湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学随堂练习卷

这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学随堂练习卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为
A．68度B．52度C．12度D．28度
3．若圆被直线平分，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．如图，函数的图象在点处的切线是，方程为，则 （ ）

A．B．C．D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据对应的的独立性检验，结论为：变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005.
B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差.
C．，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.
D．已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则.
6．某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（ ）
A．9种B．11种C．44种D．45种
二、多选题
7．为等比数列的前三项，则的可能值为（ ）
A．4B．5C．D．
8．设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．平面
C．与平面所成夹角的正弦值为
D．平面与平面所成夹角的正弦值为
三、填空题
10．已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ．
11．为推动全民健身，宣传四川的特点.成都马拉松赛于2023年10月29日如期举行.如图①，②，③，④分别包含1个、5个、13个、25个成都马拉松赛的LOGO“熊猫”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含个“熊猫”， ， .
四、解答题
12．中，角，，的对边分别为，，，若．
(1)求；
(2)若且的面积为，求边长．
13．已知函数，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的极小值为，求a的值.
14．已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为.
(1)证明：；
(2)已知点，求面积的最大值.
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
参考答案：
1．B
【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可.
【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为，
斜率,.
故选：B
2．A
【详解】由表格可知，，根据回归直线方程必过得，因此当时，，故选择A.
3．D
【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由题意得圆心在直线上，
则，解得.
故选：D.
4．A
【分析】根据导数的几何意义知为处切线的斜率.
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，所以.
故选：A
5．C
【分析】根据独立性检验、残差分析、正态分布、线性回归方程相关知识进行分析，得出正确答案.
【详解】对A，，所以结论为变量与独立，这个结论犯错误的概率超过0.005，A选项错误；
对B，在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越好，B选项错误；
对C，，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，C选项正确；
对D，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则，D选项错误.
故选：C.
6．D
【分析】用树状图罗列4人抽到的贺年卡均不为自己的情况有几种即可得到5人中恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式.
【详解】除抽到自己的人，其它4人各写一张贺年卡集中起来，再每人从中抽取一张，
标记这4人为B、C、D、E，其对应的贺卡为b、c、d、e，
则4人均未抽到自己的贺年卡情况如下列树状图所以：

由树状图可知，这4人均未抽到自己贺卡情况下抽到的贺年卡情况共有9种，
所以5人各写一张贺年卡，集中起来再每人从中抽取一张，恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有种.
故选：D.
7．AC
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求解即得.
【详解】由为等比数列的前三项，得，所以或.
故选：AC
8．AC
【分析】根据条件概率公式求出，再由概率加法公式求出.
【详解】因为，，所以，故A正确，B错误；
又且，
所以，故C正确，D错误.
故选：AC
9．BC
【分析】对于A：利用平面几何知识说明即可；
对于B：只需要证明即可；
对于C：建立空间直角坐标系，计算与平面的法向量，再代入线面角的计算公式；
对于D：计算平面和平面法向量，在代入面面角的计算公式.
【详解】因为，，，为的中点，所以，,四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面，故B正确；
如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，
所以，，，所以，
又因为四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点，
所以，与不垂直，故A错误；
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，，
四边形为平行四边形，所以，
又因为为中点，所以且，，
则有，所以， 互相垂直，
以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，， ，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，令，得，，即，
则，令，得，，即，
所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；
，则
所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误.
故选：BC
10．14
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出.
【详解】由的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得的展开式共有15项，
所以.
故答案为：14
11． 181
【分析】根据相邻项的差的规律归纳出，再由累加法求出通项即可得解.
【详解】由题意，，
可归纳得出，
所以累加可得，
所以，即，
所以.
故答案为：；181
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可；
（2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长．
【详解】（1）中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，则，所以.
（2）由（1），
而，
由正弦定理有，从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
13．(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）先进行求导运算，再根据导数情况对进行分类讨论导数正负即可得到函数的单调性.
（2）由（1）的单调性可得函数的极小值，进而可求出a的值.
【详解】（1）由题函数定义域为，，
所以当时，若，；，；
故此时函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，若，；，；
故此时函数在和上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为和.
（2）由（1）当时，函数的极小值为，
，符合；
当时，函数的极小值为，
，符合.
故a的值为或.
14．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）结合题干条件，根据点差法即可证明；
（2）分别求出，，再转化为，求导即可求出最值.
【详解】（1）设，，所以
所以，
又，，所以.
（2）设直线的方程为，即，
联立，整理得，
所以，解得，
，，
则
.
又点A到直线的距离为，
所以，
记，因为，所以，
所以，．
令，，则，令，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即.