2024浙江中考数学二轮专题训练 中考重难题型研究 (含答案)

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母题变式练
母题 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1＋M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是( )
A. y1＝x2＋2x和y2＝－x－1 B. y1＝x2＋2x和y2＝－x＋1
C. y1＝－eq \f(1,x)和y2＝－x－1 D. y1＝－eq \f(1,x)和y2＝－x＋1
【思维教练】要判断函数y1和y2是否具有性质P，则直接令y1＋y2＝0，若此方程有解，则具有，若无解，则不具有．
母题变式
【变式角度】题干由两个未知函数及等量关系变为一个已知函数及等量关系，设问变为判断符合条件的一个函数.
1. 已知y是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值为M，若存在实数m ，使得M＝3m－3，则称点(m，M )是函数y的“奇妙点”．以下函数存在2个“奇妙点”的是( )
A. y＝－eq \f(1,x) B. y＝5x2－x
C. y＝x2－3x＋6 D. y＝x2－3x＋1
【变式角度】题干变为两个已知的函数，设问变为判断两个函数的大小关系．
2. 已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x＋b均是以x为自变量的函数，当x＝m时，对应的函数值分别为M1和M2，若M1≠M2，取M1和M2中较大者为P；若M1＝M2，记P＝M1＝M2.则以下结论正确的是( )
A. 若b＝1，则P＝M1≠M2 B. 若b＞1，则P＝M2≠M1
C. 若b＜1，则P＝M2≠M1 D. 若b＜1，则P＝M1≠M2
题型二 几何图形的折叠
(杭州4考；台州4考)
【思维教练】(1)要求BE的值，则结合矩形及折叠的性质，①利用锐角三角函数及勾股定理求解即可；②利用全等的性质及勾股定理求解即可；(2)要求OC′的值，则结合矩形的性质，利用相似三角形的性质及折叠的性质求解即可．
例 (一题多设问) 如图，是一张矩形纸片ABCD，E为BC上一点，连接AE和DE，将△DCE沿DE折叠，点C恰好落在AE上的C′处．
例题图
(1)若AB＝3.
①BE＝2CE，BE的长为________；
②AD＝4，BE的长为________；
(2)连接BD交AE于点O，若AD＝4，CE＝1，则OC′的长为________．
题型三 与三角形有关的证明及计算
类型一 与全等三角形有关的证明及计算
母题变式练
母题1 (浙教八上P35第2题改编)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，连接DM、DN，求证：DM＝DN.
【思维教练】利用角平分线的性质及线段之间的数量关系，结合全等三角形的判定方法，即可得证．
母题1题图
母题变式
【变式角度】改变点M、N的位置，改为DM⊥AB，DN⊥AC.
1. 在①AD平分∠BAC，②BD＝CD，③AM＝AN，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，若________．求证：△BMD≌△CND.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
第1题图
【变式角度】△ABC由等腰三角形改为一般三角形，改变点M、N的位置，改为DM＝DN，DE⊥AB，DF⊥AC.
2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M、N分别在AB、AC边上，且DM＝DN.过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F.
问题：请补全图形，找出图中的全等三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．
第2题图
【变式角度】改变AD是∠BAC的平分线的条件，改变点M、N的位置，改为BD＝CN，BM＝CD.
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，M，N分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CN，BM＝CD，连接DM、DN.
(1)求证：△BDM≌△CND；
(2)若∠A＝80°，求∠MDN的度数．
第3题图
类型二 与相似三角形有关的证明及计算
(杭州3考)
母题变式练
母题2 (浙教九上P146第5题改编)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB.
(1)求证：△FEC∽△ADF；
(2)若CF＝eq \f(1,3)AC，S△FEC＝1，求S△ADF的值．
【思维教练】(1)利用平行线的性质，找到两角对应相等，即可求证；(2)利用线段数量关系及相似三角形的性质，即可求解．
母题2题图
母题变式
【变式角度】将点D、E、F的位置改为中点，利用中位线得平行．
1. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点．连接DE、EF和DF.
(1)求证：△ABC∽△EFD；
(2)若△DEF的周长为10，求△ABC的周长．
第1题图
【变式角度】改变点D、E、F的位置，条件由平行改为角度相等和线段比例关系．
2. 如图，在△ABC中，点D，E、F分别在边AB、BC、AC上，∠AFD＝∠B，AE与DF交于点G，且eq \f(AD,AC)＝eq \f(DG,CE).
(1)求证：△ADG∽△ACE；
(2)若eq \f(AD,AC)＝eq \f(3,7)，求eq \f(AG,GE)的值．
第2题图
类型三 与特殊三角形有关的证明及计算
母题变式练
母题3 (浙教八上P58第5题改编)如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，∠ABC的平分线交EF于点O，连接CO，已知EF∥BC.
(1)求证：EO＝BE；
(2)若EF＝BE＋CF，∠ACB＝70°，求∠ACO的度数．
【思维教练】(1)利用平行线以及角平分线的性质进行角度转化，从而根据等腰三角形等角对等边即可得证；(2)根据线段数量关系，进行等量代换，从而由等腰三角形等边对等角得出角度关系，再进行等角转化，即可求解．
母题3题图
母题变式
【变式角度】改变点E、F的位置，改为∠ABC的平分线与AC的交点F重合，且∠ACB＝2∠A，CE⊥BF.
1. 如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，∠ABC的平分线交AC于点F，BF与CE交于点M，且∠ACB＝2∠A，CE⊥BF，连接EF.
(1)求证：BC＝BE；
(2)若AB＝14，CF＝5，求BC的长．
第1题图
【变式角度】改变点E、F的位置，改为BF不为角平分线，∠ABC＝45°，且CE⊥AB，AE＝EM，BN⊥FE.
2. 如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，连接BF、CE交于点M，∠ABC＝45°，CE⊥AB于点E，且AE＝EM，过点B作BN⊥FE，交FE的延长线于点N.
(1)求证：AC＋MF＝eq \r(2)BN；
(2)若∠MBC＝30°，EB＝2eq \r(2)，求△MBC的面积．
第2题图
题型四 反比例函数综合题
例 (一题多设问) 如图，在直角坐标系中，设反比例函数y1＝eq \f(k,x)(k≠0)与一次函数y2＝ax＋b的图象在第一象限交于A(m，3)，B两点
(1)若A(1，3)，B(3，1)，请直接写出满足y1≤y2的取值范围；
【思维教练】要使y1≤y2，只要一次函数图象在反比例函数图象上方即可；
例题图①
(2)若k＝3，B(3，1)．
①求A点坐标和一次函数的解析式；
②若Q为y轴上的一点，使QA＋QB最小，求点Q的坐标；
【思维教练】①将A点坐标代入反比例函数解析式中，进而求得m的值，再将A，B代入一次函数解析式中即可；②作点A关于y轴的对称点点A′，连接A′B，与y轴的交点即为Q点，此时QA＋QB最小，根据待定系数法求直线A′B的解析式，进而求得Q点坐标；
例题图②
(3)当－2≤x≤－1时，y1的最小值为a－2，反比例函数y3＝－eq \f(k,x)(k>0)的最大值为a，求k的值．
【思维教练】依据反比例函数y1，y3的增减性列出两个等式，联立求解即可．
例题图③
针对演练
1.已知y关于x的一次函数y＝kx＋k＋6与反比例函数y＝－eq \f(6,x).
(1)若一次函数y＝kx＋k＋6与x轴的交点横坐标为－3.
①求k的值；
②直接写出当x满足什么条件时，－eq \f(6,x)＜kx＋k＋6；
(2)试说明：y＝kx＋k＋6与y＝－eq \f(6,x)的图象至少有一个交点．
参考答案
题型一 二次函数的图象及性质
母题 A 【解析】A.令y1＋y2＝0，则x2＋2x－x－1＝0，整理得x2＋x－1＝0，则b2－4ac＝5>0，∴该方程有两个不相等的实根，∴存在两个不同的m，使得M1＋M2＝0，即函数y1和y2具有性质P，符合题意；B.令y1＋y2＝0，则x2＋2x－x＋1＝0，整理得，x2＋x＋1＝0，b2－4ac＝－3