北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系多媒体教学课件ppt

这是一份北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系多媒体教学课件ppt，共27页。

1.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 (        )A.x1+x2=6　　　    B.x1+x2=-6C.x1x2= 　　　    D.x1x2=7
解析　∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,∴x1+x2=- =6,x1x2= =-7,故选A.
2.(2023西藏中考)已知一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1、x2,则 + 的值为 (　    )A.-3　　　    B.- 　　　    C.1　　　    D. 
3.(2023云南玉溪期中)已知α、β是一元二次方程x2-5x-2=0的 两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为 (　    )A.-1　　　    B.5　　　    C.3　　　    D.-2
解析　根据根与系数的关系得α+β=5,αβ=-2,所以α+β+αβ=5- 2=3.故选C.
4.(2023湖南怀化中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0 的一个根为-1,则m的值为　　　    ,另一个根为　　　    .
5.(新课标例67变式)不解方程,求下列方程的两根之和与两 根之积:(1)x2-3x-5=0.(2)3x2+5x+2=0.(3)x2+ x-3=0.
解析    (1)∵a=1,b=-3,c=-5,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-5)=9+20=29>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2 =- =3,x1x2= =-5.(2)∵a=3,b=5,c=2,∴Δ=b2-4ac=52-4×3×2=25-24=1>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2 =- =- ,x1x2= = .
(3)∵a=1,b= ,c=-3,∴Δ=b2-4ac=( )2-4×1×(-3)=2+12=14>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2 =- =- ,x1x2= =-3.
6.(2023四川南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x- 3m2+m=0.(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根.(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且 + =- ,求m的值.
解析    (1)证明:∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0,∴方程总有实数根.(2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m,∵ + = = -2=- ,∴ -2=- ,整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m= .
7.(2023四川乐山中考,7,★★☆)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为 (　    )A.4　　　    B.8　　　    C.12　　　    D.16
解析　∵一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=8,又∵x1=3x2,∴x1=6,x2=2,∴m=x1x2=6×2=12.故选C.
8.(2024河南洛阳偃师实验中学月考,15,★★☆)解关于x的一 元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两 个根是-3,1,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5, -4,则原来的方程是　　 　    .
解析　设此方程的两个根是α、β,根据题意得α+β=-p=-2,αβ=q=-20,∴p=2,q=-20,则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x-20=0.
9.(易错题)(2022山东日照中考,15,★★☆)关于x的一元二次 方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1,x2,且 + = ,则m=　　　    .
易错警示    本题容易忽略根与系数的关系应用的前提是方 程有解,从而因忽略m的取值范围而出错.
解析　根据题意得x1+x2=-2m,x1x2= ,∵ + = ,∴(x1+x2)2-2x1x2= ,∴4m2-m= ,∴m1=- ,m2= ,当m=- 时,Δ=16m2-8m= >0,满足题意;当m= 时,Δ=16m2-8m=- <0,不符合题意.所以m=- .
10.(2023湖北天门中考,20,★★☆)已知关于x的一元二次方 程x2-(2m+1)x+m2+m=0.(1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.(2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)·(a+2b)=20,求m的 值.
解析    (1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m= 1>0,∴无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.(2)∵该方程的两个实数根为a,b,∴a+b=- =2m+1,ab= =m2+m,∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ ab,∴2(a+b)2+ab=20,∴2(2m+1)2+m2+m=20,整理得m2+m-2=0,
解得m1=-2,m2=1,∴m的值为-2或1.
11.(运算能力)(新独家原创)在□处填写一个整数,使得方程x2+□x+1=0有两个不相等的正实数根,则□可以为　　　    .
解析　设填写的一个整数为b,则由一元二次方程根与系数的关系得,x1x2=-b,x1+x2=1.当x1x2>0,x1+x2>0,Δ>0时,方程有两个不相等的正实数根,此时-b>0,即b<0,Δ=b2-4ac=b2-4×1×1>0,解得b>2或b<-2,∴b<-2,∴b可以为-3(答案不唯一).
12.(推理能力)(新考向·代数推理)阅读理解:材料一:若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等 于另外两个数的倒数的和,就称这三个实数x,y,z构成“和谐 三数组”.材料二:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分 别为x1,x2,则有x1+x2=- ,x1x2= .问题解决:(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数:　　　    .
(2)若x1,x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两根,x3 是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解.求证:x1,x2,x3可以构 成“和谐三数组”.
∴ + = = =- ,∵x3是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解,
∴x3=- ,∴ =- ,∴ + = ,∴x1,x2,x3可以构成“和谐三数组”.
微专题　已知一元二次方程的一根求另一根及字母系数
方法指引　方法1(利用根与系数的关系):(1)若字母系数在一 次项中,可先用两根积的关系求出另一根,再用两根和的关系 求字母系数的值;(2)若字母系数在常数项中,可先用两根和 的关系求出另一根,再用两根积的关系求字母系数的值.方法2(利用根的定义):先把已知根代入一元二次方程中,求 出字母系数的值,再解一元二次方程,求出另一根.
1.(2022湖南益阳中考)若x=-1是关于x的方程x2+x+m=0的一 个根,则此方程的另一个根是     (　    )A.-1　　　    B.0　　　    C.1　　　    D.2
解析　解法一:设x2+x+m=0的另一个根是α,根据根与系数的 关系得-1+α=-1,∴α=0.故选B.解法二:∵x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,∴(-1)2-1+m=0,∴m=0,∴原方程为x2+x=0,∴x(x+1)=0,∴x1=0,x2=-1.故选B.
2.(2022青海中考改编)已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根 为x=1,则实数m与另一根的值分别为 (　    )A.4,3　　　    B.-4,3　　　    C.3,3　　　    D.-3,3
解析　解法一:因为关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1, 所以1+m+3=0,解得m=-4.所以原方程为x2-4x+3=0,所以(x-1)(x -3)=0,所以x1=1,x2=3,即方程的另一根为3.故选B.解法二:设x2+mx+3=0的另一个根是α,根据根与系数的关系得1×α=3,所以α=3,根据根与系数的关系得1+3=-m,所以m=-4,故选B.
3.(2022四川乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两 根,其中一根为x=1,则这两根之积为 (　    )A. 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.-