中考数学一轮大单元复习4.2三角形的基本性质演练(讲练)(原卷版+解析)

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考点1：三角形的三边关系
例1．（1）（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）已知长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形．若a=7，b=9，则c的取值范围是（ ）
A．c>2B．c90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积 ．（用含m的代数式表示）
19．（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F．
(1)图中有______个等腰三角形；猜想EF与BE，CF之间有怎样的关系，请直接写出来；
(2)如图2．若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，请直接写出它们；在第（1）问中EF与BE，CF之间的关系还存在吗?并说明理由；
(3)如图3，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．此时EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．
4.2三角形的基本性质知识点演练
考点1：三角形的三边关系
例1．（1）（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）已知长为a，b，c的三条线段首尾顺次相接组成一个三角形．若a=7，b=9，则c的取值范围是（ ）
A．c>2B．c90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
(2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积 ．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)①A；②见解析
(2)①25°；②2∠EBD=∠ABC−∠ACB
(3)512m
【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得∠ABE=55°，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，设S△ADN=S△CDN=a，则S△ABN=S△CBN=12m，再求出S△CDM=23S△DBC=13m−23a，S△ACM=23S△ABC=23m，然后由面积关系求出a=14m，即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，
∴ΔABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=35°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−35°=55°，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°，
故答案为：25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAD，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
∴∠BAD=90°−12∠ABC−12∠ACB，
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°−12∠ABC−12∠C−90°=12∠ABC−12∠ACB，
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，
故答案为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，
∴ S△ADNS△CDN=ANCN=1，
∴S△ADN=S△CDN，
同理：S△ABN=S△CBN，
设S△ADN=S△CDN=a，
∵△ABC的面积是m，
∴S△ABN=S△CBN=12m，
∴S△BCD=S△ABD=12m−a，
∵BM=13BC，
∴ BMCM=12，
∴ S△BDMS△CDM=BMCM=12，S△ABMS△ACM=BMCM=12，
∴S△CDM=2S△BDM，S△ACM=2S△ABM，
∴S△CDM=23S△BCD=23×(12m−a)=13m−23a，S△ACM=23S△ABC=23m，
∵S△ACM=S四边形CMDN+S△ADN=S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：23m=13m−23a+a+a，
解得：a=14m，
∴S四边形CMDN=S△CDM+S△CDN=13m−23×14m+14m=512m，
故答案为：512m．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系．
19．（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F．
(1)图中有______个等腰三角形；猜想EF与BE，CF之间有怎样的关系，请直接写出来；
(2)如图2．若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，请直接写出它们；在第（1）问中EF与BE，CF之间的关系还存在吗?并说明理由；
(3)如图3，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．此时EF与BE，CF关系又如何?说明你的理由．
【答案】(1)5；EF=BE+CF
(2)有两个等腰三角形，为△BEO，△CFO；EF=BE+CF还成立，理由见解析
(3)EF=BE−CF；理由见解析
【分析】（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共五个，根据平行线的性质，等边对等角即可得出，再根据EF=EO+OF，即可得出EF=BE+FC；
（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，再根据角平分线的定义得出∠1=∠2，进而得出∠1=∠3，可得△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证；
（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，再根据角平分线的定义得出∠4=∠5，进而得出∠4=∠6，可得△BEO是等腰三角形，同理可证△CFO是等腰三角形，则BE=EF+FO=EF+CF，即EF=BE−CF．
【详解】（1）解： ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO，
∴EO=EB，FO=FC；
∴△OEB、△OFC是等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC=12∠ABC=12∠ACB=∠OCB，
∴△OBC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∴图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共五个；
EF与BE、CF的关系是EF=BE+FC．
理由如下：
∵EO=EB，FO=FC，EF=EO+OF，
∴EF=BE+FC；
综上可知，图中有5个等腰三角形，EF=BE+FC；
（2）解：还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：
∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形．
EF与BE，CF之间的关系还存在，理由如下：
∵△BEO，△CFO是等腰三角形，
∴EO=EB，FO=FC，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
（3）
解：有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE−CF，
如下图所示：
∵OE∥BC，
∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，
∴∠4=∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE=EO，OF=FC，
∴BE=EF+FO=EF+CF，
∴EF=BE−CF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，比较综合，难度一般，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．