中考数学一轮大单元复习专题4.4特殊三角形知识点演练(6大题型，93题)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习专题4.4特殊三角形知识点演练(6大题型，93题)(讲练)(原卷版+解析)，共126页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

考点1：等腰三角形的性质和判定
例1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，点B、D、E在同一条直线上，连结CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠BEC的度数；
(3)过点A作AM⊥DE于点M，若AM=3.5，BD=5，求线段BC的长．
例2．（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2 10，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
(1)求证：△ADE是等腰三角形；
(2)连结CE交AD于点H，若∠DCE=45°，求EH的长．
知识点训练
1．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=4．则BD的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=2，则BE的长为（ ）
A．6B．52C．322D．722
3．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF．判断△DEF的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．无法判断
4．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
5．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是( )
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
6．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，则下列五个结论：①AD⊥BC，且BD=CD；②AE=AF；③∠BDE=∠BAD；④连接EF，AD垂直平分EF；⑤若∠BDE=30°，则BC=AC．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠ACB的平分线交DF于点G，∠BED=2∠DFC，DG=4，BC=16，求BE的长为_________________．
8．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④BE+CF=EF，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
9．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，点E是线段AD上一点，且BE=AC，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BED；
(2)若∠C=78°，求∠ABE的度数．
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°．
(1)如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD=CE，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．
11．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E为AC的中点，连结DE并延长至点F，使EF=ED，连结CF．
(1)求证：△AED≌△CEF．
(2)若CA平分∠BCF，求证：AB=BC．
12．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别在AB，AC，BC边上，且AD=BF，BD=AE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠C=40°时，求∠DEF的度数．
13．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
(1)求证：AF⊥DE，BF=CE．
(2)若AD=10，AB=6，AF=8，求DE的长度．
14．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒．
(1)填空：AB=______；
(2)当t为何值时，线段CP的长最小；
(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
15．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，点E，F分别是AC，BC上的动点，且始终满足CE=BF．
(1)求证：DE=DF；
(2)求∠EDF的大小；
(3)已知AC=20，求出四边形CEDF的面积，并直接写出四边形CEDF的面积与三角形ABC的面积之间的关系．
16．（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图1，在△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB，点D，E分别在边CA,CB上，CD=CE，连接DE,AE,BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，直线CF交直线BD于F．
(1)求证：DF=BF；
(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
(3)若CD=2,CB=4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出AE的长．
17．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图1，△ABC中，BD⊥AC于D，AD=BD=4，CD=2，过点A作AH⊥BC于H，交BD于P．回答下列问题：
(1)求线段DP的长；
(2)连结DH，求证：∠AHD=45°；
(3)如图2，若点O为AB的中点，点M为线段BD延长线上一动点，连结MO，过点O作ON⊥OM，交线段DA延长线于点N，则S△BOM−S△AON的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值．
考点2：等边三角形的性质和判定
例3．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB是等边三角形，且点B的坐标为4，0，点A在反比例函数y=kxk>0的图象上．
（1）反比例函数y=kx的表达式为______；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1．
①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：k______k1（填“<”、“>”或“=”）；
②当函数y=kx的图象经△O1A1B1一边的中点时，则a=______．
例4．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F，∠ADB=∠C+∠4．
(1)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
(2)若∠C=30°，试判断△ABD的形状，并说明理由．
知识点训练
1．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）在△ABC中，若AB=AC=3，∠B=60°，则BC的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，D为等边△ABC边BC上一点，∠BAD=∠CDE，BD=2，CD=4，则CE的长为（ ）
A．23B．1C．43D．2
3．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）在△ABC中，AC=3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC为等腰三角形时，x=4.5B．△ABC不可能是等边三角形
C．△ABC为直角三角形时，x=4D．34．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC，交⊙O于点F，则∠BAF的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③∠ADC=150°；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD'=6+2534．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，O为△ABC的外心，△OCP为正三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
7．（2023·云南昭通·校考一模）如图、等边△ABC的三个顶点都在⊙O上．若OA=4，则劣弧BC的长是 _____．
8．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：已知△ABC是等边三角形，边长为2，面积为3，AD是BC边的高，若点M、N分别是线段AC和AD上的两个动点，则MN+NC的最小值是______．
9．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=10cm，DE=6cm，则BC的长是______cm．
10．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6,AD=4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为___________．
11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，AD=CE，AE与BD相交于点F，若EF=4，则E到BF的距离为___________．
12．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=5，点D在BC边上运动，以AD为边向右边作等边三角形ADE，连接CE，以下结论正确的有_____________．（填序号即可）
①AC=2.5；
②∠BAD=∠CAE；
③当∠BAD=30°时，AE=BD；
④CE长度的最小值为1.25．
13．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：△ABC和△DEF都是等边三角形．
(1)求证：△ADF≌△CFE．
(2)若CF=2AF，求∠CFE的度数．
14．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．
(1)求证：AB∥EC；
(2)求证：△DAF∽△DEC．
15．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，已知Aa,b，AB⊥y轴于B，且满足a−2+b−22=0．
(1)求A点坐标；
(2)如图1所示，分别以AB,AO为边作等边△ABC和等边△AOD，
①求证：△ABO≌△ACD
②试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2所示，过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE,AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究FG与OF+AG的大小关系？并说明理由．
16．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图1，D，E分别是△ABC中AB，AC上的两点，且AB=AC，AD=AE．
(1)当∠A=60°时，将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图2所示，连接BD，则BD与CE的数量关系是______，∠DBC的度数是______．
(2)当∠A=90°时，将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图3所示，连接BD，请写出BD与CE的数量关系与位置关系，并说明理由．
(3)当∠A=90°时，将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C落在ED的延长线上，如图4所示，试判断AC，CD，CE之间的数量关系，并加以证明．
17．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，连接BD、AE，BD与AE相交于点O，AE与CD相交于点M，BD与AC相交于点N．
(1)如图1，若点B、C、E在同一条直线上，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角∠AOB的度数，并说明理由；
(2)如图2，将△ECD绕点C顺时针旋转，点B、C、E不在一条直线上时，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
18．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.
(1)观察猜想
如图①，当α=60°时，BDCP的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
考点3：含有30°锐角的直角三角形
例5. （1）（2023·广东·一模）已知A、B是圆O上的点，以O为圆心作弧，交OA、OB于点C、D．分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点G．若OF=3cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为______cm．
（2）（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC=60°，AC=4．则BD的长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
例6. （2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使PA=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)连接AP，若∠ABC=30°，BC=6，求PC的长度．
知识点训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图AD是△ABC的高，AB=4，∠BAD=60°，tan∠CAD=12，则BC的长为（ ）．
A．3+1B．23+2C．23+1D．3+4
2．（2023·广西河池·校考一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．23D．3
3．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4．将△ABC绕顶点C旋转得到△A'B'C，若点O是BC中点，点P是A'B'中点，在旋转过程中，线段OP的最大值等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一动点，点O是线段AD上一动点，且OP=OC，下面的结论：
①AO+AP=AB； ②OP+OC的最小值为2AB；
③∠APO+∠PCB=90°； ④S△ABC=S四边形AOCP．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
5．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B=60°，∠BAO=90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．3B．23C．6D．9
6．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=__．
7．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）将等腰直角三角板ACB(∠ACB=90°)绕点B顺时针方向旋转15°得到△A'C'B，若AC=3，则阴影部分的面积为___________．
8．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）等腰三角形中有一个内角为120°，底边上的高为4，则腰长为_______
9．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥DE，已知AF=4，则AE=_____．
10．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC=6，则DE长为________．
11．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
(1)判断四边形ABEC的形状，并说明理由；
(2)若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．
12．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心作圆，使⊙O经过A，D两点．
(1)尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
(2)求证：BC为⊙O的切线．
(3)若AB=10，∠B=30°，求⊙O的周长．
考点4：直角三角形斜边上的中线
例7. （1）（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=5km，BC=12km，则M、C两点间的距离为______km．
（2）（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
例8. 如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF=6，BC=24．
(1)证明∠ABE=∠ACF；
(2)判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
(3)求MN的长．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是8cm2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF，点M为BF的中点，则ME的长为（ ）
A．92B．25C．32D．3210
3．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（ ）
A．1B．20C．3D．4
4．（2022秋·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期末）如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD=58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118°B．108°C．120°D．116°
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM=CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB=10，DM=4，则PQ的长为________．
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，若AD=1，则△ABC的面积为________．
8．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G为△ABC的重心，过点G作GD∥BC交AB于点D．已知AB=10，sinB=35，那么GD的长为________．
9．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，∠MON=90°，动线段AB的端点A、B分别在射线OM、ON上，点C是线段AB的中点．点B由点O开始沿ON方向运动，此时点A向点O运动，当点A到达点O时，运动停止．若AB=10cm，则中点C所经过的路径与OM，ON所围成图形的面积是 _____．
10．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）在△ABC中，∠ACB是钝角，AD⊥BC交BC的延长线于点D，E，F分别为AC、AB的中点，∠FCE=∠CED．连接DF，EF，设DF与EC交于点O．
(1)求证：OD=OF．
(2)若OF=52，tanB=43时，求AC的长．
11．（2023·广东·一模）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD=BD，将△ACB绕点B顺时针旋转60°得到△MNB，连接CD，DM．求证：△ACB≌△BDM．
12．（2023·河南洛阳·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．
(1)求证：BC平分∠ABF；
(2)求证：BC2=2BF⋅BD．
考点5：勾股定理及逆定理
例9. （1）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
（2）（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A．10−1B．10C．10+1D．10+2
（3）（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1=40，则S2－S3的值等于______．
例10.（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE、AF、EF．
(1)求证△ABE≌△ADF；
(2)若AE=5，请求出EF的长．
知识点训练
．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．122cmB．285cmC．20cmD．613cm
2．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A3,5，点B的坐标为3,−2，则线段AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点 B 恰好落在边 AC上，与点B'重合， AE为折痕，则EB'的长为（ ）
A．3cmB．2.5cmC．1.5cm D．1cm
4．（2023·辽宁阜新·校考一模）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．6C．7 2D．52
5．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC，AB上的中线BE，CD相交于点F，若AC=6，BC=4，则BF=（ ）
A．103B．52C．4133D．13
6．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF=3，则BE的长为（ ）
A．12B．34C．1D．2
7．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠BAC的值为__________．
8．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图中，在Rt△ABC中，∠C=90°，ACAB=513，
(1)求tanB的值；
(2)若BC=24，求斜边AB的长．
9．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）定义：三角形一边上的点到三角形的另两条边的距离相等，称此点为这个三角形这边上的雅实心，如：
如图1，当点P在△ABC的AC边上时，若PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，且PD=PE，则称点P为△ABC的AC边上的雅实心，△ABC各边上的三个雅实心为顶点构成新三角形，叫做△ABC的雅实三角形．
(1)如图2，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，求BC边上的雅实心P到AB的距离PD．
(2)如图3，等边△ABC的边长为4cm，求等边△ABC的雅实三角形的面积．
(3)如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴上，且A2,0，∠BAO=60°，求△AOB的斜边上的雅实心P的坐标．
10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）【问题原型】如图①，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．求证：∠DAC=∠EBC
【问题延伸】如图②，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE ．试问∠DAC与∠EBC的大小有怎样的关系？请说明理由．
【问题应用】如图③，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=3．点E在边AB上，且BE=1，连接AD，则线段DE的长为______．
11．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E 处．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：
(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．
考点6：等腰三角形的存在性问题
例11.（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1，则BC的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点A4,3，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
例12.（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有A，B两个格点，请以AB为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
(1)在图甲中画一个面积为4的直角三角形；
(2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为_______________．
知识点训练
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,−2，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在3×4正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点C，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为___________
．
3．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知点A3,−1和点B0,2，点C在y轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的坐标是________．
4．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．
(2)在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
5．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(−3，0)，B(0，4)．请在所给的网格区域（含边界）作图．
(1)画一个等腰△ABC，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标．
(2)画一个△OAD，使△OAD与△AOB重叠部分的面积是△AOB面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标．
6．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）（1）动手尝试：如图，有甲、乙、丙、丁四张三角形纸片，甲是直角三角形纸片，乙是内角分别为40°，60°，80°的三角形纸片；丙是内角分别为x40°，60°，80°的三角形纸片；丁是的内角分别为35°，40°，105°的三角形纸片，你能把每一张三角形纸片一条剪痕剪成两个等腰三角形吗？请把能剪的用虚线画出剪痕并标出各角的度数．
（2）项目研究：综合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，画出相应的示意图，并标出能说明是等腰三角的相应的角．
7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，直线y=12x经过点Am,2，反比例函数y=kxk≠0的图像经过点A和点B8,n．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上找一点C，△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
专题4.4 特殊三角形
考点1：等腰三角形的性质和判定
例1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，点B、D、E在同一条直线上，连结CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠BEC的度数；
(3)过点A作AM⊥DE于点M，若AM=3.5，BD=5，求线段BC的长．
【答案】(1)见解析；
(2)90°；
(3)13．
【分析】（1）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，得到∠BAD=∠CAE，即可证明△ABD≌△ACE；
（2）由题意得：AD=AE，∠DAE=90∘，得到∠ADE=∠AED=45∘，∠ADB=180∘−∠ADE=135°，由（1）△ABD≌△ACE，得到∠AEC=∠ADB=135∘，即可求得∠BEC的度数；
（3）已知AM⊥DE，得到∠AMD=∠AME=90∘，△ADM和△AEM都是等腰直角三角形，推出DM=EM=AM=3.5．BE=12，由（1）△ABD≌△ACE，得到CE=BD=5，在Rt△BEC中，利用勾股定理即可求得线段BC的长．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△ABD≌△ACE．
（2）∵AD=AE，∠DAE=90∘，
∴∠ADE=∠AED=45∘．
∴∠ADB=180∘−∠ADE=180∘−45∘=135∘．
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=135∘．
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=135∘−45∘=90∘．
（3）∵AM⊥DE，
∴∠AMD=∠AME=90∘．
∵∠ADE=∠AED=45∘，
∴△ADM和△AEM都是等腰直角三角形．
∴DM=EM=AM=3.5．
∴BE=BD+DM+EM=5+3.5+3.5=12．
∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=5．
在Rt△BEC中，
BC=BE2+CE2=122+52=13．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例2．（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2 10，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
(1)求证：△ADE是等腰三角形；
(2)连结CE交AD于点H，若∠DCE=45°，求EH的长．
【答案】(1)见解析；
(2)2
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，∠DAC=∠EAD，根据平行线的性质得出∠EDA=∠DAC，等量代换得到∠EAD=∠EDA，根据等角对等边即可得到结论；
（2）作EF∥BC，交AD于G，交AC于点F，连接FH，则EG⊥AD，得出AG=GD，进而得出△CDH，△EGH是等腰直角三角形，得出EF=2EH，GH=12EF，证明△DEC≌△FCEASA，得出EF=DC，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质得出AD=3DC，利用勾股定理求得CD，进而求得EH．
【详解】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，∠DAC=∠EAD
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC
∴∠EAD=∠EDA
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）作EF∥BC，交AD于G，交AC于点F，连接FH，则EG⊥AD，
∵△AED是等腰三角形，EG⊥AD
∴ AG=GD，
∵AD⊥BC，∠DCE=45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH=DC，∠DHC=45°
∵EG⊥AD，∠EHG=∠DHC=45°，
∴ △EGH是等腰直角三角形，
∵EF∥BC
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠ACB,
又∵ ∠B=∠ACB
∴ ∠AEF=∠AFE
∴ AE=AF，
又∵ AD⊥EF
∴HE=HF
∴ ∠HEF=∠HFE=45°，
∴ △HEF是等腰直角三角形，
∴ EF=2EH，GH=12EF，
又∵∠B=90°−∠EAD=90°−∠EDA=∠EDB，∠B=∠ACB
∴ ED∥AC，
∴∠DEC=∠FCE，
∵EF∥BC
∴∠FEC=∠ECD
在△DEC与△FCE中，
∠FEC=∠ECDEC=EC∠DEC=∠FCE
∴ △DEC≌△FCEASA，
∴ EF=DC
∴ GD=GH+DH=12EF+DC=32DC
∵ GA=GD=12AD，
∴AD=3DC，
∵AB=AC=210，AC2=AD2+DC2，
∴40=9DC2+DC2，
∴DC=2，
∴ EF=2EH=DC=2
∴EH=22×2=2，
∴EH的长为2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=4．则BD的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
【答案】C
【分析】延长BD与AC交于点E，由∠A=∠ABD可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形△BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=8，BC=4，即可推出BD的长度．
【详解】延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=90°，
∴∠CBD+∠BCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
又 CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠CBD=∠CED
∴BC=CE，
∴BD=DE，
∵AC=8，BC=4，
∴AE=AC−CE=AC−BC=4，
∴BE=AE=4，
∴BD=2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=2，则BE的长为（ ）
A．6B．52C．322D．722
【答案】D
【分析】过点F作FG⊥AB于G，先求出AB=62,BF=4，则FG=22,AG=42，设AE=x，则EF=x,EG=42−x，在Rt△EFG中，利用勾股定理求解即可．
【详解】过点F作FG⊥AB于G，
∴∠BGF=90°，
∵∠C=90°，AC=BC=6，CF=2，
∴AB=2AC=62,BF=6−2=4,∠B=45°，
∴FG=BG=22BF=22，
∴AG=AB−BG=42，
设AE=x，则EF=x,EG=42−x，
在Rt△EFG中，由勾股定理得EG2+FG2=EF2，
即42−x2+222=x2，
解得x=522
∴BE=AB−AE=62−522=722，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF．判断△DEF的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．无法判断
【答案】B
【分析】连接AD，∠B=45°，AB=AC，得出∠B=∠C=45°，求出∠BAC=180°−45°−45°=90°，根据直角三角形的性质求出AD⊥BC，AD=BD=CD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，证明△BDE≌△ADF，得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，求出∠EDF=90°，即可得出结果．
【详解】解：连接AD，如图所示：
∵在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=180°−45°−45°=90°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，
∴∠B=∠DAF，
∵BE=AF，
∴△BDE≌△ADFSAS，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△BDE≌△ADF．
4．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到∠A=40°，再根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则∠ABE=∠A=40°．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠C=40°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
故选C ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键．
5．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是( )
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，
∵AD=BC，
∴DH=CG，故C正确，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故A正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，
∵DH=CG，
∴DF=CE，故B正确，
无法证明AE=AB，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题．
6．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，则下列五个结论：①AD⊥BC，且BD=CD；②AE=AF；③∠BDE=∠BAD；④连接EF，AD垂直平分EF；⑤若∠BDE=30°，则BC=AC．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】证明△DEB≌△DFCAAS，可得DB=DC，BE=CF，∠BDE=∠CDF，AD是等腰△ABC的中线，即有AD⊥BC，AD是∠BAC的平分线，可判断①正确；结合AB=AC，BE=CF，可判断②正确；结合AD⊥BC，DE⊥AB，可得∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BED=90°，即可判断③正确；连接EF，证明△AEF是等腰三角形，根据“三线合一”可知AD垂直平分EF，即④正确；证明△ABC是等边三角形，即可得⑤正确．
【详解】∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵DE=DF，
∴△DEB≌△DFCAAS，
∴DB=DC，BE=CF，∠BDE=∠CDF，
∴AD是等腰△ABC的中线，
∴AD⊥BC，AD是∠BAC的平分线，
即①正确；
∵AB=AC，BE=CF，
∴AE=AB−BE=AC−CF=AF，即②正确；
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAD，即③正确；
连接EF，如图，
∵AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD是△AEF底边EF的中线和高线，
∴AD垂直平分EF，即④正确；
∵∠BDE=30°，
∴∠DBE=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，即⑤正确；
即正确的有5个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠ACB的平分线交DF于点G，∠BED=2∠DFC，DG=4，BC=16，求BE的长为_________________．
【答案】6
【分析】在FC上截取CM=CD，CG是∠BCA的平分线，即可证明△DCG≌△MCG，证明GM=FM，然后根据BC=BD+CD列方程求解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠DCA，
又∵BE=CD，BD=CF，
∴△BED≌△CDF，
∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF，
∵∠BED=2∠DFC，
设∠DFC=x，
∴∠BED=2x=∠FDC，
在FC上截取CM=CD，如图所示：
∵CG是∠BCA的平分线，
∴∠DCG=∠GCM，
在△DCG和△MCG中，
CM=CD∠DCG=∠MCGCG=CG
∴△DCG≌△MCG，
∴DG=DM=4，DC=CM，∠DGC=∠GMC=2x，
∴∠FGM=∠GMC−∠GFM=2x−x=x，
∴∠FGM=∠GFM，
∴GM=FM=4，
设CD=EB=y，则FC=4+y=BD，BC=BD+CD=4+y+y，
∴16=4+2y，
则y=6 ，即BE=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，正确做出辅助线，构造全等三角形，是本题的关键．
8．（2022秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④BE+CF=EF，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定②正确；根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定③正确，根据BE+CF=BE+AE=AB，只有当E与A、B重合时，BE+CF=EF=AB．判定④错误．
【详解】如图,连接EF,
∵AB=AC,∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF；
在△APE和△CPF中，
∠APE=∠CPFAP=PCEAP=∠C=45°，
∴△APE≌△CPFASA，
∴AE=CF，PE=PF，故①正确；
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=12S△ABC，
故③正确，
∵BE+CF=BE+AE=AB，只有当E与A、B重合时，BE+CF=EF=AB．
∴④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE≌△CPFASA是解题的关键，也是本题的突破点．
9．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，点E是线段AD上一点，且BE=AC，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BED；
(2)若∠C=78°，求∠ABE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠ABE=33°
【分析】（1）根据垂直得到∠ADB=∠ADC=90°，在利用“HL”即可证明△ACD≌△BED；
（2）根据全等三角形的性质，得到∠DAC=∠DBE，再利用垂直，得到∠DBE=∠DAC=12°，证明△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD=45°，即可求出∠ABE的度数．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ACD和Rt△BED中，
AD=BDAC=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△ADCHL；
（2）解：∵△ACD≌△BED，
∴∠DAC=∠DBE，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠C=78°，
∴∠DBE=∠DAC=90°−78=12°，
∵AD=BD，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABE=∠ABD−∠DBE=45°−12°=33°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题关键．
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°．
(1)如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD=CE，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．
【答案】(1)BF=CF，证明见解析
(2)∠FBD=30°或45°
【分析】（1）证明△BCD≅△CBESAS，得出∠FBC=∠FCB，根据等腰三角形判定即可得出答案；
（2）先求出∠ABC=∠ACB=12180−∠BAC=67.5°，由（1）得出∠DBF=∠ECF，设∠FBD=∠ECF=x，则∠FBC=∠FCB=67.5°−x，∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°，∠DFB=2∠FBC=267.5°−x=135−2x，分三种情况：①当BD=BF时，②当BD=DF时，③当BF=DF时，求解即可．
【详解】（1）解：BF=CF，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCD与△CBE中BC=BC∠ACB=∠ABCBD=CE，
∴△BCD≅△CBESAS，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=12180−∠BAC=67.5°，
由（1）知，∠FBC=∠FCB，
∴∠DBF=∠ECF，
设∠FBD=∠ECF=x，
则∠FBC=∠FCB=67.5°−x，∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°，
∠DFB=2∠FBC=267.5°−x=135°−2x，
∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①.当BD=BF时，此时∠BDF=∠DFB，
∴x+45°=135°−2x,得x=30°，
即∠FBD=30°；
②当BD=DF时，此时∠FBD=∠DFB，
∴x=135°−2x,得x=45°，
即∠FBD=45°；
③当BF=DF时，此时∠FBD=∠FDB，
∴x=x+45°,不符题意，舍去；
综上所述，∠FBD=30°或45°．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
11．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E为AC的中点，连结DE并延长至点F，使EF=ED，连结CF．
(1)求证：△AED≌△CEF．
(2)若CA平分∠BCF，求证：AB=BC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据E为AC的中点，得到AE=CE，结合∠AED=∠CEF，ED=EF，即可得到证明；
（2）根据△AED≌△CEF可得∠DAE=∠ECF，CA平分∠BCF可得∠BCA=∠ECF，即可得到证明；
【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵AE=CE∠AED=∠CEFED=EF
∴△AED≌△CEF(SAS)；
（2）证明：由（1）得：△AED≌△CEF，
∴∠DAE=∠ECF，
∵CA平分∠BCF，
∴∠BCA=∠ECF
∴∠BAC=∠BCA
∴AB=BC；
【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是找到三角形全等的条件．
12．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别在AB，AC，BC边上，且AD=BF，BD=AE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠C=40°时，求∠DEF的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)55°．
【分析】（1）根据等边对等角得到∠B=∠A，利用“SAS”证明△ADE≌△BFD，得到DE=DF，即可证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到∠A=∠B=70°，再根据△ADE≌△BFD，得到∠AED=∠BDF，然后利用三角形的外角性质推出∠EDF=∠A=70°，最后利用三角形内角和即可求出∠DEF的度数．
【详解】（1）证明：∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
在△ADE和△BFD中，
AD=BF∠A=∠BBD=AE，
∴△ADE≌△BFDSAS，
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵AC=BC，∠C=40°，
∴∠A=∠B=12180°−40°=70°，
∵△ADE≌△BFD，
∴∠AED=∠BDF，
∵∠BDE=∠BDF+∠EDF=∠A+∠AED，
∴∠EDF=∠A=70°，
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE=12180°−∠EDF=12180°−70°=55°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
13．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
(1)求证：AF⊥DE，BF=CE．
(2)若AD=10，AB=6，AF=8，求DE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)45
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，再由角平分线的定义证明∠DAF+∠ADE=12∠BAD+12∠ADC=90°，得到∠AGD=90°，即可证明AF⊥DE；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BAF=∠AFB，得到AB=BF，同理可得CD=CE，则BF=CE；
（2）过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，证明四边形AFCK是平行四边形，∠KID=90°，得到AF=CK=8，再证明∠DKI=∠DCI，得到DK=DC=6，则KI=CI=4，同理证明CE=CD，得到EI=DI，求出DI=25，则DE=2DI=45．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAF=∠BAF=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC．
∴∠DAF+∠ADE=12∠BAD+12∠ADC=90°．
∴∠AGD=90°．
∴AF⊥DE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠DAF=∠AFB，
又∵∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理可得CD=CE，
∴BF=CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD=∠KID=90°，
∴AF=CK=8，
∵∠KDI+∠DKI=90°，∠CDI+∠DCI=90°，∠IDK=∠IDC，
∴∠DKI=∠DCI，
∴DK=DC=6，
∴KI=CI=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD，
∵CI⊥DE，
∴EI=DI，
∵DDI=CD2−CI2=25，
∴DE=2DI=45．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒．
(1)填空：AB=______；
(2)当t为何值时，线段CP的长最小；
(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【答案】(1)10
(2)t=185
(3)t=2或5
【分析】（1）勾股定理即可得解；
（2）根据垂线段最短，得到当CP⊥AB时，线段CP的长最小，利用等积法求出CP的长，进而求出AP的长，即可得解；
（3）分BP=BC,BP=PC,BC=PC，三种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10；
故答案为：10；
（2）解：根据点到直线的距离，垂线段最短，可知：当CP⊥AB时，线段CP的长最小，如图，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CP，
∴AC⋅BC=AB⋅CP，即：6×8=10CP，
∴CP=245，
在Rt△APC中，AP=AC2+CP2=185，
∴t=185÷1=185；
∴当t=185时，线段CP的长最小；
（3）解：①当BP=BC时，如图，
∵AB=10,BP=BC=8，
∴AP=2，
∴t=2÷1=2；
②当BP=PC时，如图，
则：∠B=∠BCP，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠A=∠ACP，
∴PA=PC，
∴PA=PB=12AB=5
∴t=5÷1=5；
③当BC=PC时，此种情况不存在；
综上：当t=2或5时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题考查勾股定理，垂线段最短以及等腰三角形的判断和性质．熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
15．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，点E，F分别是AC，BC上的动点，且始终满足CE=BF．
(1)求证：DE=DF；
(2)求∠EDF的大小；
(3)已知AC=20，求出四边形CEDF的面积，并直接写出四边形CEDF的面积与三角形ABC的面积之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)90°
(3)100，S四边形CEDF=12S△ABC
【分析】（1）连接CD，证明△ECD≌△FBD即可得出结论；
（2）由△ECD≌△FBD可证出∠EDF=∠CDB，再根据∠CDB=90°即可得出答案；
（3）求出S△ABC=12AC×BC=12×20×20=200，S四边形CEDF=S△CDF+S△CED=S△CDF+S△BDF=S△BCD=100，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接CD，如图，
∵在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ CD=12AB=BD，∠ECD=∠B=45°，
在△ECD与△FBD中，
CE=BF∠ECD=∠BCD=BD，
∴ △ECD≌△FBD，
∴ DE=DF；
（2）∵ △ECD≌△FBD，
∴ ∠EDC=∠FDB，
∴ ∠EDC+∠FDC=∠FDB+∠FDC
即∠EDF=∠CDB，
∵在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ ∠CDB=90°，
∴ ∠EDF=∠CDB=90°；
（3）∵在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=20，
∴ S△ABC=12AC×BC=12×20×20=200，
∴ S△BCD=12S△ABC=100，
∵ △ECD≌△FBD，
∴ S四边形CEDF=S△CDF+S△CED=S△CDF+S△BDF=S△BCD=100，
四边形CEDF的面积与三角形ABC的面积之间的关系为:S四边形CEDF=12S△ABC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
16．（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图1，在△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB，点D，E分别在边CA,CB上，CD=CE，连接DE,AE,BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，直线CF交直线BD于F．
(1)求证：DF=BF；
(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
(3)若CD=2,CB=4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DF=BF仍然成立，理由见解析
(3)14+2或14−2
【分析】（1）证明△CAE≌△CBD(SAS)，由全等三角形的性质可得∠CAE=∠CBD，由直角三角形的性质可得出∠BDC=∠FCD,∠CAE=∠CBD=∠BCF，进而可证明CF=DF,CF=BF，即可得出结论；
（2）作BP∥CD交直线CF于点P，证明△CAE≌△BCP(ASA)，由全等三角形的性质可得出CE=BP，再证明△CDF≌△PBF(ASA)，由全等三角形的性质可证明DF=BF；
（3）分两种情况画出图形，由直角三角形的性质即勾股定理可得出答案．
【详解】（1）证明：在△CAE和△CBD中，
CE=CD∠ACE=∠BCDAC=BC，
∴△CAE≌△CBD(SAS)，
∴∠CAE=∠CBD，
∵CF⊥AE，
∴∠AHC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°，
∴∠CAH=∠BCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，
∴∠BDC=∠FCD,∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF,CF=BF，
∴DF=BF；
（2）DF=BF仍然成立，理由如下：
如下图，作BP∥CD交直线CF于点P，
∴∠PBC+∠BCD=180°，
又∵∠ACE+∠BCD=360°−∠ACB−∠DCE=360°−90°−90°=180°，
∴∠PBC=∠ACE，
又∵CF⊥AE，
∴∠AHC=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
又∵∠ACH+∠PCB=180°−∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠CAH=∠PCB，
又∵CA=CB，
∴△CAE≌△BCP(ASA)，
∴CE=BP，
又∵CE=CD，
∴CD=BP，
又∵BP∥CD，
∴∠CDF=∠PBF,∠DCF=∠P，
∴△CDF≌△PBF(ASA)，
∴DF=BF；
（3）解：①当点E在AD延长线上时，过点B作BG⊥CF于点G，如下图，
∵CD=CE,CH⊥DE,CD=2，
∴CH=22CD=2，
∵CA=CB=4，
∴AH=AC2−CH2=42−(2)2=14，
∵∠BCG=∠CAH,∠BGC=∠AHC,BC=AC，
∴△BCG≌△CAH(AAS)，
∴CG=AH=14，
由（2）可知，DF=BF，
又∵∠DHF=∠BGF=90°,∠DFH=∠BFG，
∴△DHF≌△BGF(AAS)，
∴HF=GH，
∴HF=12GH=14−22，
∴CF=CH+HF=2+14−22=14+22；
②当点E在线段AD上时，过点B作BG⊥CF于点G，如下图，
同理可得 AH=CG=14，CH=2，HF=FG，
∴GH=CH+CG=2+14，
∴CF=HF−CH=2+142−2=14−22．
综上所述，CF的长为14+22或14−22．
【点睛】本题是旋转变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线的性质等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键．
17．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图1，△ABC中，BD⊥AC于D，AD=BD=4，CD=2，过点A作AH⊥BC于H，交BD于P．回答下列问题：
(1)求线段DP的长；
(2)连结DH，求证：∠AHD=45°；
(3)如图2，若点O为AB的中点，点M为线段BD延长线上一动点，连结MO，过点O作ON⊥OM，交线段DA延长线于点N，则S△BOM−S△AON的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值．
【答案】(1)2
(2)证明见详解
(3)不发生变化，4
【分析】（1）证△DAP≌△DBCASA，即可得出DP=DC=2；
（2）过D分别作DM⊥CB于M点，作DN⊥HA于N点，证△CDM≌△PDN(AAS)，得出DM=DN．得出HD平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BDO=∠ADO=45°，OD=OA=BO，则∠OAD=45°，证出∠OAN=∠MDO．证△DOM≌△AONASA，得S△ODM=S△AON，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵BD⊥AC，AH⊥BC，
∴∠ADP=∠BDC=∠AHC=90°，
∴∠DAP+∠C=∠DBC+∠C=90°，
∴∠DAP=∠DBC，
在△DAP和△DBC中，∠ADP=∠BDCAD=BD∠DAP=∠DBC，
∴△DAP≌△DBCASA，
∴DP=DC=2；
（2）过D分别作DM⊥CB于M点，作DN⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形DMHN中，∠MDN=360°−3×90°=90°，
∴∠CDM=∠PDN=90°−∠MDP．
在△CDM与△PDN中，∠CDM=∠PDN∠DMC=∠DNP=90°DC=DP，
∴△CDM≌△PDNAAS，
∴DM=DN．
∵DM⊥CB，DN⊥HA，
∴HD平分∠CHA，
∴∠DHP=12∠AHC=45°；
（3）S△BOM−S△AON的值不发生改变，等于4．理由如下：
连接OD，如图2所示：
∵∠ADB=90°，DA=DB，O为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BDO=∠ADO=45°，OD=OA=BO
∴∠OAD=45°，∠MDO=90°+45°=135°，
∴∠OAN=135°=∠ODM．
∵MO⊥NO，
即∠MON=90°，
∴∠MOD=∠NOA=90°−∠MOA．
在△DOM和△AON中，∠MOD=∠NOAOD=AO∠ODM=∠OAN，
∴△DOM≌△AONASA，
∴S△DOM=S△AON，
∴S△BOM−S△AON=S△BOM−S△DOM=S△BDO=12S△ADB=12×12AD⋅BD=12×12×4×4=4．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
考点2：等边三角形的性质和判定
例3．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB是等边三角形，且点B的坐标为4，0，点A在反比例函数y=kxk>0的图象上．
（1）反比例函数y=kx的表达式为______；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1．
①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：k______k1（填“<”、“>”或“=”）；
②当函数y=kx的图象经△O1A1B1一边的中点时，则a=______．
【答案】 y=43x < 1或3
【分析】（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A2，23，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出A12+a，23，由a>0，得到2+a>2，则k1>43=k；
（3）分当函数y=kx的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，
∵4，0，
∴OB=4，
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=BC=12OB=2，OA=OB=4，
∴AC=OA2−OC2=23，
∴A2，23，
∵点A在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴23=k2，
∴k=43，
∴反比例函数y=kx的表达式为y=43x，
故答案为：y=43x；
（2）①∵把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1，
∴A12+a，23，
∵反比例函数y=k1x的图象经过点A1，
∴23=k12+a，
∴k1=232+a，
∵a>0，
∴2+a>2，
∴k1>43=k，
故答案为：<；
（3）当函数y=kx的图象经过O1A1的中点时，
∵O1a，0，A1a+2,23，
∴函数y=kx的图象经过点a+a+22，232，
∴3=43a+1，
∴a=3；
当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，
∵B1a+4，0，A1a+2,23，
∴函数y=kx的图象经过点a+4+a+22，232，
∴3=43a+3，
∴a=1，
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等边三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
例4．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F，∠ADB=∠C+∠4．
(1)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
(2)若∠C=30°，试判断△ABD的形状，并说明理由．
【答案】(1)BE垂直平分AD，理由见解析
(2)△ABD是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据AM⊥BC可得∠ABC+∠5=90°，根据∠BAC=90°可得∠ABC+∠C=90°，则∠5=∠C，再根据角平分线的定义，进一步得出∠BAD=∠ADB，则△BAD是等腰三角形，最后根据“三线合一”即可得出结论；
（2）根据∠C=30°得出∠DBA=60°，根据（1）中△BAD是等腰三角形，即可得出结论．
【详解】（1）解：BE垂直平分AD，
理由：∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠5=∠C，
∵AD平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD是等边三角形．
理由：
∵∠C=30°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DBA=60°，
由（1）知∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是顶角为60°的等腰三角形，
∴∠DBA=∠BAD=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，熟练正确等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
知识点训练
1．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）在△ABC中，若AB=AC=3，∠B=60°，则BC的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC=AB．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．
2．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，D为等边△ABC边BC上一点，∠BAD=∠CDE，BD=2，CD=4，则CE的长为（ ）
A．23B．1C．43D．2
【答案】C
【分析】证明△ABD∽△DCE，继而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠DCE，AB=BC=BD+CD=6，
又∵∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴BDCE=ABCD
∴2CE=64
∴CD=43,
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）在△ABC中，AC=3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC为等腰三角形时，x=4.5B．△ABC不可能是等边三角形
C．△ABC为直角三角形时，x=4D．3【答案】C
【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．
【详解】解：A、当AB=BC=4.5，即x=4.5时，△ABC是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；
B、周长为12的等边三角形，边长为4，而AC=3，故△ABC不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；
C、△ABC是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知AC=3，AB=x=4时，BC=5或AC=3，AB=x=5，BC=4都可以，原说法错误，故选项符合题意；
D、根据三角形的三边关系可知3故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．
4．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC，交⊙O于点F，则∠BAF的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=12∠BOF=15°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
5．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③∠ADC=150°；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD'=6+2534．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】连接DD'，根据旋转的性质得AD=AD'，∠DAD'=60°，可判断△ADD'为等边三角形，则DD'=AD=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD'重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD'C为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形ADCD'的面积=S△ADD'+S△D'DC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】解：连接DD'，如图所示，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，
∴AD=AD'，∠DAD'=60°，
∴△ADD'为等边三角形，
∴DD'=AD=5，故①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD'重合，
∴△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确；
∴D'C=DB=4，
∵DC=3，
∴在△DD'C中，DC2+D'C2=DD'2，
∴△DD'C为直角三角形，
∴∠DCD'=90°，
∴DC⊥CD'，
∴点D到CD'的距离为3，故④正确；
∵∠ADD'=60°，∠CDD'≠90°，
∴ ∠ADC≠150°，故③错误；
∵四边形ADCD'的面积=S△ADD'+S△D'DC=12×5×532+12×3×4=6+2534，故⑤正确．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
6．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，O为△ABC的外心，△OCP为正三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP为（ ）
A．110°B．90°C．85°D．80°
【答案】C
【分析】由三角形的外心可知OA=OC，结合AB=AC，∠BAC=70°先求出∠ACO，再利用△OCP是正三角形以及外角的性质即可求解∠ADP的度数．
【详解】解：∵O是△ABC的外心，AB=AC
∴OA=OC，∠BAO=∠CAO=∠ACO
∵∠BAC=70°
∴∠CAO=∠ACO=35°
∵△OCP是正三角形
∴∠PCO=∠P=60°
∴∠PCD=∠PCO−∠ACO=25°
∴∠ADP=∠PCD+∠P=25°+60°=85°
故选C．
【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．
7．（2023·云南昭通·校考一模）如图、等边△ABC的三个顶点都在⊙O上．若OA=4，则劣弧BC的长是 _____．
【答案】83π
【分析】如图，连接OB、OC，△ABC为等边三角形，所以∠BAC=60°，推得∠BOC=120°，又因为OA=4，根据弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接OB、OC，
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠BAC=60°，
由圆周角定理得∠BOC=120°，
∵ OA=4，
∴劣弧BC的长为120π×4180=83π，
故答案为：83π．
【点睛】本题考查等边三角形及圆的弧长，掌握弧长公式是解题的关键．
8．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：已知△ABC是等边三角形，边长为2，面积为3，AD是BC边的高，若点M、N分别是线段AC和AD上的两个动点，则MN+NC的最小值是______．
【答案】3
【分析】过点B作BM⊥AC，交AD于点N时，MN+NC有最小值，最小值为BM，根据三角形的面积公式，得出12×2×AD=3，解出即可得出AD的长，再根据“角角边”，得出△ABM≌△BAD，再根据全等三角形的性质，得出BM=AD=3，进而即可得出MN+NC的最小值．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AC，交AD于点N时，MN+NC有最小值，最小值为BM，
∵△ABC是等边三角形，边长为2，面积为3，AD是BC边的高，
∴S△ABC=12BC⋅AD=3，即12×2×AD=3，
解得：AD=3，
又∵△ABC是等边三角形，BM⊥AC，AD⊥BC，
∴在△ABM和△BAD中，
∠BAM=∠ABD=60°∠AMB=∠BDA=90°AB=BA，
∴△ABM≌△BADAAS，
∴BM=AD=3，
∴MN+NC的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解本题的关键在正确画出图形，并解答．
9．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=10cm，DE=6cm，则BC的长是______cm．
【答案】16
【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质求得NM，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD=DM=BM=10，
∵DE=6，
∴EM=10−6=4，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=12ME=2，
∴BN=10−2=8，
∴BC=2BN=16cm，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出NM的长是解决问题的关键．
10．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6,AD=4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为___________．
【答案】53
【分析】由题可知：点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上，连接AM，AN，则：AM+AN≥MN，当A,N,M三点共线时，MN的值最大，进行求解即可．
【详解】解：连接AM,AN，
∵等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6,AD=4，
∴AM⊥DE,AN⊥BC,DM=2,BN=3,
∴AN=AB2−BN2=33，AM=AD2−DM2=23，
∵△ADE绕点A旋转，
∴点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上，
∵AM+AN≥MN，
∴当A,N,M三点共线时，MN的值最大，
即：MN=AM+AN=53；
故答案为：53．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上．
11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，AD=CE，AE与BD相交于点F，若EF=4，则E到BF的距离为___________．
【答案】23
【分析】证明出△ABC是等边三角形，再结合条件证明△ABD≌△CAE(SAS)，得出∠ADB=∠CEA，接着证明出△ADF∽△AEC，得到∠AFD=∠ACE=60°，利用对顶角得到∠AFD=∠BFE=60°，过点E作BF的垂线，交于BD于点G，在Rt△EFG中求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴∠ADB=∠CEA，
∵∠DAF=∠EAC，
∴△ADF∽△AEC，
∴∠AFD=∠ACE=60°，
∴∠AFD=∠BFE=60°，
过点E作BF的垂线，交于BD于点G，
∴∠EGF=90°,∠FEG=30°，
∴GF=12EF=2，
∴GE=EF2−GF2=16−4=23
故答案为：23．
【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造直角三角形进行求解．
12．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=5，点D在BC边上运动，以AD为边向右边作等边三角形ADE，连接CE，以下结论正确的有_____________．（填序号即可）
①AC=2.5；
②∠BAD=∠CAE；
③当∠BAD=30°时，AE=BD；
④CE长度的最小值为1.25．
【答案】①②③④
【分析】取AB的中点F，连接DF，由含30度角的直角三角形的性质即可判断①正确；由∠DAE−∠CAE=∠CAB−∠DAB，得出∠BAD=∠CAE，判断②正确；当∠BAD=30°时，∠B=30°，得出AD=BD，即可判定③正确；证明△AFD≃△ACE，得出CE=FD，则当FD⊥BC时，CE=FD最小，得出此时，FD=12BF=54=1.25，判定④正确；
【详解】解：取AB的中点F，连接DF，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=5，
∴AC=2.5，①正确；
∴AC=AF=BF=12AB=52，∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAE−∠CAE=∠CAB−∠DAB，
∴∠BAD=∠CAE，②正确；
∴△AFD≃△ACE，
∴CE=FD，
则当FD⊥BC时，CE=FD最小，
此时，FD=12BF=54=1.25，④正确；
当∠BAD=30°时，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴AE=BD，③正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
13．（2023秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图所示：△ABC和△DEF都是等边三角形．
(1)求证：△ADF≌△CFE．
(2)若CF=2AF，求∠CFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等得出AF=CE，再由等量代换得出CF=2CE，取CF的中点H，连接HE，利用等边三角形的判定和性质得出HE=HF，∠CHE=60°，再由三角形外角的定义求解即可.
【详解】（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴EF=DF,∠A=∠C=∠EFD=60°，
∴∠ADF+∠AFD=∠AFD+∠CFE=120°，
即∠ADF=∠CFE，
∴△ADF≌△CFE(AAS)；
（2）∵△ADF≌△CFE，
∴AF=CE，
∵CF=2AF，
∴CF=2CE，
取CF的中点H，连接HE，
∴CH=CE=HF，
∵∠C=60°，
∴△CHE为等边三角形，
∴HE=HF，∠CHE=60°，
∴∠CFE=∠HEF=30°.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等边对等角，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.
14．（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．
(1)求证：AB∥EC；
(2)求证：△DAF∽△DEC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转性质得到AC=AE，∠EAC=60°，即可得到△AEC是等边三角形即可的答案；
（2）根据△ABC≌△ADE可得∠AED=∠ACB，易证△ADE∽△FDC得到ADFD=DEDC，即可得到证明；
【详解】（1）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE， ∠EAC=∠BAD=60°，
∴AC=AE，
∴△AEC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴AB∥EC；
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED=∠ACB，
又∵∠ADE=∠FDC，
∴△ADE∽△FDC，
∴ADFD=DEDC，
∴ADDE=FDDC，
又∵∠ADF=∠EDC，
∴△DAF∽△DEC．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是根据旋转等到等边三角形从而得到相似的条件．
15．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，已知Aa,b，AB⊥y轴于B，且满足a−2+b−22=0．
(1)求A点坐标；
(2)如图1所示，分别以AB,AO为边作等边△ABC和等边△AOD，
①求证：△ABO≌△ACD
②试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图2所示，过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE,AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究FG与OF+AG的大小关系？并说明理由．
【答案】(1)2,2
(2)①证明见解析；②AC=CD且AC⊥CD，理由见解析
(3)OF+AG=FG，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的非负性和平方式的非负性求得a、b的值即可求得答案；
（2）①根据等边三角形的性质得出AB=AC,AO=AD,∠BAC=∠OAD=60°，求出∠BAO=∠CAD，即可证出△BAO≌△CAD；②根据全等三角形的性质即可求得答案；
（3）在FO的延长线上截取OM=AG，连接BM，证出△BOM≌△BAG，可得BG=BM，求出∠MBF=∠FBG=45°，证出△MBF≌△GBF，推出FM=FG即可得答案．
【详解】（1）解：∵a−2+b−22=0
∴a−2=b−22=0，
∴a=b=2，
∴点A坐标为2,2．
（2）解：①∵AB⊥y轴于B，A坐标为2,2，
∴AB=OB=2，
∵△ABC、△AOD均为等边三角形，
∴AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD=60°−∠OAC，
∵在△BAO和△CAD中，AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD，
∴△BAO≌△CADSAS
②AC=CD，且AC⊥CD，理由如下：
∵△BAO≌△CAD，
∴CD=OB=2，∠ACD=∠ABO=90°，
∵AC=AB=OB=2，
∴AC=CD，AC⊥CD．
（3）解：OF+AG=FG，理由如下：
如图，在FO的延长线上截取OM=AG，连接BM，
∵AB⊥y轴，AE⊥x轴，A2,2
∴∠ABO=∠AEO=∠BOE=90°，AB=AE=BO=2，
∴∠A=∠BOM=90°，
在△BOM和△BAG中
AB=BO∠BOM=∠AOM=AG，
∴△BOM≌△BAG，
∴∠ABG=∠MBO，BG=BM，
∵∠FBG=45°，∠ABO=90°，
∴∠ABG+∠OBF=45°，
∴∠MBO+∠OBF=45°，
∴∠MBF=∠FBG=45°，
在△MBF和△GBF中BF=BF∠MBF=∠GBFBM=BG
∴△MBF≌△GBF，
∴FM=FG，
∵AG=OM，
∴OF+AG=FG．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和平方式的非负性，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识进行推理与计算是解题的关键．
16．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图1，D，E分别是△ABC中AB，AC上的两点，且AB=AC，AD=AE．
(1)当∠A=60°时，将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图2所示，连接BD，则BD与CE的数量关系是______，∠DBC的度数是______．
(2)当∠A=90°时，将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图3所示，连接BD，请写出BD与CE的数量关系与位置关系，并说明理由．
(3)当∠A=90°时，将△ABC绕点A逆时针旋转，使得点C落在ED的延长线上，如图4所示，试判断AC，CD，CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)相等，120°
(2)BD⊥CE，BD=CE，理由见详解
(3)2AC2=CD2+CE2，证明见详解
【分析】（1）先证明△ABC，△ADE是等边三角形，再证明△DAB≌△EAC，即可作答；
（2）先证明△ABC，△ADE是等腰直角三角形，根据（1）可证明△DAB≌△EAC，问题随之得解；
（3）连接BD，根据（1）和（2）的方法，同理可证明BD⊥CE，BD=CE，即△ABC是等腰直角三角形，则有BC2=AC2+AB2=2AC2，在Rt△BCD中，有：BC2=CD2+BD2，问题随之得解．
【详解】（1）根据题意有：∠DAE=∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABC，△ADE是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=60°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=EC，∠C=∠DBA=60°，
∴∠DBC=∠DBA+∠ABC=120°，
故答案为：相等，120°；
（2）BD⊥CE，BD=CE，理由如下：
根据题意有：∠DAE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，
根据（1）中的方法，同理可证明△DAB≌△EAC，
∴BD=EC，∠C=∠DBA=45°，
∴∠DBC=∠DBA+∠ABC=90°，，
∴BD⊥EC；
（3）2AC2=CD2+CE2，证明如下：
连接BD，如图，
根据题意有：∠DAE=∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，
根据（1）和（2）的方法，同理可证明BD⊥CE，BD=CE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC2=AC2+AB2=2AC2，
∵BD⊥CE，
∴在Rt△BCD中，有：BC2=CD2+BD2，
∵BD=CE，
∴BC2=CD2+CE2，
∴2AC2=BC2=CD2+CE2，
即：2AC2=CD2+CE2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的知识，
17．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，连接BD、AE，BD与AE相交于点O，AE与CD相交于点M，BD与AC相交于点N．
(1)如图1，若点B、C、E在同一条直线上，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角∠AOB的度数，并说明理由；
(2)如图2，将△ECD绕点C顺时针旋转，点B、C、E不在一条直线上时，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)BD=AE，∠AOB=60°，理由见解析；
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出CA=CB,∠ACB=60°,CD=CE,∠DCE=60°，确定∠BCD=∠ACE=120°，再由全等三角形的判定和性质即可得出结果；
（2）证明方法同（1），证明即可．
【详解】（1）解：BD=AE，∠AOB=60°．
理由如下：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴CA=CB,∠ACB=60°,CD=CE,∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°，
在△BCD和△ACE中，
CB=CA∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD ≌ △ACE(SAS)，
∴BD=AE,∠CBD=∠CAE，
∵∠CNB=∠ONA，
∴∠AON=∠BCN=60°，
即∠AOB=60°；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴CA=CB,∠ACB=60°,CD=CE,∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠AOD=∠DCE+∠AOD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CB=CA∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD ≌ △ACE(SAS)，
∴BD=AE,∠CBD=∠CAE，
∵∠CNB=∠ONA，
∴∠AON=∠BCN=60°，
即∠AOB=60°．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.
(1)观察猜想
如图①，当α=60°时，BDCP的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
【答案】(1)1，60°；
(2)2，45°，理由见解析
【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得△APC≌△ADB(SAS)，如图①中，设直线PC与直线BD交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；
(2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ABAC=ADAP，可证得∠DAB=∠PAC，即可证得△DAB∽△PAC，如图②中，设直线BD交CP于G，AC交BD于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵∠ACB=60°，∠APD=60°，CA=CB，AP=DP，
∴△ACB与△APD都是等边三角形，
∴∠CAB=∠PAD=60°，AC=AB，AP=AD，
∴∠CAP=∠CAB−∠PAB=∠PAD−∠PAB=∠BAD，
在△APC与△ADB中，
AC=AB∠CAP=∠BADAP=AD
∴△APC≌△ADBSAS，
∴BD=CP，∠ACP=∠ABD，
∴BDCP=1；
设CP与BD的延长线交于点I，如图①，
∴∠CIB=180°−∠PCB−∠CBD=180°−(60°−∠ACP)−(60°＋∠ABD)=60°＋∠ACP−∠ABD=60°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为60°；
（2）解：BDCP=2，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°，
理由如下：
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=45°，ABAC=2，
同理可得：∠PAD=45°，ADAP=2，
∴ABAC=ADAP，
∵∠CAB=∠PAD.
∴∠CAB＋∠DAC=∠PAD＋∠DAC，
即∠DAB=∠PAC，
∴△DAB∽△PAC，
∴BDCP=ABAC=2，∠DBA=∠PCA，
设BD交CP于点G，BD交CA于点H，如图②，
∵∠BHA=∠CHG，
∴∠CGH=∠BAH=45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．
考点3：含有30°锐角的直角三角形
例5. （1）（2023·广东·一模）已知A、B是圆O上的点，以O为圆心作弧，交OA、OB于点C、D．分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点G．若OF=3cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为______cm．
【答案】6
【分析】连接CD，根据作图得出OE垂直平分CD，根据等腰三角形的性质得出∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，OF⊥AB，利用直角三角形的性质，求出OA=2OF=2×3=6cm即可．
【详解】解：连接CD，
根据作图可知，OC=OD，OE垂直平分CD，
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB=60°，
即∠AOF=∠BOF=12∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴OF⊥AB，
∴∠AFO=90°，
∴∠OAF=30°，
∴OA=2OF=2×3=6cm．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC=60°，AC=4．则BD的长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】A
【分析】根据三角形内角和可得∠ADC=30°，进而得出∠BAD=15°=∠B，得到AD=BD，Rt△ADC中，由AC=4，∠ADC=30°，可求出AD=2AC=8=BD即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠DAC=60°，
∴∠ADC=90°−60°=30°，
又∵∠B=15°，
∴∠BAD=30°−15°=15°=∠B，
∴AD=BD，
在Rt△ADC中，AC=4，∠ADC=30°，
∴BD=2BC=8=AD，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记这些性质是解题的关键．
例6. （2022秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使PA=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)连接AP，若∠ABC=30°，BC=6，求PC的长度．
【答案】(1)见解析
(2)PC=2
【分析】（1）根据PA=PB可知点P在线段AB的垂直平分线上，由此只需要作出线段AB的垂直平分线，其与线段BC的交点P即为所求；
（2）根据等边对等角结合三角形外角的性质得到∠APC=60°，则∠PAC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得到AP=PB=2PC，由此根据线段之间的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P就是所求的点．
（2）解：∵PA=PB，
∴∠PAB=∠ABC=30°，
∴∠APC=∠PAB+∠ABC=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC=180°−∠ACB−∠APC=30°，
在△ACP中，∵∠ACB=90°，∠PAC=30°，
∴AP=PB=2PC，
∴BC=PB+PC=2PC+PC=6，
∴PC=2．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，推出AP=PB=2PC是解题的关键．
知识点训练
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图AD是△ABC的高，AB=4，∠BAD=60°，tan∠CAD=12，则BC的长为（ ）．
A．3+1B．23+2C．23+1D．3+4
【答案】C
【分析】由含30度角的直角三角形的性质可求出AD=12AB=2，结合勾股定理可求出BD=23．再根据正切的定义得出tan∠CAD=CDAD=12，即可求出CD=1，最后计算BC=BD+CD即可．
【详解】∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=12AB=2，
∴BD=AB2−AD2=23．
∵tan∠CAD=12，即CDAD=12，
∴CD2=12，
解得：CD=1，
∴BC=BD+CD=23+1．
故选C．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
2．（2023·广西河池·校考一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．23D．3
【答案】A
【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
∠ACB=∠DACAO=CO∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°−30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB=3，
∴CD=AB=3，
∵∠DCF=30°，
∴CF=3÷32=2，
∴EF=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．
3．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4．将△ABC绕顶点C旋转得到△A'B'C，若点O是BC中点，点P是A'B'中点，在旋转过程中，线段OP的最大值等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】连接CP，进而得到OP≤OC+CP，当O,C,P三点共线时，线段OP的值最大，进行求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4，
∴AB=2BC=8，
∵将△ABC绕顶点C旋转得到△A'B'C，点O是BC中点，
∴A'B'=AB=8,∠A'CB'=90°，OC=12BC=2，
连接CP，
∵点P是A'B'中点，
∴CP=12A'B'=4，
∵OP≤OC+CP，
∴当O,C,P三点共线时，线段OP的值最大=OC+CP=4+2=6．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度的直角三角形．熟练掌握相关知识点并灵活运算，是解题的关键．
4．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一动点，点O是线段AD上一动点，且OP=OC，下面的结论：
①AO+AP=AB； ②OP+OC的最小值为2AB；
③∠APO+∠PCB=90°； ④S△ABC=S四边形AOCP．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】连接OB，在AC上截取AE=PA，证明△OPC是等边三角形，△APE是等边三角形，进而证明△OPA≌△CPE(SAS)即可判断①，根据当CP⊥AB时，OP+OC的值最小，此时CP≠AB，判断②；根据等边三角的性质以及已知条件得出∠APO+∠PCB=90°，即可判断③；过点C作CH⊥AB于H，则S△ABC=12AB⋅CH，进而得出S△ABC=S四边形AOCP即可判断④．
【详解】解：连接OB，在AC上截取AE=PA，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°−∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°−(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴∠CPO=60°，
∵∠PAE=180°−∠BAC=60°，AE=PA，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
在ΔOPA和ΔCPE中，
PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP，
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；
故①正确；
∵△OPC是等边三角形，
∴OP=OC=PC，
∴OP+OC=2PC，
∴当CP⊥AB时，OP+OC的值最小，此时CP≠AB；
故②错误；
∵△OPC是等边三角形，
∴∠OCP=60°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴ ∠APO+∠PCB=90°，
故③正确；
过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=12AB⋅CH，
S四边形AOCP=SΔACP+SΔAOC=12AP⋅CH+12OA⋅CD=12AP⋅CH+12OA⋅CH=12CH⋅AP+OA=12CH⋅AC，
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B=60°，∠BAO=90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．3B．23C．6D．9
【答案】C
【分析】根据直角三角板的面积可求出直角边，然后构造特殊直角三角形求出点的坐标直接代入函数求解即可．
【详解】过A作AM⊥x轴交于点M
∵将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放
∴AB=AO3=3AO3
∵S△AOB=12OA⋅AB=12OA⋅OA3=4
∴解得OA2=83
∵BO与x轴的夹角为30°
∴∠AOM=60°
∴在Rt△AOM中，OM=12OA,AM=32OA
∴A(12OA,32OA)，则可将A(12OA,32OA)代入y=kx中，
32OA=k12OA，解得k=34OA2=34×83=6
故选：C
【点睛】此题考查反比例函数，解题关键是将面积转化为边长，进而转化为坐标，然后代入函数求解．
6．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=__．
【答案】8
【分析】根据PQ是AB的垂直平分线，得出AE=BE，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠CBA=30°，
∴∠EAB=∠CAE=30°，
∴CE=12AE=4，
∴AE=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握基本作图是解题的关键．
7．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）将等腰直角三角板ACB(∠ACB=90°)绕点B顺时针方向旋转15°得到△A'C'B，若AC=3，则阴影部分的面积为___________．
【答案】332
【分析】设B'C'与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=45°，再根据旋转的性质求出∠CBC'=15°，BC'=BC，然后求出∠C'BD=30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得BD=2C'D，然后利用勾股定理列式求出C'D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC=3，∠ABC=45°，
∵将等腰直角三角板ACB(∠ACB=90°)绕点B顺时针方向旋转15°得到△ A'C'B，
∴∠CBC'=15°，BC'=BC=3，∠C'=∠C=90°，
∴∠ABC'=30°，
设AB，A'C'交于D，
∴BD=2C'D，
∵BC'2+C'D2=B'D2，
∴32+C'D2=(2C'D)2，
∴C'D=3，
∴阴影部分的面积=12BC'⋅C'D=12×3×3=332，
故答案为：332．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．
8．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）等腰三角形中有一个内角为120°，底边上的高为4，则腰长为_______
【答案】8
【分析】根据题意作出图形，进而根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意可知120°只能为三角形的顶角，如图是符合题意的等腰三角形，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵AD⊥BC于D，且AD=4，
∴AB=AC=2AD=2×4=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
9．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥DE，已知AF=4，则AE=_____．
【答案】4+23
【分析】由DE⊥AB，DF⊥DE得DF∥AB，由角平分线的定义和平行线的性质易得DF=AF，∠DFC=∠BAC=30°，作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质可得，DG=DE，在Rt△FDG中，易得DG=12DF=2，根据勾股定理得FG，即可求得AE．
【详解】解：作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，DE=DG，
∵DG⊥AC,DE⊥AB，即∠AED=∠AGD=90°
∴△ADE≌△ADG
∴AE=AG
∵DE⊥AB，DF⊥DE
∴DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，∠DFC=∠BAC=30°，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF=AF，
∵AF=4
∴DF=AF=4
∴在Rt△FDG中，DG=12DF=2 ，
∴在Rt△FDG中，FG=FD2−DG2=42−22=23 ，
∴AE=AF+FG=4+23
故答案为：4+23．
【点睛】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中30°锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键．
10．（2022秋·湖北黄石·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC=6，则DE长为________．
【答案】4
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=12，再利用平行线的性质可得∠ACD=∠EDC，∠BDE=∠A=90°，从而在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=2DE，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得△DEC是等腰三角形，从而可得DE=EC，最后根据BC=12，进行计算即可解答．
【详解】∵∠A=90°，∠B=30°，AC=6，
∴BC=2AC=12，
∵DE∥AC，
∴∠ACD=∠EDC，∠BDE=∠A=90°，
∴BE=2DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠EDC=∠DCE，
∴ED=DC，
∴BE=2EC，
∵BE+EC=12，
∴3EC=12，
∴EC=4，
∴DE=EC=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
(1)判断四边形ABEC的形状，并说明理由；
(2)若∠DBC=30°，BO=6，求四边形ABED的面积．
【答案】(1)四边形ABEC为平行四边形；理由见解析
(2)543
【分析】（1）根据矩形得出AB∥CD，再根据BE∥AC即可得出四边形ABEC为平行四边形；
（2）根据矩形的性质，结合直角三角形的性质，求出CD=6，BC=63，根据平行四边形的性质，求出EC=6，最后根据梯形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：四边形ABEC为平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，BO=DO，AB=CD，∠BCD=90°，
∵BO=6，
∴BD=12，
∵∠DBC=30°，
∴CD=12BD=6，
∴BC=BD2−CD2=63，AB=CD=6，
∵四边形ABEC为平行四边形，
∴EC=AB=6，
∴DE=12，
∴S四边形ABED=126+12×63=543．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定方法．
12．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心作圆，使⊙O经过A，D两点．
(1)尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
(2)求证：BC为⊙O的切线．
(3)若AB=10，∠B=30°，求⊙O的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)20π3
【分析】（1）作AD的垂直平分线EF，交AB于点O，然后以AO为半径作圆，即可得出答案；
（2）连接OD，根据等边对等角，得出∠OAD=∠ODA，再根据角平分线的定义，得出∠CAD=∠OAD，再根据等量代换，得出∠ODA=∠CAD，再根据平行线的判定定理，得出OD∥AC，再根据平行线的性质，得出∠ODB=90°，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（3）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OB=2OD，然后设半径OA=OD=x，则OB=10−x，再根据OB=2OD，列出方程，解出即可得出⊙O半径，再根据圆的周长公式，计算即可．
【详解】（1）解：（1）如图所示，⊙O即为所求；
（2）证明：如图，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
（3）解：由（2）知OD⊥BC，∠B=30°，
∴OB=2OD，
设半径OA=OD=x，则OB=10−x，
∴10−x=2x，
解得：x=103，
∴⊙O半径为103，
∴⊙O的周长为2πr=2π×103=20π3．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线的应用、等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、含30°角的直角三角形、圆的周长，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出图形．
考点4：直角三角形斜边上的中线
例7. （1）（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=5km，BC=12km，则M、C两点间的距离为______km．
【答案】6.5
【分析】先根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，再求出答案即可．
【详解】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵AC=5km，BC=12km
∴AB=AC2+BC2=52+122=13，
∵M为AB的中点，
∴CM=12AB=12×13=6.5km，
∴M，C两点间的距离为6.5km，
故答案为：6.5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用．
（2）（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P．则∠NPC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】A
【分析】如图所示，延长PN交AB的延长线于点G，先根据菱形的性质得到AB=BC，AB∥CD，AD∥BC，则∠BMP=∠DPM，∠G=∠NPC，∠ABC=180°−∠A=80°，再证明∠BMP=90°，BM=BN=CN，进而求出∠BMN=50°，证明△BGN≌△CPN，得到GN=PN，即可证明MN=PN=12PG，得到∠NMP=∠NPM，进而推出∠BMN=∠NPC=50°．
【详解】解：如图所示，延长PN交AB的延长线于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BMP=∠DPM，∠G=∠NPC，∠ABC=180°−∠A=80°，
∵MP⊥CD，即∠DPM=90°，
∴∠BMP=90°，
∵M、N分别是边AB、BC的中点，
∴BM=BN=CN=12AB=12BC，
∴∠BMN=∠BNM=180°−∠MBN2=50°，
在△BGN与△CPN中，
∠GNB=∠PNCBN=CN∠G=∠NPC，
∴△BGN≌△CPNAAS，
∴GN=PN，
∴N为PG中点．
∴MN=PN=12PG，
∴∠NMP=∠NPM，
∴∠BMP−∠NMP=∠MPC−∠MPN ，即∠BMN=∠NPC=50°，
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等边对等角的性质，熟记性质并且作出辅助线求出MN=PN是解题的关键，也是本题的难点．
例8. 如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF=6，BC=24．
(1)证明∠ABE=∠ACF；
(2)判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；
(3)求MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)MN垂直平分EF；见解析
(3)315
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余，即可求证；
（2）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（3）先根据题意求出EM、EN的长度，再用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，
∴∠ABE+∠A=90°，∠ACF+∠A=90°，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）MN垂直平分EF．
证明：如图，连接EM、FM，
∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，
∴EM=FM=12BC，
∵N是EF的中点，
∴MN垂直平分EF；
（3）∵EF=6，BC=24，
∴EM=12BC=12×24=12，EN=12EF=12×6=3，
由勾股定理得，MN=EM2−EN2=122−32=315．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的相关内容，解题的关键是掌握直角三角形两个锐角互余，直角三角形斜边上的中中线等于斜边的一半，以及勾股定理．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在一个等边三角形纸片中取三边中点，以虚线为折痕折叠纸片，若三角形纸片的面积是8cm2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
【答案】B
【分析】根据中点和等边三角形的性质得到AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12S△ABC=4cm2，再求出S△BDF=S△ADF=12S△ABF=2cm2，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出S△ADO=S△FDO=12S△ADF=1cm2，从而可得结果．
【详解】解：如图，∵F分别为BC中点，△ABC是等边三角形，
∴AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12S△ABC=4cm2，
∵D为AB边中点，
∴S△BDF=S△ADF=12S△ABF=2cm2，AD=BD=DF，
∵E为AC中点，
∴D，E关于AF对称，
∴AF垂直平分DE，
∴AO=FO，
∴S△ADO=S△FDO=12S△ADF=1cm2，
∴S阴影=S△BDF+S△FDO=2cm2+1cm2=3cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系．
2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF，点M为BF的中点，则ME的长为（ ）
A．92B．25C．32D．3210
【答案】B
【分析】证明△ABE≌△DEF，得出CF=4，勾股定理得出FB=45，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6,BC=AD=8
又∠BEF=90°，
∴∠ABE=90°−∠BEA=∠FED,
又BE=EF，
∴△ABE≌△DEFAAS，
∴ED=AB=6
∵AD=8，
∴DF=AE=2，
∴CF=4
在Rt△BCF中，FB=45，
∵点M为BF的中点，∠BEF=90°，
∴ME =12BF=25
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出FB=45是解题的关键．
3．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（ ）
A．1B．20C．3D．4
【答案】C
【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线关系，进而利用直角三角形的性质得出OE的长．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=14×24=6，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵E为AB边中点，
∴OE=12AB=12×6=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
4．（2022秋·广西南宁·九年级广西大学附属中学校考期末）如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠BCA=90°，AE=AC，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：根据作图知，AD=BC，AE=AB，DE=AC，
∴△ADE≅△BCA（SSS），
∴∠ADE=∠BCA=90°，AE=AB，
∵ Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∴AE=AB=10，
∵点F为AE的中点，
∴DF=12AE=5，
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD=58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118°B．108°C．120°D．116°
【答案】D
【分析】由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得AE=DE=BE，即∠EAD=∠EDA、∠EAB=∠EBA；再根据三角形外角的性质和角的和差可得∠BED=2∠BAD=116°
【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E为AC的中点；
∴DE=AE=BE=12AC
∴∠EAD=∠EDA，∠EAB=∠EBA；
在△EAD和△EAB中
∠DEC=∠EAD+∠EDA=2∠EAD
∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB
∴∠BED=∠DEC+∠BEC=2∠EAD+2∠EAB=2(∠EAD+∠EAB)=2∠BAD=116°
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM=CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB=10，DM=4，则PQ的长为________．
【答案】34
【分析】首先证明△ADM≌△DCN，由全等三角形的性质可得∠DAM=∠CDN，从而得到确定△APN直角三角形，AN为直角三角形的斜边，，再由直角三角形斜边的中线的性质和勾股定理求出PQ的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°，
∴在△ADM和△DCN中，
AD=DC∠ADC=∠DCBDM=CN，
∴△ADM≌△DCN(SAS)，
∴∠DAM=∠CDN，
∵∠DAM+∠DMA=90°，
∴∠CDN+∠DMA=90°，
∴∠DPM=90°，
又∵∠DPM=∠APN，
∴△APN直角三角形，AN为直角三角形的斜边，
∵点Q为AN中点，
∴由直角三角形的性质可得PQ=12AN，
在Rt△APN中，AN=AB2+BN2=102+(10−4)2=234，
∴PQ=12AN=34．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD为BC边上的中线，若AD=1，则△ABC的面积为________．
【答案】1
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出BC=2AD=2，AD⊥BC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD为BC边上的中线，AD=1
∴BC=2AD=2，AD⊥BC，
∴S△ABC=AD⋅BC2=1×22=1
故答案为：1
【点睛】本题考查了等腰直角三角形斜边上的中线的性质以及直角三角形的面积，难度不大，结合图形熟练运用知识点即可得解．
8．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G为△ABC的重心，过点G作GD∥BC交AB于点D．已知AB=10，sinB=35，那么GD的长为________．
【答案】83
【分析】如图所示，连接CG并延长交AB于O，过点O作OH⊥GD于H，先由重心的定义得到O为AB的中点，则OC=OB=12AB=5，得到∠OCB=∠OBC，再由平行线的性质推出∠OGD=∠ODG，得到OG=OD，则GD=2GH，由重心的性质求出OG=53，解Rt△OGH求出GH=43，则GD=2GH=83．
【详解】解：如图所示，连接CG并延长交AB于O，过点O作OH⊥GD于H，
∵点G为△ABC的重心，∠ACB=90°
∴O为AB的中点，
∴OC=OB=12AB=5，
∴∠OCB=∠OBC，
∵GD∥BC，
∴∠OGD=∠OCB，∠ODG=∠OBC，
∴∠OGD=∠ODG，
∴OG=OD，
∵OH⊥GD，
∴GD=2GH，
由重心的性质可知OG=13OC=53，
在Rt△OGH中，sin∠OGH=sinB=35，
∴OH=OG⋅sin∠OGH=1，
∴GH=OG2−OH2=43，
∴GD=2GH=83，
故答案为：83．
【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，∠MON=90°，动线段AB的端点A、B分别在射线OM、ON上，点C是线段AB的中点．点B由点O开始沿ON方向运动，此时点A向点O运动，当点A到达点O时，运动停止．若AB=10cm，则中点C所经过的路径与OM，ON所围成图形的面积是 _____．
【答案】25π4cm2
【分析】根据直角三角形的性质求出半径OC的长度，再利用扇形的面积公式求出结果即可．
【详解】如图，以点O为圆心，OC长为半径作弧交OM于点E，交ON于点F，
∵∠AOB=90°,AB=10cm，C为AB的中点，
∴OC=12AB=5cm
∴点C在弧EF上从点E运动到点F
∴点C所经过的路径与OM、ON所围成图形是扇形EOF
∴S扇形EOF=90×π×52360=25π4(cm2)
故答案为：25π4cm2．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，扇形的面积计算等相关知识点，理解扇形的运动轨迹得到扇形所在圆的半径是解题的关键．
10．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）在△ABC中，∠ACB是钝角，AD⊥BC交BC的延长线于点D，E，F分别为AC、AB的中点，∠FCE=∠CED．连接DF，EF，设DF与EC交于点O．
(1)求证：OD=OF．
(2)若OF=52，tanB=43时，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)217
【分析】(1)首先根据E，F分别为AC、AB的中点，可证得EF∥BD，再根据∠FCE=∠CED，可证得
DE∥CF，即可证得四边形CDEF是平行四边形的，据此即可证得结论；
(2)首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得AB=2FD=4FO=10，再由
ADBD=tanB=43，可求得AD=8，BD=6，再根据EF=CD=12BC，即可求得CD的长，
最后根据勾股定理即可求得AC的长．
【详解】（1）证明：∵E，F分别为AC、AB的中点，
∴FE∥BD，BC=2FE．
∵∠FCE=∠CED，
∴DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴OD=OF；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
又∵F是AB的中点，
∴AB=2FD=4FO=4×52=10．
∵tanB=ADBD=43，
∴设AD=4x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴4x2+3x2=102，
解得x=2，
∴AD=8，BD=6．
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CD=FE，即BC=2CD，
∴CD=2，
∴AC=CD2+AD2=22+82=217．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的定义，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
11．（2023·广东·一模）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD=BD，将△ACB绕点B顺时针旋转60°得到△MNB，连接CD，DM．求证：△ACB≌△BDM．
【答案】证明见解析
【分析】先证明AC=AD=CD=BD，∠A=60°，再证明BA=BM，∠DBM=∠A，从而可得结论．
【详解】证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AD=BD，
∴AD=BD=CD，AB=2AC，
∴AC=AD=CD=BD，△ACD为等边三角形，
∴∠A=60°，
由旋转可得：BA=BM，∠ABM=60°，
∴∠DBM=∠A，
∴△ACB≌△BDMSAS．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含30°的直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
12．（2023·河南洛阳·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F．
(1)求证：BC平分∠ABF；
(2)求证：BC2=2BF⋅BD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据斜边上的中线性质得到DC=DB，则∠CBD=∠BCD，再证明BF∥CD得到∠CBF=∠BCD，所以∠CBD=∠CBF，从而得到结论；
（2）先证明△ABC∽△CBF，则利用相似三角形的性质得到BC2=BF⋅AB，然后利用AB=2BD得到结论．
【详解】（1）解：证明：
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴DC=DB，
∴∠CBD=∠BCD，
∵CD⊥CE，BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴∠CBD=∠CBF，
∴BC平分∠ABF；
（2）解：∵∠CBD=∠CBF，∠BFC=∠BCA，
∴△ABC∽△CBF
∴BC:BF=AB:BC，
∴BC2=BF⋅AB，
∵AB=2BD，
∴BC2=2BF⋅BD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
考点5：勾股定理及逆定理
例9. （1）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．4，6，8B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
【答案】A
【分析】利用勾股定理的逆定理逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，符合题意，选项正确；
B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
D、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法： ①先确定最长边，②分别计算最长边平方和另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
（2）（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A．10−1B．10C．10+1D．10+2
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3,AD=BC=1，
∴AC=AB2+BC2=32+12=10，
∵AM=AC=10,OA=1，
∴OM=AM−OA=10−1，
∴点M表示点数为10−1．
故选A．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC,AM的长．
（3）（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1=40，则S2－S3的值等于______．
【答案】451
【分析】结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知S2−S3=BC2−AC2=BC+ACBC−AC，BC2+AC2=40，BC⋅AC=14，然后运用完全平方公式a±b2=a2+b2±2ab求解即可．
【详解】解：根据题意，S1=AB2=40，S2=BC2，S3=AC2
∴S2−S3=BC2−AC2=BC+ACBC−AC
在Rt△ABC中，
根据勾股定理，
BC2+AC2=AB2
∴BC2+AC2=40
∵SRt△ABC=7
∴12⋅BC⋅AC=7
∴BC⋅AC=14
∴BC+AC=BC+AC2=BC2+AC2+2⋅BC⋅AC=40+2×14=217
BC−AC=BC−AC2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC=40−2×14=23
∴BC+ACBC−AC=217×23=451
即S2−S3=451
故答案为：451．
【点睛】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．
例10.（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE、AF、EF．
(1)求证△ABE≌△ADF；
(2)若AE=5，请求出EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°，利用SAS定理证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=AF，∠BAE=∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABE与△ADF中
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴△ABE≌△ADF；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=5，∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，
∴在Rt△EAF中，EF=AE2+AF2=52+52=52．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
知识点训练
．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．122cmB．285cmC．20cmD．613cm
【答案】C
【分析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，连接A'B，根据两点之间线段最短，可知A'B即为最短距离，然后根据勾股定理求解．
【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，过点B作BC⊥CD于点C，
∵形容器高为18cm，点A处离杯上沿2cm，点B处离杯底4cm，
∴AD=A'D=2cm，CD=18−4=14cm，
∴A'C=AD+CD=2+14=16cm，
∵底面周长为24cm，
∴BC=12×24=12cm，
根据勾股定理可得：A'B=A'C2+BC2=162+122=20cm，
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开，最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键．
2．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A3,5，点B的坐标为3,−2，则线段AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由题意可知，AB∥y轴，则线段AB的长度为5−(−2)=7．
【详解】解：∵点A3,5，B3,−2，
∴AB∥y轴，
∴AB=5−−2=7，
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，坐标的距离，解题关键是掌握当两个坐标点的横坐标相等时，这两点所在的直线与y轴平行；当两个坐标点的纵坐标相等时，这两点所在直线与x轴平行．
3．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点 B 恰好落在边 AC上，与点B'重合， AE为折痕，则EB'的长为（ ）
A．3cmB．2.5cmC．1.5cm D．1cm
【答案】C
【分析】设未知数利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=32+42=5
∵将△ABC折叠，使点 B 恰好落在边 AC上，与点B'重合，
∴BE=EB',AB=AB'=3,∠EB'C=90°，
∴B'C=5−3=2
设BE=B'E=x，则EC=4−x
∴在Rt△EB'C中，EC2=EB'2+B'C2
即x2+22=(4−x)2，解得x=1.5
∴EB'=1.5
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．
4．（2023·辽宁阜新·校考一模）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．6C．7 2D．52
【答案】B
【分析】连接BD，根据正方形的性质可得∠DBF=90°，根据勾股定理求出BD=32,BF=42，即可求出Rt△BDF的面积，最后根据三角形中线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=AD=3，BE=EF=4，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，BD=32,BF=42，
∴Rt△BDF的面积=12BD⋅BF=12×32×42=12，
∵H为线段DF的中点，
∴图中阴影部分的面积=12×12=6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC，AB上的中线BE，CD相交于点F，若AC=6，BC=4，则BF=（ ）
A．103B．52C．4133D．13
【答案】A
【分析】连接DE，由题意可知DE为Rt△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE=12BC=2，CE=12AC=3，利用勾股定理可得BE=CE2+BC2=5，然后根据平行线分线段成比例定理可得EFBF=DECB，即可获得答案．
【详解】解：连接DE，如下图，
∵BE，CD分别为边AC，AB上的中线，AC=6，BC=4，
即点D、E为AB、AC的中点，
∴DE为Rt△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=12BC=2，CE=12AC=3，
∵∠ACB=90°，
∴BE=CE2+BC2=32+42=5，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴EFBF=DECB=12，即EF=12BF，
∴BE=EF+BF=32BF=5，
∴BF=103．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF=3，则BE的长为（ ）
A．12B．34C．1D．2
【答案】D
【分析】利用SAS证明△AF≅△EAG，得EF=EG，设BE=x，则EF=EG=x+3，CE=6−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理列方程即可解决问题．
【详解】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．
∴∠ADF=∠ABG=90°，AF=AG，∠DAF=∠GAB，
∴∠ABG+∠ABE=180°，
∴点G、B、E共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠BAE=∠GAB+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠GAE，
∵AE=AE，
∴△EAF≅△EAG(SAS)，
∴EF=EG，
设BE=x，
则EF=EG=x+3，CE=6−x，
在Rt△ECF中，由勾股定理得，
32+(6−x)2=(x+3)2，
解得x=2，
∴BE=2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明EF=EG是解题的关键．
7．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠BAC的值为__________．
【答案】13
【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，AC2=22+42=20，AB2=32+32=18，BC2=12+12=2，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，即∠ABC=90°，
∴tan∠BAC=BCAB=232=13，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
8．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图中，在Rt△ABC中，∠C=90°，ACAB=513，
(1)求tanB的值；
(2)若BC=24，求斜边AB的长．
【答案】(1)512
(2)26
【分析】（1）根据题意可设AC=5x,AB=13x，根据勾股定理可得BC=12x，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）由（1）可得12x=24，从而得到x=2，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，ACAB=513，
∴可设AC=5x,AB=13x，
∴BC=AB2−AC2=13x2−5x2=12x，
∴tanB=ACBC=5x12x=512；
（2）解：由（1）得∶ BC=12x，
∵BC=24，
∴12x=24，即x=2，
∴AB=13x=26．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
9．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）定义：三角形一边上的点到三角形的另两条边的距离相等，称此点为这个三角形这边上的雅实心，如：
如图1，当点P在△ABC的AC边上时，若PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，且PD=PE，则称点P为△ABC的AC边上的雅实心，△ABC各边上的三个雅实心为顶点构成新三角形，叫做△ABC的雅实三角形．
(1)如图2，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，求BC边上的雅实心P到AB的距离PD．
(2)如图3，等边△ABC的边长为4cm，求等边△ABC的雅实三角形的面积．
(3)如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴上，且A2,0，∠BAO=60°，求△AOB的斜边上的雅实心P的坐标．
【答案】(1)4.8cm
(2)3cm2
(3)P3−3,3−3
【分析】（1）由雅实心的定义及等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，再利用等面积法即可求得PD的长度；
（2）由题意可知，等边△ABC的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，求面积即可；
（3）点P在斜边AB上，作PE⊥OB于E点，PF⊥OA于F点，由雅心点的性质可知PE=PF，分别利用勾股定理和等面积法进行求解即可．
【详解】（1）由题意可知，PA平分∠BAC，又AB=AC，
∴由等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，
∴在Rt△ABP中，由等面积法可：BP×AP=AB×DP，
又Rt△ABP由勾股定理有：AP=102−62=8，BP=6．
∴PD=6×810=4.8（cm）．
（2）可知三角形中，雅心点实则是角平分线与该角所对的三角形边的交点，
结合等腰三角形的三线合一性质，可知等边△ABC的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，如图，
在等边△ABC中边长为4cm，
∴等边△ABC中边上的高为42−22=23，
∴S△ABC=12×4×23=43，
故等边△ABC的雅实三角形的面积：S=14S△ABC=14×34×42=3．
（3）∵A2,0，
∴OA=2，
∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
即：OB=42+22=23，
点P在斜边AB上，作PE⊥OB于E点，PF⊥OA于F点，
由雅心点的性质可知PE=PF，
由等面积法有：23×PE+2×PF=23×2，
∴PE=3−3,
∴P3−3,3−3．
【点睛】本题以新定义的形式考查了角平分线的性质，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质、等面积法等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）【问题原型】如图①，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．求证：∠DAC=∠EBC
【问题延伸】如图②，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE ．试问∠DAC与∠EBC的大小有怎样的关系？请说明理由．
【问题应用】如图③，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=3．点E在边AB上，且BE=1，连接AD，则线段DE的长为______．
【答案】问题原型：见解析；问题延伸：∠DAC=∠EBC，理由见解析；问题应用：4103
【分析】问题原型：只需要利用SAS证明△DAC≌△EBC即可证明∠DAC=∠EBC；
问题延伸：由Rt△ACB∽Rt△DCE得到ACBC=DCEC，再证明∠ACD=∠BCE．即可证明△DAC∽△EBC，从而证明∠DAC=∠EBC；
问题应用：先利用勾股定理求出AB=5，则AE=4，同理证明△DAC∽△EBC，利用相似三角形的性质求出AD=43，由Rt△ACB∽Rt△DCE，得到∠CDE=∠CAE，推出A、D、C、E四点共圆，则∠DAE=90°，即可利用勾股定理得到DE=AD2+AE2=4103．
【详解】解：问题原型：∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠ACD=∠BCE．
∴△DAC≌△EBCSAS．
∴∠DAC=∠EBC．
问题延伸：∠DAC=∠EBC，理由如下：
∵Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴ACBC=DCEC．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠ACD=∠BCE．
∴△DAC∽△EBC．
∴∠DAC=∠EBC．
问题拓展：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵BE=1，
∴AE=AB−BE=4，
同理可证△DAC∽△EBC，
∴ADBE=ACBC，即AD1=43，
∴AD=43，
∵Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴∠CDE=∠CAE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠DAE=180°−∠DCE=90°，
∴DE=AD2+AE2=4103．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆内接四边形的性质等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
11．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E 处．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：
(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．
【答案】(1)126
(2)答案见解析
【分析】（1）由AD是BC边上的高，AC=13，CD=5，得AD=12，BD=16，即有BC=BD+CD=16+5=21，故S△ABC=12BC⋅AD=126；
（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到ΔADE，得AC=AE，DC=DE，而AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)=AB2−AD2−DC2=(BD−DE)(BD+DE)，即可证明AB2−AC2=BE⋅BC．
【详解】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，CD=5，
∴AD=AC2−CD2=12，
在Rt△ADB中，
∵AB=20，AD=12，
∴BD=AB2−AD2=16，
∴BC=BD+CD=16+5=21，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×21×12=126；
（2）证明：∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，
∴AC=AE，DC=DE，
在RtΔADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2，
在RtΔADB中，由勾股定理，得BD2=AB2−AD2，
∴AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)
=AB2−AD2−DC2
=BD2−DE2
=(BD−DE)(BD+DE)，
∵BE=BD−DE，BC=BD+DC=BD+DE，
∴AB2−AC2=BE⋅BC．
【点睛】本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理的应用．
考点6：等腰三角形的存在性问题
例11.（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1，则BC的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点A4,3，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
【答案】 4 8
【分析】(1)首先可求得∠CDE=30°，根据直角三角形的性质可求得CD=2CE=2，再根据等边三角形的性质，即可求得BC的长；
(2)分别以点O、A为圆心，以OA的长为半径画弧，以及作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，∠CDE=90°−∠C=90°−60°=30°，
∵EC=1，
∴CD=2EC=2，
∵BD平分∠ABC，且AB=BC，
∴AD=CD=2，
∴AB=AC=AD+CD=4，
∴BC=4，
故答案为：4；
(2)如图所示，以O为圆心，以OA长为半径，所作的圆与坐标轴有4个交点；以A为圆心，以OA为半径，所作的圆与坐标轴有2个交点；作OA的垂直平分线，与坐标轴有2个点，
故满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
例12.（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有A，B两个格点，请以AB为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
(1)在图甲中画一个面积为4的直角三角形；
(2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为_______________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；10（画图3填13）
【分析】（1）根据题意画出符合要求的直角三角形即可；
（2）画出符合要求的等腰三角形，根据勾股定理求出腰长即可．
【详解】（1）解：△ABC为所求作的三角形，如图所示：
（画出一种情况即可）
（2）解：△ABD为所求作的三角形，如图所示：（画出一种情况即可）
图1和图2中腰长为32+12=10；
图3中腰长为22+32=13．
故答案为：10（画图3填13）．
【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理和网格特点．
知识点训练
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,−2，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【详解】解：分情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在3×4正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点C，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为___________
．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点C在C1、C2、C3、C4位置上时，AC=BC；
点C在C5、C6位置时，AB=AC；
点C在C7、C8位置上时，AB=BC，
即满足条件的点C的个数为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形．
3．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知点A3,−1和点B0,2，点C在y轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的坐标是________．
【答案】0,−1或0,2−32或0,2+32或0,−4
【分析】利用勾股定理求出AB=32，然后分C1A=C1B=3，BC2=BA=32，BC3=BA=32和AC4=AB四种情况，分别作出图形，利用等腰三角形的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵A3,−1，B0,2，
∴AB=32+−1−22=32，
若△ABC是等腰三角形，
如图，当C1A=C1B=3时，点C1的坐标是0,−1，
当BC2=BA=32时，点C2的坐标是0,2−32，
当BC3=BA=32时，点C3的坐标是0,2+32，
当AC4=AB时，可得BC1=C1C4=3，则点C4的坐标是0,−4，
综上，若△ABC是等腰三角形，则点C的坐标是0,−1或0,2−32或0,2+32或0,−4，
故答案为：0,−1或0,2−32或0,2+32或0,−4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义和性质，正确分类讨论是解题的关键．
4．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．
(2)在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）分别找到A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接对称点即可；
（2）△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，且A'B'∥AB∥l，故A'B'的中点即为所求．
【详解】（1）解：如图，

（2）解：如图，
【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点．
5．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(−3，0)，B(0，4)．请在所给的网格区域（含边界）作图．
(1)画一个等腰△ABC，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标．
(2)画一个△OAD，使△OAD与△AOB重叠部分的面积是△AOB面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标．
【答案】(1)画法不唯一，点C的坐标为(4，1)，图见解析
(2)画法不唯一，点D的坐标为(−3，4)，图见解析
【分析】（1）利用网格根据等腰三角形的定义即可作图；
（2）利用网格根据平生的性质即可作图．
【详解】（1）解：如图，等腰△ABC即为所求；
点C的坐标为：(4，1)；
（2）解：如图，△OAD即为所求．
点D的坐标：(−3，4)．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．
6．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）（1）动手尝试：如图，有甲、乙、丙、丁四张三角形纸片，甲是直角三角形纸片，乙是内角分别为40°，60°，80°的三角形纸片；丙是内角分别为x40°，60°，80°的三角形纸片；丁是的内角分别为35°，40°，105°的三角形纸片，你能把每一张三角形纸片一条剪痕剪成两个等腰三角形吗？请把能剪的用虚线画出剪痕并标出各角的度数．
（2）项目研究：综合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，画出相应的示意图，并标出能说明是等腰三角的相应的角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）甲，利用直角三角形斜边中线即可求解；乙，将60°角分成40°和20°；是内角分别为40°，60°，80°的三角形纸片；丙，不能剪成两个等腰三角形；丁，将105°角分成70°和35°；
（2）根据（1）中两个三角形的分割特点，总结出规律即可．
【详解】解：（1）甲，斜边的中线能将三角形分成两个等腰三角形；
乙，将60°角分成40°和20°，能将三角形分成两个等腰三角形；
丙，不能剪成两个等腰三角形；
丁，将105°角分成70°和35°，能将三角形分成两个等腰三角形；
如图所示：
（2）当三角形是直角三角形时，斜边的中线能将三角形分成两个等腰三角形；
当三角形中一个角是另一个角的2倍时，能分成两个等腰三角形；
当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，能分成两个等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的角的关系，通过实践总结出一般规律是解题的关键．
7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，直线y=12x经过点Am,2，反比例函数y=kxk≠0的图像经过点A和点B8,n．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上找一点C，△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)y=8x
(2)458,0或4,0或4+13,0或4−13,0
【分析】（1）先把点Am,2代入y=12x求出m，再把点A的坐标代入y=kx求出k即可；
（2）先求出点B的坐标，设Cx,0，再根据两点间的距离公式分三种情况建立方程求出x即可．
【详解】（1）解：∵直线y=12x经过点Am,2，
∴12×m=2，
∴m=4，
∴A4,2，
∵反比例函数y=kxk≠0的图像经过点A，
∴k4=2，
∴k=8，
∴反比例函数解析式为y=8x．
（2）∵反比例函数y=8x的图像经过点B8,n，
∴n=88=1，
∴B8,1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=28k+b=1，
解得：k=−14b=3，
∴直线AB的解析式为y=−14x+3，
设点Cx,0，
∴AC=x−42+0−22=x−42+4，BC=x−82+1−02=x−82+1，
AB=8−42+1−22=17，
当点C满足以下三种情况时，△ABC为等腰三角形：
①当AC=BC时，得： x−42+4=x−82+1，
解得：x=458，
∴C458,0；
②当AB=BC时，得： x−82+1=17，
解得：x1=4，x2=12，
当x=12时，y=−14x+3=−14×12+3=0，即点C此时在直线AB上，不符合题意，舍去，
∴C4,0；
③当AB=AC时，得： x−42+4=17，
解得：x1=4+13，x2=4−13，
∴点C的坐标为4+13,0或4−13,0．
综上所述，点C的坐标为458,0或4,0或4+13,0或4−13,0．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数及一次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的定义等知识．求出反比例函数解析式是解题的关键．