四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.-1B.1C.D.
2．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
3．直线l过圆的圆心,并且与直线垂直,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
4．已知数列的前n项和为,则( )
A.81B.162C.243D.486
5．下列命题中,真命题的是( )
A.若样本数据,,,的方差为2,则数据,,,的方差为8
B.若回归方程为,则变量y与x正相关
C.甲同学所在的某校高三共有5003人,先剔除3人,再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本,则甲被抽到的概率为
D.在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果,若值越小,则模型的拟合效果越好
6．已知在处有极值,则( )
A.11或4B.-4或-11C.11D.4
7．的展开式中的系数为( )
A.55B.C.65D.-25
8．已知，，，则（参考数据：）( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．直线,,下列图象中正确的是( )
10．甲罐中有5个红球,3个白球,乙罐中有4个红球,2个白球.整个取球过程分两步,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用,表示由甲罐取出的球是红球,白球的事件;再从乙罐中随机取出两球,分别用B,C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”,“两球为一红一白”的事件,则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知抛物线的焦点为F,过F作两条互相垂直的直线,,与C相交于P,Q,与C相交于M,N,的中点为G,的中点为H,则( )
A.B.
C.的最大值为16D.当最小时,直线的斜率不存在
三、填空题
12．近年来,“剧本杀”门店遍地开花.放假伊始,7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏,目前店中仅有可供4人组局的剧本,其中A,B角色各1人,C角色2人.已知这7名同学中有4名男生,3名女生,现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏,其余3人观看,要求选出的4人中至少有1名女生,并且A,B角色不可同时为女生.则店主共有___________种选择方式.
13．若函数在区间上不单调,则实数a的取值范围是___________.
14．已知椭圆的左、右焦点分別为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题
15．已知数列是等差数列,其前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
16．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）。
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有
如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
17．如图,在直三棱柱中,,,E,F为线段,的中点.
(1)证明：EF⊥平面;
(2)若直线EA与平面ABC所成的角大小为,求点C到平面的距离.
18．已知函数（k为常数,…是自然对数的底数）,曲线在点处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)设,其中为的导函数.证明：对任意,.
19．已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.
(1)求C的标准方程；
(2)直线l与C交于A，B两点，点P在线段上，点Q在线段的延长线上，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①；②；③Q是直线l与直线的交点.
参考答案
1．答案：C
解析：.故选C.
2．答案：A
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：B
解析：因为，,
考虑构造函数, 则
当 时, , 函数 在 上单调递增,
当 时, , 函数 在上单调递减,
因为, 所以, 即,
所以,
所以,
即
又,
所以, 故.
故选: B.
9．答案：BC
解析：
10．答案：BCD
解析：
11．答案：AD
解析：
12．答案：348
解析：由题意,根据选出的女生人数进行分类,
第一类：选出1名女生,先从3名女生中选1人,再从四名男生中选3人,然后安排角色,两名男生扮演A,B角色有种,剩余的1名男生和女生扮演C角色,或A,B角色1名男生1名女生,女生先选有,剩下的一个角色从3名男生中选1人,则种,所以共有种,
第二类：选出2名女生,先从3名女生中选2人,再从四名男生中选2人,然后安排角色,两名男生扮演A,B角色有种,剩余的2名女生扮演C角色,或A,B角色1名男生1名女生,选出1名女生先选角色有,剩下的一个角色从2名男生中选1人,则种,所以共有种,
第三类：选出3名女生,从先从3名女生中选3人,再从四名男生中选1人,然后安排角色,A,B角色1名男生1名女生,选出1名女生先选角色有,剩下的一个角色让男生扮演,余下的2名女生扮演角色C,所以共有种,
由分类计数原理可得：店主共有种选择方式,
故答案为：348.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：因为，所以，，.因为，所以，所以，则，即，整理得.所以，解得或（舍），所以椭圆C的离心率为.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设等差数列的公差为d,又,,
所以,解得,,
所以的通项公式.
（2）由（1）知,
所以
.
16．答案：(1)
(2)①②方案二中取到红球的概率更大
解析：(1)设试验一次, “取到甲袋”为事件, “取到乙袋”为事件,“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件,
所以试验一次结果为红球的概率为.
(2)①因为，是对立事件,,
所以,
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得 ,
所以方案一中取到红球的概率为
,
方案二中取到红球的概率为,
因为,所以方案二中取到红球的概率更大.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：取的中点M,连结,,
在中,F、M分别为、的中点,
且,
又在直三棱柱中,E是的中心,
且, 且,
四边形BEFM为平行四边形, ,
在中,M为AC的中点,且,
,且,
平面,平面,,
又, 平面, 平面;
（2）由（1）知,,,
因为直线与平面所成的角大小为,,
因为中,,,
,,
,设点C到平面的距离为d,
,,即,解得
18．答案：（1）
（2）的单调递增区间为,单调递减区间为
（3）见解析
解析：（1）由,得,,
由于曲线在点处的切线与x轴平行.所以,因此.
（2）由（1）得,,令,,
当时,;当时,.
又,所以时,;时,.
因此的单调递增区间为,单调递减区间为.
（3）因为,所以,,
由（2）得,,求导得.
所以当时,,函数单调递增;.
当时,,函数单调递减.
故.
所以当时,.又当时,,
所以当时,,即.
综上所述结论成立.
19．答案：(1)，
(2)见解析
解析：(1)解：设动圆的圆心为，半径为r，
则，，所以，
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
所以，，即，，所以，
所以C的标准方程为，.
(2)证明：若①②③：
由题可设直线，，，，，
由直线l与C交于A，B两点，所以，
联立得，
所以，，
由，得，即，
由题知，所以，即P异于的中点，所以，即，
得，
又，所以，
故，化简得，
所以点Q在直线上，又Q是l上的点，所以③成立.
若①③②：
设，，，，则.
由P，A，B，Q四点共线，设，，其中且，，
则，，，，
又点A在C上，所以，
所以，整理得，
又，所以，
同理，所以，
又，，所以，故，，
所以，故，即成立，所以②成立.
若②③①：
由题设，，，，由，得，
又点P为线段上一点，点Q为线段延长线上一点，
所以设，，其中且，
则，，，，
又点A在C上，所以，所以，
整理得，
同理，
所以，
故，将代入得，
所以故即①成立.