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    2024年广西南宁市中考模拟数学试卷(二)

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    2.(B)
    3.(B)
    4.(C)
    5.(A)
    6.(B)
    7.(D)
    8.(A)
    9.(D)
    10.(C)
    11.(A)
    12.(A)
    13.6eq \r(2).
    14.-1.
    15.eq \f(2,5).
    16.8.5m.
    17.5.
    18.2eq \r(5).
    19.解:原式=-1-eq \f(1,4)×(-7)=-1+eq \f(7,4)=eq \f(3,4).
    20.
    解:原式=x2-4x+4-4x2+4x+4x2-1=x2+3.
    当x=-eq \r(2) 时,原式=(-eq \r(2))2+3=5.
    21.
    (1)解:如图所示.
    (2)证明:∵BE是∠ABC的平分线,
    ∴∠ABE=∠CBE,∵AB∥CD,
    ∴∠ABE=∠BEC,∴∠CBE=∠BEC,
    ∴BC=EC,∵AB=BC,∴AB=EC,∴四边形ABCE为平行四边形,
    ∵AB=BC,∴四边形ABCE是菱形.
    22.
    (1)表格中的a=75,b=75,c=6;
    解:(2)服装店应选择A供应商供应服装.理由:由于A,B平均值一样,B的方差比A的大,故A更稳定,所以选A供应商供应服装.
    23.
    (1)证明:连接OE,则∠EOB=2∠EAB,
    ∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠EOB,
    ∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°,
    ∵∠AFE=∠ABC,∴△OFE∽△ABC,∴∠OEF=∠C=90°,
    ∵OE是⊙O的半径,∴EF与⊙O相切.
    (2)解:设⊙O的半径为x,则OF=x+1,
    ∵∠AFE=∠ABC,sin∠AFE=eq \f(4,5),∴sin∠ABC=eq \f(4,5),
    eq \f(OE,OF)=eq \f(4,5),即eq \f(x,x+1)=eq \f(4,5),解得x=4,经检验,x=4是所列方程的解,
    ∴⊙O半径为4,则AB=8,
    ∴AC=AB·sin∠ABC=eq \f(32,5),∴BC=eq \r(AB2-AC2)=eq \f(24,5).
    24.
    解:(1)∵MQ⊥BC,∴∠MQB=90°.
    ∴∠MQB=∠A,又∠QBM=∠ABC.
    ∴△QBM∽△ABC.
    ∴不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC.
    (2)存在,理由:∵MN∥BQ,∴当BQ=MN时,四边形BMNQ为平行四边形,
    ∵MN∥BC,∴eq \f(AM,AB)=eq \f(MN,BC).∵∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5.
    设AM=3a,则MN=5a,BM=3-3a,
    ∴BQ=MN=5a,∵MN∥BQ,∴∠B=∠AMN,又∠MQB=∠A=90°,∴△MBQ∽△NMA,∴eq \f(AM,BQ)=eq \f(MN,BM),即eq \f(3a,5a)=eq \f(5a,3-3a).解得a=eq \f(9,34),∴BQ=eq \f(45,34).
    ∴存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形.
    (3)∵△QBM∽△ABC,∴eq \f(QB,AB)=eq \f(QM,AC)=eq \f(BM,BC).即eq \f(x,3)=eq \f(QM,4)=eq \f(BM,5),
    解得QM=eq \f(4,3)x,BM=eq \f(5,3)x,∴AM=3-eq \f(5,3)x.
    ∵MN∥BC,∴eq \f(MN,BC)=eq \f(AM,AB),即eq \f(MN,5)=eq \f(3-\f(5,3)x,3),解得MN=5-eq \f(25,9)x.
    则S四边形BMNQ=eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5-\f(25,9)x+x))×eq \f(4,3)x=-eq \f(32,27)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(45,32)))eq \s\up12(2)+eq \f(75,32).
    ∵-eq \f(32,27)<0,∴当x=eq \f(45,32)时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为eq \f(75,32).
    25.
    解:(1)由题意,得y=-(x+1)(x-3),
    ∴y=-x2+2x+3.
    (2)设P(1,m),∵PB2=PC2,C(0,3),
    ∴(3-1)2+m2=1+(m-3)2,
    ∴m=1,∴P(1,1).
    (3)假设存在M点满足条件,作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,∵PQ的解析式为y=-x+2,∴Q(0,2),
    ∵C(0,3),S△BCM=S△BCP,∴N(0,4),∴直线MN的解析式为y=-x+4,
    由-x2+2x+3=-x+4,得x=eq \f(3±\r(5),2),∴点M的横坐标为eq \f(3+\r(5),2)或eq \f(3-\r(5),2) .
    26.
    (1)证明:∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠CAG,AB=AC,
    ∴△FAB≌△GAC(AAS),∴FB=CG.
    (2)解:CG=DE+DF.
    证明:连接AD.∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,
    ∴eq \f(1,2)AB·CG=eq \f(1,2)AB·DE+eq \f(1,2)AC·DF,∵AB=AC,∴CG=DE+DF.
    (3)(2)中的猜想仍然成立:CG=DE+DF.
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