广东省汕尾市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

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本试题共 4 页, 考试时间 120 分钟, 满分 150 分
注意事项:
1. 答题前, 考生先将自己的信息填写清楚、准确, 将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效。
3. 答题时请按要求用笔, 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。
一、单选题: 本题包括 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. DC+AB-AC=
A. DB B. BC C. AD D. CB
2. 已知复数 z=12+32i ,则 z3=
A. 12-32i B. -12+32i C. 1 D. -1
3. 若高为 3 的圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为
A. 5 B. 6 C. 2 D. 4
4. 若 tanα=3 ,则 1+sin2α2cs2α+sin2α=
A. -1 B. 2 C. 32 D. 4
5. 已知 a,b 是两条直线, α,β 是两个平面,下列命题正确的是
A. 若 a//α,b//α ,则 a//b
B. 若 α//β,a⊂α,b⊂β ,则 a,b 是异面直线
C. 若 a⊂α,b⊂α,a//β,b//β ,则 α//β
D. 若 α⊥β,a⊂α,α∩β=b,a⊥b ,则 a⊥β
6. 已知向量 a=2,3,b=1,0 ,则向量 a-b 在向量 b 上的投影向量为
A. 1,0 B. 2,0 C. 0,3 D. 0,3
7. 已知在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,直线 PD 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 22 ,则该四棱锥的外接球的表面积为
A. 16π B. 32π C. 48π D. 64π
8. 在 △ABC 中, AB=AC ,点 O 为 △ABC 的垂心,且满足 AO=xAB+yAC,cs∠BAC=13 , 则 x+y=
A. -12 B. -1 C. 14 D. 12
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 fx=sin2ωx+π3ω>0 的最小正周期为 π ,则
A. ω=1
B. 函数 fx 的图象关于直线 x=-π6 对称
C. 函数 fx 在区间 -π3,π12 上单调递增
D. 将函数 fx 的图象向右平移 π12 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称
10. 下列命题正确的有
A. 若 z1⋅z2∈R ,则 z1,z2 互为共轭复数
B. 在矩形 ABCD 中, AB+AD=AB-AD
C. 已知点 P 在 △ABC 所在的平面内,且 PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA ,则点 P 是 △ABC 的垂心
D. 若 O 是面积为 4 的 △ABC 内部的一点,且 OA+OB+2OC=0 ,则 △AOC 的面积为 1
11. 如图, P 是棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面上一个动点, F 是棱 A1B1 的中点, 则
A. 存在点 P 使得 AP⊥A1C
B. 若点 P 满足 AP⊥BF ,则动点 P 的轨迹长度为 25
C. 若点 P 满足 PF// 平面 A1C1D ,则动点 P 的轨迹是正六边形
D. 当点 P 在侧面 B1BCC1 上运动,且满足 FP=2 时,则二面角 A-CD-P 的最大值为 60∘
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. sin20∘cs110∘+cs160∘sin70∘= .
13. 若复数 z=a+bia>0 的模为 5,虚部为 4,则复数 z= .
14. 已知在 △ABC 中, AC=43,∠B=π3 ,则 AB⋅AC 的最大值为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知向量 a=1,3,b=-1,0 .
(1) 证明: a+b⊥b .
(2) 求 a 与 b 的夹角.
16. (15 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中, BC//AD,PA=PB=AB=BC=12AD,E 是 PD 的中点.
(1) 证明: CE// 平面 PAB .
(2) 若 AD⊥ 平面 PAB,PA=2 ,求三棱锥 E-PAB 的体积.
17. (15 分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 2bcsC=2a+c .
(1) 求 B .
(2) 设 b=9 ,若 M 是边 AC 上一点, 2AM=MC ,且 ∠MAB=∠MBA ,求 a,c 的值.
18. (17 分)
在四棱锥 P-ABCD 中, ∠ABC=∠ACD=90∘,∠ACB=∠ADC=30∘,PA⊥ 平面 ABCD , E,F 分别为 PD,PC 的中点, PA=2AB .
(1) 证明: 平面 PAC⊥ 平面 AEF .
(2) 求二面角 E-AC-B 的大小.
19. (17 分)
设 fx 是定义在区间 D 上的函数,若对任意的 x1,x2∈D ,有 fx1+x22≤fx1+fx22 ,
则称 fx 为区间 D 上的下凸函数; 若对任意的 x1,x2∈D ,有 fx1+x22≥fx1+fx22 ,
则称 fx 为区间 D 上的上凸函数. 反之也成立.
(1) 已知函数 fx=1tanx,x∈0,π2 ,求证:
(i) fx2=sinx1-csx .
(ii) 函数 fx=1tanx,x∈0,π2 为下凸函数.
(参考公式: 2sinαsinβ=csα-β-csα+β )
(2) 已知函数 gx=ax2+x-1x2 ,其中 a>0 ,且函数 gx 在区间 0,1 内为上凸函数, 求实数 a 的取值范围.