2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（一）

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姓名________ 班级________ 分数________
一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进 30 t 粮食记为“＋30”，则“－30”表示（A）
A．运出30 t粮食 B．亏损30 t粮食
C．卖掉30 t粮食 D．吃掉30 t粮食
2．我国建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A）
3．若分式 eq \f(x－1,x＋2) 有意义，则x应满足的条件是（C）
A．x≠1 B．x≥－2 C．x≠－2 D．x＜－2
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（C）
A．56° B．33° C．28° D．23°
5．不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为（B）
6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x(单位：环)及方差s2(单位：环2)如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（D）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2的度数为（A）
A．15° B．25° C．35° D．45°
8．下列计算中正确的是（B）
A．a3＋a4＝a7 B．a4÷a3＝a
C．3a4·2a3＝6a12 D．(a－2)2＝a2－4
9．将抛物线y＝－eq \f(1,2)(x＋1)2－1平移后得到抛物线y＝－eq \f(1,2)x2，下列平移方法中正确的是（C）
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．如图是一扇圆弧形门，这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（B）
A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
11．2021年至2023年某地区居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程中正确的是（A）
A．5.76(1＋x)2＝6.58 B．5.76(1＋x2)＝6.58
C．5.76(1＋2x)＝6.58 D．5.76x2＝6.58
12．如图，点B在反比例函数y＝eq \f(6,x)(x＞0)的图象上，点C在反比例函数y＝－eq \f(2,x)(x＞0)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为C，交y轴于点A，则△ABC的面积为（B）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
13．化简：eq \r(144)＝12.
14．分解因式：5x4－5x2＝5x2(x＋1)(x－1)．
15．一次函数y＝(2a＋3)x＋2的值随x值的增大而减小，则常数a的取值范围是a＜－eq \f(3,2).
16．从－eq \f(1,2)，－1，1，2，5中任取一数作为a，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上的概率为eq \f(3,5).
17．人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为2 m，当α＝50° 时，人字梯顶端离地面的高度AD是1.5m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cs 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，则EF的最小值为2eq \r(2).
三、解答题(本大题共8小题，共72分)
19．(6分)计算：(－3)×(－4)＋42÷(9－13)．
解：原式＝12＋16÷(－4)＝12－4＝8.
20．(6分)解分式方程：eq \f(x,x－1)－1＝eq \f(2x,3x－3).
解：方程两边同乘3(x－1)，去分母，得3x－3(x－1)＝2x，
去括号，得3x－3x＋3＝2x，移项，合并同类项，得2x＝3，
系数化为1，得x＝1.5，检验：当x＝1.5时，x－1≠0，
∴原分式方程的解为x＝1.5.
21．(10分)如图，BD为▱ABCD的对角线．
(1)作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接BE，DF.求证：四边形BEDF为菱形．
(1)解：直线EF即为所求(作图如图所示)．
(2)证明：∵EF垂直平分BD，
∴DO＝BO，BE＝DE，BF＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，
∴△DEO≌△BFO(AAS)，
∴DE＝BF，∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
22．(10分)某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量(kg/棵)进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，
3．1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9
乙品种：如图所示．
根据所给信息，完成下列问题：
(1)填空：a＝3.2，b＝3.5；
(2)若乙品种种植300棵，估计产量不低于3.16 kg的有180棵；
(3)请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
解：(3)∵两个品种的平均数均为3.16，甲品种的方差为0.29，而乙品种为0.15，
∴乙品种更好，产量稳定．
23．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连接AC.
(1)求证：AC平分∠BAE；
(2)若AC＝5，tan∠ACE＝eq \f(3,4)，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OC，则OC⊥DC.
∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠ACO.
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE.
(2)解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵AE⊥DC，由(1)得∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE.
∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝eq \f(3,4).∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(5,BC)＝eq \f(3,4)，∴BC＝eq \f(20,3).
∴AB＝eq \f(25,3)，∴OA＝eq \f(25,6).即⊙O的半径为 eq \f(25,6).
24．(10分)有这样一道作业题：
如图，有一块三角形余料ABC，边长BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．则加工成的正方形零件的边长是48mm.
(1)如果所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两边长又分别为多少？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
解：(1)设PQ＝x mm，则PN＝2x mm.∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，∴eq \f(AE,AD)＝eq \f(PN,BC)，代入x，解得x＝eq \f(240,7)，则2x＝eq \f(480,7).
故这个矩形零件的两边长分别为eq \f(480,7) mm，eq \f(240,7) mm.
(2)设PQ＝y mm，由△APN∽△ABC，得eq \f(PN,BC)＝eq \f(AE,AD)，即eq \f(PN,120)＝eq \f(80－y,80)，
∴PN＝eq \f(3,2)(80－y)，∴S矩形PQMN＝y·eq \f(3,2)(80－y)＝－eq \f(3,2)(y－40)2＋2 400.
∵－eq \f(3,2)＜0，∴当y＝40时，S矩形PQMN取最大值，则PN＝60 mm.
∴达到这个最大值的矩形零件的两条边长分别为60 mm，40 mm.
25．(10分)【综合与实践】【知识背景】杠杆原理在生活中被广泛应用(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂)，小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”(如图①)．
【动手操作】制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度1 cm)，确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2 cm 的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5 kg 的金属物体作为秤砣．
(1)【规律发现】如图①中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为x kg，OB的长为y cm.则y关于x的函数解析式为y＝4x，若0＜y＜48，则x的取值范围为0＜x＜12；

① ② ③
(2)【拓展探究】调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图②.设重物的质量为x kg，OB的长为y cm，则y关于x的函数解析式为y＝eq \f(1,x)，请完成下表，并在如图③所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
解：(2)作函数图象如图③所示．
26．(10分)【探究与证明】
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：∠EMB(答案不唯一)；
(2)【迁移探究】
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照(1) 中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.
Ⅰ)如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝15°，∠CBQ＝15°；
Ⅱ)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】
在(2) 的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝ 1 cm时，直接写出AP的长．
解：(2)Ⅱ)∠MBQ＝∠CBQ，
理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°.
由折叠的性质得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°，
∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°.∴Rt△BCQ≌△Rt△BMQ(HL)，
∴∠MBQ＝∠CBQ.
(3)AP的长为 eq \f(40,11) cm或 eq \f(24,13) cm.
甲
乙
丙
丁
x
9
8
9
9
s2
1.2
0.4
1.8
0.4
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
3.16
a
3.2
0.29
乙品种
3.16
3.3
b
0.15
x/kg
…
0.25
0.5
1
2
4
…
y/cm
…
4
2
1
0.5
0.25
…