初中数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式教学课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式教学课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了＋5x，＋3x，＋15，＋8x，+an，+bm，+bn，面积差变了吗，相等吗，平方差公式等内容，欢迎下载使用。

某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
1. 掌握平方差公式的推导及应用.
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
(a+b)(m+n)
①(x ＋ 1)( x–1)；②(m ＋ 2)( m–2)； ③(2m＋ 1)(2m–1)； ④(5y ＋ z)(5y–z).
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a−b)=
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a+b)(a– b)=
(–3+a)(–3–a)
(0.3x–1)(1+0.3x)
(1+a)(–1+a)
( 0.3x)2–12
口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=_________. (2)(a–b)(b+a)= __________. (3)(–a–b)(–a+b)= ________. (4)(a–b)(–a–b)= _________.
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y).
(2) 原式= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2.
解： (1)原式=(3x)2–22
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)； (2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；
(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；
(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
例2 计算:(1) 102×98; (2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
=10000 – 4
=(100＋2)(100–2)
= y2–4–y2–4y+5
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
= y2–22–(y2+4y–5)
= – 4y + 1.
利用平方差公式简便运算
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) .
解: (1) 原式=(50＋1)(50–1)
(2) 原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)
= 9x2–16–6x2–5x+6
= 3x2–5x–10.
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)
原式＝5×12–5×22＝–15.
＝4x2–y2–4y2＋x2
利用平方差公式进行化简求值
先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.
解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1) =9–x2+2(x2–1) =9–x2+2x2–2 =7+x2 当x=2时， 原式=7+22 =7+4=11
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2–1–(9–n2)
∵(10n2–10)÷10=n2–1.
利用平方差公式进行证明
对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，
利用平方差公式解决实际问题
解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b ),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是( )A. a2–b2 = (a+b) (a–b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (a–b)2=a2–2ab+b2D. (a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2
1. 化简(x–1)(x+1)的结果是　 ．
2. 某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步) =a2+2ab–a2–b2(第二步) =2ab–b2 (第三步)(1)该同学解答过程从第　　步开始出错，错误原因是　 ；(2)写出此题正确的解答过程．
原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
(1)(a+3b)(a– 3b)；
原式=(2a+3)(2a–3)
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
4. 利用平方差公式计算：
5. 计算： 20152 – 2014×2016.
20152 – 2014×2016
= 20152 – (2015–1)(2015+1)
– (20152–12 )
– 20152+12
6. 利用平方差公式计算:
(1)(a–2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4) =a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4)
=x8–y8.
先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
原式=2×22–1=7.
已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；