广东省茂名市电白区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知函数f（x）＝1﹣3x，则f′（3）＝（ ）
A．﹣9B．3C．﹣3D．9
2．（5分）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线2x﹣y+3＝0平行，则a＝（ ）
A．1B．2C．D．
3．（5分）的展开式的常数项为（ ）
A．210B．252C．D．
4．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0
B．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0
C．0＜f′（1）＜f′（2）＜f′（3）
D．0＞f′（1）＞f′（2）＞f′（3）
5．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知，则n＝（ ）
A．5B．2C．5或2D．2或6
7．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（ ）
A．﹣10B．﹣5C．5D．10
8．（5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余（mdm），如9和21被6除得的余数都是3，则记9≡21（md6）（md10），且，则b的值可以是（ ）
A．2019B．20C．2021D．2022
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（6分）下列结论中正确的有（ ）
A．若y＝x，则y'＝0
B．若，则y'＝lnx
C．若，则
D．若，则
（多选）10．（6分）设（2x﹣1）5＝a0+a1x+…+a5x5，则下列说法正确的是（ ）
A．a0＝1B．a3＝80
C．a1+a2+a3+a4+a5＝1D．a0+a2+a4＝﹣121
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝xcsx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1
B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立
C．若0＜x1＜x2＜π，则
D．若对于，不等式恒成立，则a的最大值为的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
12．（6分）已知（a+b）n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则n＝ ．
13．（6分）函数无极值，则实数a的取值范围是 ．
14．（6分）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数f（x）在闭区间[a，在开区间（a，b）内可导0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）0）（b﹣a），则称x0为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点．若函数f（x），π]上的“中值点”的个数为m，函数g（x）x在区间[0，1]上的“中值点”的个数为n，则m+n＝ ．（参考数据：π≈3.14，e≈2.72）
四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：＝15．（x∈N+）
16．（15分）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响
（1）三人共有多少种不同的课程选择种数？
（2）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（3）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？
17．（15分）已知函数f（x）＝lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当x＞0时，．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+blnx在x＝1处取得极值﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值；
（3）若关于x的方程f（x）＝2m﹣1有三个不同的实根，求m的取值范围．
19．（17分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣4）ex﹣2x．
（1）求f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
2023-2024学年广东省茂名市电白区高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知函数f（x）＝1﹣3x，则f′（3）＝（ ）
A．﹣9B．3C．﹣3D．9
【分析】根据题意，求出函数的导数，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝1﹣3x，
故f′（3）＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2．（5分）设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线2x﹣y+3＝0平行，则a＝（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据导数的几何意义及直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：设y＝f（x）＝eax，
则f′（x）＝aeax，
又曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线2x﹣y+3＝0平行，
∴f′（0）＝6，即a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，属基础题．
3．（5分）的展开式的常数项为（ ）
A．210B．252C．D．
【分析】先求出该二项式的通项公式，令x的指数为0，即可求解．
【解答】解：的展开式的通项公式为：Tr+5＝＝，
令10﹣8r＝0，解得r＝5，
故所求常数项为．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0
B．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0
C．0＜f′（1）＜f′（2）＜f′（3）
D．0＞f′（1）＞f′（2）＞f′（3）
【分析】由已知结合导数的几何意义即可比较导数值的大小．
【解答】解：结合函数的图象可知，随着x的增大，
故0＞f′（1）＞f′（2）＞f′（3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了导数几何意义在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）（ ）
A．B．
C．D．
【分析】观察函数y＝f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．
【解答】解：观察函数y＝f（x）的图象知，
f（x）在（0，+∞）上是减函数，+∞）恒成立，D，
f（x）在（﹣∞，0）从左到右，故y＝f′（x）在（﹣∞，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，
故选：A．
【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于基础题
6．（5分）已知，则n＝（ ）
A．5B．2C．5或2D．2或6
【分析】根据组合数的性质求解．
【解答】解：∵，
∴2n＝n+2或2n+n+2＝17，
解得n＝2或n＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了组合数的性质，属于基础题．
7．（5分）（x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（ ）
A．﹣10B．﹣5C．5D．10
【分析】利用二项式定理的通项公式，即可得出展开式中x2y4的系数．
【解答】解：（x+y）5的通项公式为：
Tr+1＝•x5﹣r•yr，
令5﹣r＝7，得r＝4；
令5﹣r＝6，得r＝3；
∴（x﹣y）（x+y）5的展开式中x7y4的系数为：
×1+（﹣1）×＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式应用问题，是基础题．
8．（5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余（mdm），如9和21被6除得的余数都是3，则记9≡21（md6）（md10），且，则b的值可以是（ ）
A．2019B．20C．2021D．2022
【分析】确定a＝320＝（10﹣1）10，展开计算得到a≡1（md10），对比选项得到答案．
【解答】解：，
，
所以a≡1（md10），
依次验证选项知2021≡1（md10）．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理应用问题，也考查了对新定义问题的理解能力，是基础题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（6分）下列结论中正确的有（ ）
A．若y＝x，则y'＝0
B．若，则y'＝lnx
C．若，则
D．若，则
【分析】根据导数运算性质进行运算然后判断即可．
【解答】解：若y＝x，则y'＝1；若，则y'＝﹣；若＝，则y′＝0；
若，则，可知D对．
故选：D．
【点评】本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）设（2x﹣1）5＝a0+a1x+…+a5x5，则下列说法正确的是（ ）
A．a0＝1B．a3＝80
C．a1+a2+a3+a4+a5＝1D．a0+a2+a4＝﹣121
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，以及赋值法，即可求解．
【解答】解：（2x﹣1）8＝a0+a1x+…+a6x5，
令x＝0，解得a7＝﹣1，故A错误；
（2x﹣5）5的展开式的通项公式为：Tr+1＝，
令5﹣r＝3，解得r＝2，
故＝80x3，
所以a3＝80，故B正确；
令x＝6，
则a0+a1+a7+a3+a4+a7＝1①，解得a1+a6+a3+a4+a4＝2，故C错误；
令x＝﹣1，
则②，
联立①②可得，a0+a2+a4＝﹣121，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查二项式定理，以及赋值法，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝xcsx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在时，取得极小值﹣1
B．对于∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立
C．若0＜x1＜x2＜π，则
D．若对于，不等式恒成立，则a的最大值为的最小值为1
【分析】利用导数研究f（x）在（0，π）上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造，应用导数研究单调性即知C的正误；构造h（x）＝sinx﹣mx，应用导数并结合分类讨论的方法研究上h（x）＞0、h（x）＜0恒成立时m的取值范围，即可判断正误．
【解答】解：f′（x）＝﹣xsinx，
所以（0，π）上f′（x）＜0，π）上f（x）递减，
所以A错误，B正确；
令，则在（7，，即g（x）递减，
所以7＜x1＜x2＜π时，有，C正确；
x＞0，则等价于，
令h（x）＝sinx﹣mx，则，
所以当m≤0时，h′（x）＞8，故h（x）＞h（0）＝0；
当m≥1时，h′（x）＜2，故h（x）＜h（0）＝0；
当0＜m＜2时，存在0）＝csx0﹣m＝7，
所以，此时（0，x0）上h′（x）＞6，则h（x）递增，，则h（x）递减，
所以要使h（x）＝sinx﹣mx＞0在上恒成立，则，得．
综上，时，上h（x）＞0恒成立上h（x）＜0恒成立，
所以若，对于，则a的最大值为，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
12．（6分）已知（a+b）n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则n＝ 11 ．
【分析】根据已知条件，结合二项式系数的性质，即可求解．
【解答】解：（a+b）n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，
则，解得n＝11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．
13．（6分）函数无极值，则实数a的取值范围是 [﹣，] ．
【分析】求导数，x2+2ax+2⩾0在R上恒成立，可得结果．
【解答】解：f（x）的定义域为R，
由，得f′（x）＝x2+2ax+7，
因为无极值，
所以f′（x）⩾0在R上恒成立，即x2+5ax+2⩾0在R上恒成立，
所以Δ＝3a2﹣8⩽5，解得．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
14．（6分）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数f（x）在闭区间[a，在开区间（a，b）内可导0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）0）（b﹣a），则称x0为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点．若函数f（x），π]上的“中值点”的个数为m，函数g（x）x在区间[0，1]上的“中值点”的个数为n，则m+n＝ 2 ．（参考数据：π≈3.14，e≈2.72）
【分析】根据题意，利用“拉格朗日中值定理”分析m、n的值，进而计算可得答案．
【解答】解：对于函数f（x）＝sinx，设x0∈（0，π）为函数y＝f（x）在闭区间[a，
f′（x）＝csx，
则sinπ﹣sin7＝（π﹣0）csx0，则有csx4＝0，解得x0＝，则m＝1．
对于函数g（x）＝ex，设x1∈（5，1）为函数g（x）在区间[0，
则g′（x）＝ex，则有e﹣8＝（1﹣6）1∈（0，6）．
则有m+n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查导数的几何意义，注意理解“中值点”的定义，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：＝15．（x∈N+）
【分析】（1）利用组合数和排列数公式计算即可；
（2）由组合数的性质可得＝15，再结合组合数公式求解．
【解答】解：（1）＝5×7×3﹣4＝56；
（2）∵，
∴＝15，
∴＝15，
解得x＝6或﹣7（舍去），
即x＝6．
【点评】本题主要考查了组合数和排列数的计算，属于基础题．
16．（15分）某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响
（1）三人共有多少种不同的课程选择种数？
（2）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（3）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？
【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解；
（2）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果；
（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》；②三位同学都选择《数学建模》，分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果．
【解答】解：（1）三位同学选择课程共有43＝64种情况；
（2）三位同学选择课程共有64种情况，三位同学选择的课程互不相同共有，
所以三位同学选择的课程互不相同的概率为；
（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》，共有，
②有三位同学选择《数学建模》共有3种情况，
由分类加法计数原理得总共有9+1＝10种不同的选课种数，
所以三人共有不同的选课种数是10种．
【点评】本题主要考查了计数原理的应用，考查了排列组合知识，属于基础题．
17．（15分）已知函数f（x）＝lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当x＞0时，．
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义计算可得；
（2）令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx，所以f（1）＝0，，
所以f′（1）＝2，
则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x﹣y﹣1＝6．
（2）证明：令，x∈（0，
则，
令g′（x）＝0，解得x＝7，
易知当x＞1时，g′（x）＞0，g′（x）＜7，
即g（x）在（0，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（1）＝6，g（x）≥g（1）＝0，
即，即x＞0时，．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程和函数的单调性，属于中档题．
18．（17分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+blnx在x＝1处取得极值﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值；
（3）若关于x的方程f（x）＝2m﹣1有三个不同的实根，求m的取值范围．
【分析】（1）求导数，根据f′（1）＝0，且f（1）＝﹣2，可得结果．
（2）求导数得单调区间，可求得最值．
（3）由（2）求得的极值和f（x）＝2m﹣1有三个不同的根，可求得结果．
【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣ax+blnx，所以，
因为f（x）在x＝1处取得极值﹣2，所以f′（1）＝0，
故2﹣a+b＝8且1﹣a＝﹣2，解得a＝6；
（2）由（1）知f（x）＝x2﹣3x+lnx，所以，
令f′（x）＝0，则或x＝1，当时，
当时，f′（x）＞3是减函数，
在区间是增函数，在区间（0，
当时，f（x）取得最大值为；
（3）由（2）知f（x）在时取得极大值为，
在x＝1时取极小值﹣5，若关于x的方程f（x）＝2m﹣1有三个不同的根，
则，得，
所以m的取值范围是．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于难题．
19．（17分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣4）ex﹣2x．
（1）求f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）对f（x）求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；
（2）由（1）中结论，可得当a≤0时，f（x）最多有一个零点；当a＞0时，结合零点存在性定理判断函数零点个数，结合已知即可求解a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ae2x+（a﹣4）ex﹣3x，
则f′（x）＝2ae2x+（a﹣3）ex﹣2＝（2ex+7）（aex﹣2），
当a≤0时，f′（x）＜2；
当a＞0时，由f′（x）＜0，由f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，ln，在（ln，
综上所述，当a≤0时；
当a＞3时，f（x）在（﹣∞）上单调递减，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，当a≤2时；
当a＞0时，f（x）在，
即，
所以当a≥2时，，故f（x）最多只有一个零点；
当0＜a＜3时，，
因为f（﹣4）＝ae﹣4+（a﹣4）e﹣8+4＝ae﹣2（e﹣3+1）+4（4﹣e﹣2）＞0，
所以f（x）在有一个零点．
，
令g（x）＝x﹣lnx，则，
当x∈（0，6）时，g（x）在（0，
当x∈（1，+∞）时，g（x）在（8．
又g（1）＝1＞0，所以g（x）＞7，
故当x＞0时，有x＞lnx．
因为0＜a＜4时，，所以，故，
可知f（x）在有一个零点．
综上可知，若f（x）有两个零点，2）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求参数范围问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/8 16:58:01；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359