    所以,
    因为面面CPN,
    所以面,
    在中,因为N,P分别为,的中点,
    所以,
    因为面,面,
    所以面.
    因为,面,面,
    所以面面.
    所以当,面,此时面,
    所以当时,最小,
    在中,,
    所以的最小值为;
    (2)在正方形中,,设,则D为中点,
    连接、,
    因为N、D分别为,的中点,
    所以且,
    又因为M为中点,且,
    所以且,
    又因为面,
    所以四边形为矩形,
    所以,,
    又,,面,面,
    所以面,
    所以面,
    又面,
    所以,又,面,面,
    所以面.

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