这是一份北师大版初中九年级数学上册第二章一元二次方程素养综合检测课件，共36页。
第二章 素养综合检测(满分100分, 限时90分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(2024河南郑州一中月考)下列方程中,是关于x的一元二次 方程的是 ( )A. -x-1=0B.ax2+bx+c=0(a、b、c为常数)C.(x+1)(x-2)=x2D.3x2+1=0D解析 A. -x-1=0不是整式方程,不是一元二次方程,不符合题意;B.ax2+bx+c=0,当a=0时,不是一元二次方程,不符合题意; C.(x+1)(x-2)=x2整理得-x-2=0,是一元一次方程,不符合题意;D.3x2+1=0是一元二次方程,符合题意.故选D.2.(新独家原创)若关于x的方程(1+3x)(x-3)=ax2+1化成一般形 式后,其二次项系数,一次项系数,常数项分别为2,-8,-4,则a的 值是 ( )A.-1 B.1 C.-4 D.4B解析 方程整理,得(3-a)x2-8x-4=0,∴3-a=2,解得a=1.3.(2024甘肃酒泉二中期中)根据表格,判断关于x的方程ax2+ bx+c=3的一个解的范围是 ( )CA.1.1
0,∴方程有两个不相等的实数根. 故选B.7.(一题多解)(2021西藏中考)已知一元二次方程x2-10x+24=0 的两个根是菱形的两条对角线的长,则这个菱形的面积为 ( )A.6 B.10 C.12 D.24C解析 解法一:方程x2-10x+24=0因式分解得(x-4)·(x-6)=0,可 得x-4=0或x-6=0,解得x=4或x=6,∴菱形的两条对角线的长分 别为4和6,则这个菱形的面积为 ×4×6=12.故选C.解法二:设a,b是方程x2-10x+24=0的两个根,∴ab=24,则这个 菱形的面积为 ab=12.故选C.8.(2024天津南开期末)为了宣传环保,某学生写了一份倡议 书在网络传播,规则为:将倡议书发表在自己的账号,再邀请n 个好友转发,每个好友转发后,又邀请n个不同的好友转发,以 此类推,经过两轮传播后,共有1 641人参与了本活动,则可列 方程为 ( )A.(n+1)2=1 641 B.n2+n+1=1 641C.n(n+1)=1 641 D.(n-1)2=1 641B解析 第一轮传播后,人数为1+n,第二轮传播新增加人数为n2,由题意,得1+n+n2=1 641.故选B.9.已知等腰△ABC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元 二次方程 kx2-(k+3)x+6=0的两根,则△ABC的周长为 ( )A.6.5 B.7 C.6.5或7 D.8B解析 ∵等腰△ABC的两腰长恰好是关于x的一元二次方程 kx2-(k+3)x+6=0的两根,∴Δ=[-(k+3)]2-4× k×6=0,解得k1=k2=3,∴一元二次方程为 x2-6x+6=0,∴两腰长之和为- =4,∴△ABC的周长为4+3=7.故选B.10.如图,用大小相同的小正方形按一定规律拼成下列图形, 第n个图形中有小正方形2 024个,则n的值为 ( ) …A.43 B.44 C.45 D.46B解析 由题图可知,第1个图形中小正方形的个数为3=22-1; 第2个图形中小正方形的个数为8=32-1;第3个图形中小正方 形的个数为15=42-1;……,依次类推,第n个图形中小正方形的 个数为(n+1)2-1,∴(n+1)2-1=2 024,∴n1=44,n2=-46(不合题意, 舍去).故选B.二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11.(2024河南省实验中学月考)m= 时,关于x的方程 (m+1) +mx+5=0是一元二次方程.112.若关于x的方程(k-1)x2+2kx+k=0有两个不相等的实数根,则 实数k的取值范围是 . k>0且k≠1解析 根据题意得k-1≠0且Δ=(2k)2-4(k-1)·k>0,解得k>0且k≠ 1.13.(2022河南襄城期中)若关于x的一元二次方程(m-2)x2-6x+ m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值为 .1解析 ∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-6x+m2-3m+2=0的常 数项为0,∴m-2≠0且m2-3m+2=0,解得m=1.14.一元二次方程x2-4x-12=0的两个根分别是直线y=kx+b与x 轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标,则这条直线与两坐 标轴所围成的三角形的面积是 .6解析 解方程x2-4x-12=0,得x=6或x=-2,∵一元二次方程x2-4x-12=0的两个根分别是直线y=kx+b与x 轴交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标,∴这条直线与两坐 标轴所围成的三角形的面积是 ×6×|-2|=6.15.(易错题)(2022四川内江中考)已知x1、x2是关于x的方程x2- 2x+k-1=0的两个实数根,且 + = +2x2-1,则k的值为 .2∴ =2x1-k+1.∵ + = +2x2-1,∴ =2(x1+x2)-k,∴ =4-k,解得k=2或k=5,当k=2时,关于x的方程为x2-2x+1=0,Δ=0,符合题意;当k=5时,关 于x的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程无实数解,不符合题意.∴k=2,故答案为2.16.(情境题·数学文化)(2022湖北孝感月考)中国古代数学家 杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:“直田积八 百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是:一 块矩形田地的面积为864平方步,它的长与宽共60步,问长比 宽多多少步?经计算,长比宽多 步.12解析 设长为x步,则宽为(60-x)步,依题意,得x·(60-x)=864,解得x1=36,x2=24,∵x>60-x,∴x>30,∴x=36,∴x-(60-x)=36-(60-36)=12.故答案为12.三、解答题(共46分)17.(8分)解方程:(1)(2023黑龙江齐齐哈尔中考)x2-3x+2=0.(2)(2024贵州贵阳期末)2y2-9y+5=0.解析 (1)∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.(2)a=2,b=-9,c=5,∴Δ=b2-4ac=(-9)2-4×2×5=41,则y= ,∴y1= ,y2= .18.(2022河南罗山月考)(7分)阅读下列【问题】与【提示】 后,将解方程的过程补充完整,并求出x的值.【问题】解方程:x2+2x+4 -5=0.【提示】可以用“换元法”解方程.解:设 =t(t≥0),则有x2+2x=t2.所以原方程可化为t2+4t-5=0.【续解】解析 【续解】移项得t2+4t=5,配方得t2+4t+4=5+4,即(t+2)2=9,∴t+2=±3,∴t1=-5(舍去),t2=1,当t=1时, =1,∴x2+2x=1,配方得x2+2x+1=1+1,即(x+1)2=2,∴x+1=± ,∴x=-1± ,∴x1=-1+ ,x2=-1- .经检验,x1=-1+ ,x2=-1- 是原方程的根.19.(2023湖北襄阳中考)(7分)关于x的一元二次方程x2+2x+3-k =0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)若方程的两个根为α,β,且k2=αβ+3k,求k的值.解析 (1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=22-4×1 ×(3-k)=-8+4k>0,解得k>2.(2)∵方程的两个根为α,β,∴αβ= =3-k,∴k2=3-k+3k,解得k1=3,k2=-1.由(1)知k>2,∴k=3,即k的值为3.20.(7分)如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,BC=3 cm,点E从点B 处开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动,同时点F从点C处 开始沿CD边以1 cm/s的速度向点D移动,当E,F两点中有一点 到达终点时,另一点也停止运动.当△AEF是以AF为底边的等 腰三角形时,求点E运动的时间. 解析 设点E运动的时间是x s,则BE=2x cm,CF=x cm,CE=(3-2x)cm.∵△AEF是以AF为底边的等腰三角形,∴AE=EF,∴22+(2x)2=(3-2x)2+x2,解得x1=6- ,x2=6+ ,∵3÷2=1.5(s),2÷1=2(s),∴两点运动了1.5 s后停止运动.∴x=6- .答:点E运动的时间是(6- )s.21.(情境题·科学研究)(2023四川成都天府新区期末)(8分)2022年11月29日,神舟十五号发射升空,中国首次实现空间站 “三舱三船”构型.某网店为满足航空航天爱好者的需求,特 推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销售,该网店准备适当降价,经过一段时间测算,每个模型每降低1元,平均每天可以多售出2个模型.(1)若每个模型降价4元,则平均每天可以售出多少个模型?此 时每天获利多少元?(2)在每个模型盈利不少于25元的前提下,要使“中国空间 站”模型每天获利1 200元,每个模型应降价多少元?解析 (1)20+2×4=20+8=28(个),(40-4)×28=36×28=1 008(元), ∴若每个模型降价4元,则平均每天可以售出28个模型,此时 每天获利1 008元.(2)设每个模型降价x元,则每个模型可盈利(40-x)元,平均每天 可售出(20+2x)个,由题意,得(40-x)·(20+2x)=1 200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.又∵每个模型盈利不少于25元,∴x=10.∴每个模型应降价10元.22.(2021重庆中考B卷)(9分)重庆小面是重庆美食的名片之 一,深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特 色重庆小面,顾客可到店食用(简称“堂食”小面),也可购买 搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面).已知3份“堂食” 小面和2份“生食”小面的总售价为31元,4份“堂食”小面 和1份“生食”小面的总售价为33元.(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元.(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4 500份,“生食”小面2 500份.为回馈广大食客,该面馆从5月1日起每份“堂食” 小面的价格保持不变,每份“生食”小面的价格降低 a%.统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同, “生食”小面的销量在4月的基础上增加 a%,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 a%.求a的值.解析 (1)设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别 为x元,y元.根据题意,得 解得 答:每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是7元和5元.(2)“堂食”小面和“生食”小面4月的销售额为4 500×7+2 500×5=44 000(元).根据题意,得5× ×2 500× -5×2 500=44 000× a%. 设a%=m,原方程可化为5× ×2 500× -5×2 500=44 000× m.解得m1=0.08,m2=0(舍去).所以a=8.答:a的值为8.
