中考数学一轮复习考点（全国通用）考向03 实数专题特训（含答案）

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实数的分类
、
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0。即。
3.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。
4.平方根的性质：正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
5、立方根定义：如果，那么
6、立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数
7、实数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
8、实数和数轴上的点一一对应；有序实数对与平面内的点成一一对应关系
【题型探究】
题型一：实数想分类
1．（2022·山东日照·统考中考真题）在实数，x0（x≠0），cs30°，中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）在实数，，，中，有理数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江金华·统考中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．2
题型二：实数和数轴
4．（2020·贵州遵义·统考二模）如图，在数轴上，对应的点在（ ）
A．点B与点C之间B．点C与点D之间
C．点D与点E之间D．点E与点F之间
5．（2021·福建厦门·校考一模）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（ ）
A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间
6．（2019·山东潍坊·统考中考模拟）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7B．-7C．D．无法确定
题型三：无理数的估算
7．（2022·山东临沂·统考一模）已知，，，．若n为整数且，则n的值为（ ）
A．34B．35C．36D．37
8．（2022·北京海淀·校考三模）已知，，，．若为整数且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A．点AB．点NC．点PD．点Q
题型四：平方根
10．（2022·四川绵阳·校考二模）若和的和是单项式，则的平方根是（ ）
A．8B．C．D．
11．（2022·广东韶关·校考三模）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．的平方根是
C．是的算术平方根D．
12．（2022·河北邯郸·校考三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
题型五：立方根
13．（2021·贵州铜仁·校考一模）计算的结果是（ ）
A．B．C．±3D．﹣3
14．（2017·山东枣庄·统考中考模拟）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．－9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04D．－27的立方根是－3
15．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考一模）数轴上表示的点一定在（ ）
A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段
题型六：实数的运算
16．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）（1）计算：．
（2）化简：．
17．（2022·河南洛阳·统考一模）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2022·浙江宁波·一模）（1）化简：
（2）计算：
【必刷基础】
一、单选题
19．（2022·四川泸州·模拟预测）若整数满足，则的值是（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）下列各数中：、、、0.010010001、、0是无理数的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
21．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，四个实数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q．若点M，N表示的实数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
22．（2022·四川乐山·统考二模）在，，0，这四个实数中，最小的一个实数是（ ）
A．B．C．0D．
23．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考模拟预测）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）我们规定：一个整数能表示成是整数，且的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”，下列各数中，“完美数”是（ ）
A．B．C．D．
25．（2021·浙江温州·校考三模）（1）计算：．
（2）化简：．
26．（2022·贵州安顺·统考中考真题）(1)计算．
(2)先化简，再求值：，其中．
【必刷培优】
一、单选题
27．（2021·广东·九年级专题练习）已知a、b为两个连续的整数，a<A．6B．7C．8D．9
28．（2022·重庆·模拟预测）估算的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
29．（2022·贵州安顺·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
30．（2022·四川绵阳·统考中考真题）正整数a、b分别满足，，则（ ）
A．4B．8C．9D．16
31．（2022·山东枣庄·统考二模）如图，数轴上、、、四个点中可能表示实数的点是
A．点B．点C．点D．点
32．（2022·吉林长春·统考中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
33．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若的整数部分为，小数部分为，则的值为______．
34．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）______．
35．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）若的整数部分是a，小数部分是b，则a－b＝______．
36．（2021·湖南长沙·九年级专题练习）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______．
37．（2022·江苏宿迁·模拟预测）若m，n是连续的两个整数，且，则5mn的平方根为______．
38．（2019·河北·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，按此规定，_____________．
三、解答题
39．（2021·四川绵阳·统考二模）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|；
（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．
40．（2022·四川绵阳·统考中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，
41．（2020·山东威海·统考一模）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
42．（2022·贵州遵义·统考中考真题）（1）计算：
（2）先化简，再求值，其中．
参考答案：
1．B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
2．C
【分析】根据有理数的定义进行求解即可．
【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数，
故选： C．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
4．C
【分析】先估算的大小，进而根据数轴即可求解．
【详解】解：∵
∴对应的点在1与2之间，即点D与点E之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，正确的估算的大小是解题的关键．
5．D
【分析】先估算出的值，再确定出其位置即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴表示数的点应在O，B之间．
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出的值是解答此题的关键．
6．A
【分析】根据数轴上点的位置，可得，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵由实数在数轴上的位置，可得，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质化简，数形结合是解题的关键．
7．D
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵n为整数且，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．A
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】解：，，且，
，
为整数且，
，
故选：．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
9．C
【分析】由，再结合数轴即可求解．
【详解】∵，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意可得和是同类项，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】解：∵和的和是单项式，
∴和是同类项，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到和是同类项是解题的关键．
11．C
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．
【详解】解：A. 的平方根是，说法正确，不符合题意；
B. 的平方根是，说法正确，不符合题意；
C. ，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意；
D. ，说法正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键．
12．B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
13．D
【分析】代表﹣27的立方根，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了立方根，关键在于熟记定义求解，注意符号．
14．C
【分析】根据平方根的意义、算术平方根的意义、立方根的意义，判断即可．
【详解】A. 的平方根是，选项正确；
B. －9是81的一个平方根，选项正确；
C. 0.04的算术平方根是0.2，选项错误；
D. －27的立方根是－3，选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根的性质，熟练掌握平方根、算术平方根的性质是解题的关键．
15．B
【分析】根据立方根的性质将进行化简计算，再判断在数轴的位置即可．
【详解】，
在数轴上的第②段，
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）先化简绝对值、二次根式，同时乘方运算、零指数幂运算，再加减运算即可求解；
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式运算法则计算，再整式的加减运算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查实数的混合运算、整式的混合运算，熟记完全平方公式，掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）根据特殊角三角函数，零指数幂，二次根式性质，绝对值将原式化简，求解即可；
（2）减通分计算括号里的，然后根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数，实数的运算，零指数幂，分式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
18．（1）9
（2）4
【分析】（1）利用整式乘法和完全平方公式展开即可；
（2）利用绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂进行运算即可．
【详解】（1）
（2）
．
【点睛】本题考查的是整式乘法、实数运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法法则，绝对值的意义，负整数指数幂的运算，以及零指数幂的运算．
19．B
【分析】依据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可估算出的大致范围，从而可确定出的值．
【详解】解：，
，
为整数，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
20．B
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】解：、0都是整数，是有理数，不是无理数，
0.010010001是在限小数，是有理数，不是无理数，
是分数，是有理数，不是无理数，
属于无理数的有、共两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数，无理数是指无限不循环小数．
21．C
【分析】根据“点M，N表示的实数互为相反数”，可得原点在的中点处，从点在数轴上的位置即可判断．
【详解】∵点M，N表示的实数互为相反数，
∴原点在的中点处，
从数轴上可以看出点M点在原点的左侧，为负数，P、N、Q点在原点的右侧，为正数，
故选：C
【点睛】考查数轴、相反数的意义，掌握相反数则是位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数，并确定原点的位置是关键．
22．B
【分析】根据实数的定义，负数小于0，正数大于0，即可求得结果．
【详解】解：由题意可知题中实数从小到大依次排列为，
∴最小的实数为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是实数大小比较，需要注意负数比较大小时，绝对值大的数反而小，同时较难的无理数比较时，可以进行适当的估算．
23．D
【分析】先化简绝对值，计算零次幂与负整数指数幂，再化简即可．
【详解】解：


故选D
【点睛】本题考查的是化简绝对值，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握“零次幂与负整数指数幂：”是解本题的关键．
24．C
【分析】根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
【详解】解：，，但是，
而和不能表示成两个数的平方和，
“完美数”只有．
故选：．
【点睛】本题主要考查了实数运算中的有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）先化简绝对值和二次根式、计算零指数幂，再计算实数的加减法即可得；
（2）先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了化简二次根式、零指数幂、实数的加减、平方差公式、单项式乘以多项式等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．任何不等于0的数的0次幂都等于1是常考点．
26．(1)1
(2)4x；2
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用平方差公式，完全平方公式、单项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
（1）
解：原式=
=
=；
（2）
解：
=
=；
当时，原式=．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，实数的运算，锐角三角形函数，零指数幂，绝对值及二次根式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27．B
【分析】利用夹逼法估算出，得出a，b的值，求解即可．
【详解】解：∵9<13<16，
∴，
∴a=3，b=4，
∴a + b=7，
故选：B．
【点睛】题目主要考查无理数的估算方法及求代数式的值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
28．B
【分析】先化简二次根式得，再由，即可求出，从而得出答案．
【详解】，
∵，
∴，
∴估算的结果最接近的整数是4．
故选B．
【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
29．B
【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解．
【详解】解：原式
＝，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键．
30．D
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算．
【详解】解：，，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定的值是解题的关键．
31．B
【分析】首先运用夹逼法确定在哪两个相邻的整数之间，然后根据数轴上的点与实数一一对应的关系即可得到表示的点在之间．
【详解】解：，
，
在数轴上表示的点在之间，即点．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应．也考查了无理数的估算．
32．B
【分析】观察数轴得：，再逐项判断即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴，故C错误，不符合题意；
∴，故D错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．
33．
【分析】无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，,
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．
34．
【分析】先根据乘方，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了乘方，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
35．##
【分析】先估算 的大小，再求出a、b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值，是解题的关键．
36．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．
【详解】解：如图：
由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键．
37．
【分析】根据二次根式的定义，估算的大小，确定m和n的值，最后计算5mn的平方根即可．
【详解】∵，且，
∴m=4，n=5，
∴5mn=5×4×5=100，
故5mn的平方根为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算以及求一个数的平方根，熟练的掌握平方根的定义，会估算无理数的大小是解题的关键．
38．2
【分析】先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．
【详解】∵，
∴
∴，
故答案为：2．
【点睛】考查无理数的估算，正确得出无理数的范围是解题关键．
39．（1）；（2），当x＝0时，原式＝1
【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，化简立方根，代入三角函数值，再计算加减法；
（2）先计算括号中的异分母分式加减法，再计算乘除法，最后代入数值计算．
【详解】解：（1）
=
＝
＝
＝；
（2）÷（+1﹣x）
＝
＝
＝
＝，
∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠﹣1，±2，
∴﹣2≤x＜3中x可以取得整数为0或1，
当x＝0时，原式＝＝1．
【点睛】此题考查了计算能力，熟练掌握实数的混合运算法则、特殊的三角函数值，分式的混合运算法则是解题的关键．
40．（1）2024（2）化简的结果： 当，时，值为100
【分析】（1）先计算三角函数值、绝对值化简、负指数幂、二次根式化简，再进行加减计算即可．
（2）先化简分式，再代入求值．
【详解】（1）原式
（2）原式
将，代入上式，得
故原式的值为100．
【点睛】本题考查实数的运算、分式的化简求值，解决本题的关键是熟悉各计算法则．
41．（1）3；（2），
【分析】（1）先去绝对值、计算有理数的乘方，然后再算乘法、最后算加减法即可；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
42．（1）；（2），
【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，分母有理化，正确的计算是解题的关键．