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天津市第二十一 中学2023—2024学年八年级下学期期末考试数学试卷
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这是一份天津市第二十一 中学2023—2024学年八年级下学期期末考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝，c＝3B．∠A+∠B＝∠C
C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
4．菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD周长为（ ）
A．24B．32C．D．16
5．为参加“玉溪市2014年初中学业水平体育考试”，小明同学进行了刻苦训练，在立定跳远时，测得5次跳远的成绩（单位：m）为：2.3，2.5，2.4，2.3，2.1．这组数据的众数、中位数依次是（ ）
A．2.4，2.4B．2.4，2.3C．2.3，2.4D．2.3，2.3
6．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
9．如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．22.5°
10．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）
A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边上AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图（1）所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
12．如图，直线y＝x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，OC＝OB，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知样本数据1，2，4，3，5，有以下说法：①平均数是3，②中位数是4，③方差是2，正确的说法有 （填序号）．
14．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段AB的中点，则OC的长是 ．
16．已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2也经过A点，位置如图所示，且与直线l1所夹锐角为45°，则直线l2的函数表达式为 ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，E（8，0），F（0，6）．
①当G（4，8）时，则∠FGE＝ ；
②在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE＝90°，且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则P点坐标为 ，分割线为 ．
（要求：写出点P坐标，画出过P点的分割线并将分割线的名称填在横线上，不必说明理由，不写画法）
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）÷﹣×+．
19．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（3，0），B（0，4）．
（I）求点C的坐标；
（Ⅱ）求经过点C，D两点的一次函数的解析式．
21．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA＝8，OC＝6，过点D（0，6）做y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
（1）求OB的长；
（2）求BE的长．
22．某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表：
（1）第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？
（2）第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进玩具Am个（m＞0），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润．
23．在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，连接AN，CM．
（1）如图①，求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）如图②，连接MN，DN，若∠AND＝90°，求证：MN＝NC；
（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，EP＝1，且∠1＝∠2，求AN的长．
24．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
2023-2024学年天津二十一中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．，错误，不符合题意；
B．，错误，不符合题意；
C．正确，符合题意；
D．，错误，不符合题意，
故选：C．
3．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝，c＝3B．∠A+∠B＝∠C
C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
【解答】解：A．由a＝2，b＝，c＝3可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
B．由∠A+∠B＝∠C可得∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
C．由（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
D．由∠A：∠B：∠C＝2：3：4可得∠A＜∠B＜∠C＜90°，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4．菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD周长为（ ）
A．24B．32C．D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BD＝8，
∴菱形的周长＝8×4＝32，
故选：B．
5．为参加“玉溪市2014年初中学业水平体育考试”，小明同学进行了刻苦训练，在立定跳远时，测得5次跳远的成绩（单位：m）为：2.3，2.5，2.4，2.3，2.1．这组数据的众数、中位数依次是（ ）
A．2.4，2.4B．2.4，2.3C．2.3，2.4D．2.3，2.3
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2.1，2.3，2.3，2.4，2.5，
则众数为：2.3，
中位数为：2.3．
故选：D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
D．、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：C．
7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：由表可知乙、丙的平均环数大于甲、丁的平均环数，
∴乙、丙的成绩较好，
又∵乙的方差小于丙的方差，
∴乙的成绩较好且状态稳定，
∴应选运动员乙，
故选：B．
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，y＝4≠3，∴它的图象不经过点（﹣1，3），故A错误；
B、∵k＝﹣3＜0，b＝1＞0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x＝时，y＝0，∴当x＞时，y＜0，故C正确；
D、∵k＝﹣3＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．22.5°
【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACE+∠AEC+∠CAE＝180°，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：D．
10．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）
A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3
【解答】解：将点A（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，
解得，m＝，
∴点A的坐标为（，3），
∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．
故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边上AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图（1）所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【解答】解：根据题意可得，BC＝4，AC＝7﹣4＝3，当x＝4时，点P与点C重合，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴S△BDP＝S△ABC，
∴y＝××3×4＝3，
即a的值为3，
故选：A．
12．如图，直线y＝x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，OC＝OB，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF．EG，
∵直线y＝x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（0，6），B（﹣6，0），
∵OC＝OB，
∴C（﹣2.0），
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝45°，
∵∠FBC＝90°，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∴F（﹣6，4），
∵C、G关于OA对称，
∴G（2，0），
由对称的性质，DF＝DC，EC＝EG，
∴C△CDE＝CD+CE+DE＝DF+EG+DE＝FG，此时周长最小，
在Rt△BFG中，FG＝＝＝4．
故选：A．
二、填空题
13．已知样本数据1，2，4，3，5，有以下说法：①平均数是3，②中位数是4，③方差是2，正确的说法有 ①③ （填序号）．
【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数为＝3，中位数是3，方差为×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
所以正确的说法有①③，
故答案为：①③．
14．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段AB的中点，则OC的长是 2 ．
【解答】解：令x＝0则OA＝y＝4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，
解得x＝4，
所以，OB＝4，
由勾股定理，AB＝＝＝4，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC＝AB＝×4＝2．
故答案为：2．
16．已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2也经过A点，位置如图所示，且与直线l1所夹锐角为45°，则直线l2的函数表达式为 y＝﹣5x﹣10 ．
【解答】解：如图，过点B作CB⊥AB，交l2于C，过作CD⊥y轴于点D．
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵∠OAB+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠OAB＝∠CBD，
∵∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴BD＝OA，CD＝OB．
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3）．
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝3．
∴OD＝3+2＝5，
∴C（﹣3，5）；
设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0）
∵A（﹣2，0），C（﹣3，5），
∴，
∴．
∴l2的解析式为y＝﹣5x﹣10．
故答案为：y＝﹣5x﹣10．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，E（8，0），F（0，6）．
①当G（4，8）时，则∠FGE＝ 90° ；
②在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE＝90°，且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则P点坐标为 7，7 ，分割线为 PM ．
（要求：写出点P坐标，画出过P点的分割线并将分割线的名称填在横线上，不必说明理由，不写画法）
【解答】解：①如图1，连接EF，
由勾股定理得：FG2＝22+42＝20，
GE2＝42+82＝80，
EF2＝62+82＝100，
∴FG2+GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°，
故答案为：90°；
②解法一：如图2，连接EF，取EF的中点Q，以Q为圆心，以OQ为半径画圆，
∵∠FPE＝90°，
∴P在上，
∵四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，即要满足PE＝PF，
∴如图2，满足条件的点只有一个是点P，
过P作PM⊥x轴于M，当P（7，7），PM为分割线；
根据格点的长度易得：△APF≌△MEP≌△BFP，
∴∠APF＝∠MEP，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，
∴∠APF+∠MPE＝90°，
即∠FPE＝90°，
四边形OEPF将△EPM剪下放在△BFP上，构建正方形BOMP；
解法二：如图3，根据勾股定理得：PE＝PF＝＝5，EF＝＝10，
∴PE2+PF2＝EF2，
∴∠FPE＝90°，
同理得△FBP≌△EMP，
∴P （7，7），PM是分割线；
故答案为：（7，7），PM．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）÷﹣×+．
【解答】解：（1）
＝2+2+1﹣2
＝3；
（2）÷﹣×+
＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+．
19．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图①中m的值为 28 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？
【解答】解：（I）图①中m的值为100﹣（32+8+10+22）＝28，
故答案为：28；
（Ⅱ）这组数据的平均数为＝1.52（kg），
众数为1.8kg，中位数为＝1.5（kg）；
（Ⅲ）估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有2500×＝200只．
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（3，0），B（0，4）．
（I）求点C的坐标；
（Ⅱ）求经过点C，D两点的一次函数的解析式．
【解答】解（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB＝＝5，
∴BC＝5，
∴OC＝1，
∴点C的坐标为（0，﹣1）；
（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝5，AD∥CB，
∴点D的坐标为（3，﹣5），
设经过点C，D两点的一次函数的解析式为y＝kx+b，
把（0，﹣1），（3，﹣5）代入得：，
解得：，
∴经过点C，D两点的一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
21．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA＝8，OC＝6，过点D（0，6）做y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
（1）求OB的长；
（2）求BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝6，∠A＝90°，
∴OB＝＝＝10；
（2）∵BD⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∴点B的坐标为（8，6）；
∴OD＝6，AB＝6，
∴OD＝AB，
在Rt△OBD和Rt△BOA中，，
∴Rt△OBD≌Rt△BOA（HL），
∴∠OBD＝∠BOA，
∴OE＝BE，
设OE＝BE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即BE＝．
22．某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表：
（1）第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？
（2）第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进玩具Am个（m＞0），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润．
【解答】解：（1）设购进A款玩具x个，则购进B款玩具（100﹣x）个．
根据题意，得90x+75（100﹣x）＝8400，
解得x＝60，
100﹣60＝40（个），
∴购进A款玩具60个、B款玩具40个．
（2）小雷购进玩具B（150﹣m）个．
根据题意，得m≤2（150﹣m），
解得m≤100．
W＝（120﹣90）m+（100﹣75）（150﹣m）＝5m+3750，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤100，
∴当m＝100时，W值最大，W最大＝5×100+3750＝4250，150﹣100＝50（个），
∴购进玩具A100个、B50个才能获得最大利润，最大利润是4250元．
23．在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，连接AN，CM．
（1）如图①，求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）如图②，连接MN，DN，若∠AND＝90°，求证：MN＝NC；
（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，EP＝1，且∠1＝∠2，求AN的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵M，N分别是AD、BC的中点，
∴AM＝CN，AM∥CN，
所以四边形ANCM是平行四边形；
（2）证明：∵∠AND＝90°，AM＝DM，
∴MN＝AD＝MD，
∵MD＝AD＝BC＝CN，
∴MN＝NC；
（3）解：∵MD＝AD＝BC＝CN，MD∥CN
∴四边形MNCD是平行四边形，
由（2）知MN＝NC
∴▱MNCD是菱形，
∴∠NMC＝∠DMC，DN⊥MC，∠DNM＝∠DNC，
∵∠1+∠DMC＝∠1+∠NMC＝∠2+∠ENC＝90°，
∴∠NMC＝∠MNC，
∴MN＝CN＝MC，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MND＝∠2＝∠1＝30°，
在RT△NEP中，∵EP＝1，
∴NE＝，
所以MN＝MC＝2，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AN＝MC＝2．
24．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【解答】（1）解：对于
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）
由y＝0得：，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线BC的函数解析式为，
（2）解：设M（m，0），
则P（m，）、Q（m，）
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
∴PQ＝，
BD＝|m|，
∴，
解得，
∴M（，0）或M（，0）；
（3）解：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
∴BM2+BC2＝MC2
设M（x，0），则P（x，）
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝
∴P（，），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，），
解法二：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
设直线BM的解析式为y＝k1x+b1，
则有，
∴k1＝2
∴直线BM的解析式为y＝2x+b1，
将点B（0，3）代入得，b1＝3，
∴直线BM的解析式为y＝2x+3，
由y＝0得x＝，
将x＝代入得，
∴P（，），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，）．
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乙
丙
丁
8
9
9
8
s2
1
1.1
1.2
1.3
品名
A
B
进价（元/个）
90
75
售价（元/个）
120
100
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
s2
1
1.1
1.2
1.3
品名
A
B
进价（元/个）
90
75
售价（元/个）
120
100
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝，c＝3B．∠A+∠B＝∠C
C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
4．菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD周长为（ ）
A．24B．32C．D．16
5．为参加“玉溪市2014年初中学业水平体育考试”，小明同学进行了刻苦训练，在立定跳远时，测得5次跳远的成绩（单位：m）为：2.3，2.5，2.4，2.3，2.1．这组数据的众数、中位数依次是（ ）
A．2.4，2.4B．2.4，2.3C．2.3，2.4D．2.3，2.3
6．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
9．如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．22.5°
10．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）
A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边上AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图（1）所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
12．如图，直线y＝x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，OC＝OB，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知样本数据1，2，4，3，5，有以下说法：①平均数是3，②中位数是4，③方差是2，正确的说法有 （填序号）．
14．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段AB的中点，则OC的长是 ．
16．已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2也经过A点，位置如图所示，且与直线l1所夹锐角为45°，则直线l2的函数表达式为 ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，E（8，0），F（0，6）．
①当G（4，8）时，则∠FGE＝ ；
②在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE＝90°，且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则P点坐标为 ，分割线为 ．
（要求：写出点P坐标，画出过P点的分割线并将分割线的名称填在横线上，不必说明理由，不写画法）
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）÷﹣×+．
19．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（3，0），B（0，4）．
（I）求点C的坐标；
（Ⅱ）求经过点C，D两点的一次函数的解析式．
21．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA＝8，OC＝6，过点D（0，6）做y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
（1）求OB的长；
（2）求BE的长．
22．某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表：
（1）第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？
（2）第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进玩具Am个（m＞0），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润．
23．在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，连接AN，CM．
（1）如图①，求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）如图②，连接MN，DN，若∠AND＝90°，求证：MN＝NC；
（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，EP＝1，且∠1＝∠2，求AN的长．
24．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
2023-2024学年天津二十一中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．，错误，不符合题意；
B．，错误，不符合题意；
C．正确，符合题意；
D．，错误，不符合题意，
故选：C．
3．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝，c＝3B．∠A+∠B＝∠C
C．（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
【解答】解：A．由a＝2，b＝，c＝3可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
B．由∠A+∠B＝∠C可得∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
C．由（a+b）2+（a﹣b）2＝2c2可得a2+b2＝c2，能判定△ABC是直角三角形，不合题意；
D．由∠A：∠B：∠C＝2：3：4可得∠A＜∠B＜∠C＜90°，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4．菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD周长为（ ）
A．24B．32C．D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BD＝8，
∴菱形的周长＝8×4＝32，
故选：B．
5．为参加“玉溪市2014年初中学业水平体育考试”，小明同学进行了刻苦训练，在立定跳远时，测得5次跳远的成绩（单位：m）为：2.3，2.5，2.4，2.3，2.1．这组数据的众数、中位数依次是（ ）
A．2.4，2.4B．2.4，2.3C．2.3，2.4D．2.3，2.3
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2.1，2.3，2.3，2.4，2.5，
则众数为：2.3，
中位数为：2.3．
故选：D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
D．、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：C．
7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：由表可知乙、丙的平均环数大于甲、丁的平均环数，
∴乙、丙的成绩较好，
又∵乙的方差小于丙的方差，
∴乙的成绩较好且状态稳定，
∴应选运动员乙，
故选：B．
8．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
【解答】解：A、∵当x＝﹣1时，y＝4≠3，∴它的图象不经过点（﹣1，3），故A错误；
B、∵k＝﹣3＜0，b＝1＞0，∴它的图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C、∵当x＝时，y＝0，∴当x＞时，y＜0，故C正确；
D、∵k＝﹣3＜0，∴y的值随x值的增大而减小，故D错误．
故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．22.5°
【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACE+∠AEC+∠CAE＝180°，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：D．
10．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）
A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3
【解答】解：将点A（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，
解得，m＝，
∴点A的坐标为（，3），
∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．
故选：A．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边上AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图（1）所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
【解答】解：根据题意可得，BC＝4，AC＝7﹣4＝3，当x＝4时，点P与点C重合，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴S△BDP＝S△ABC，
∴y＝××3×4＝3，
即a的值为3，
故选：A．
12．如图，直线y＝x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，OC＝OB，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF．EG，
∵直线y＝x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（0，6），B（﹣6，0），
∵OC＝OB，
∴C（﹣2.0），
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝45°，
∵∠FBC＝90°，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∴F（﹣6，4），
∵C、G关于OA对称，
∴G（2，0），
由对称的性质，DF＝DC，EC＝EG，
∴C△CDE＝CD+CE+DE＝DF+EG+DE＝FG，此时周长最小，
在Rt△BFG中，FG＝＝＝4．
故选：A．
二、填空题
13．已知样本数据1，2，4，3，5，有以下说法：①平均数是3，②中位数是4，③方差是2，正确的说法有 ①③ （填序号）．
【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数为＝3，中位数是3，方差为×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2，
所以正确的说法有①③，
故答案为：①③．
14．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段AB的中点，则OC的长是 2 ．
【解答】解：令x＝0则OA＝y＝4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，
解得x＝4，
所以，OB＝4，
由勾股定理，AB＝＝＝4，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC＝AB＝×4＝2．
故答案为：2．
16．已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2也经过A点，位置如图所示，且与直线l1所夹锐角为45°，则直线l2的函数表达式为 y＝﹣5x﹣10 ．
【解答】解：如图，过点B作CB⊥AB，交l2于C，过作CD⊥y轴于点D．
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵∠OAB+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠OAB＝∠CBD，
∵∠AOB＝∠BDC＝90°，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∴BD＝OA，CD＝OB．
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3）．
∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝3．
∴OD＝3+2＝5，
∴C（﹣3，5）；
设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0）
∵A（﹣2，0），C（﹣3，5），
∴，
∴．
∴l2的解析式为y＝﹣5x﹣10．
故答案为：y＝﹣5x﹣10．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，E（8，0），F（0，6）．
①当G（4，8）时，则∠FGE＝ 90° ；
②在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE＝90°，且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则P点坐标为 7，7 ，分割线为 PM ．
（要求：写出点P坐标，画出过P点的分割线并将分割线的名称填在横线上，不必说明理由，不写画法）
【解答】解：①如图1，连接EF，
由勾股定理得：FG2＝22+42＝20，
GE2＝42+82＝80，
EF2＝62+82＝100，
∴FG2+GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°，
故答案为：90°；
②解法一：如图2，连接EF，取EF的中点Q，以Q为圆心，以OQ为半径画圆，
∵∠FPE＝90°，
∴P在上，
∵四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，即要满足PE＝PF，
∴如图2，满足条件的点只有一个是点P，
过P作PM⊥x轴于M，当P（7，7），PM为分割线；
根据格点的长度易得：△APF≌△MEP≌△BFP，
∴∠APF＝∠MEP，
∵∠MEP+∠MPE＝90°，
∴∠APF+∠MPE＝90°，
即∠FPE＝90°，
四边形OEPF将△EPM剪下放在△BFP上，构建正方形BOMP；
解法二：如图3，根据勾股定理得：PE＝PF＝＝5，EF＝＝10，
∴PE2+PF2＝EF2，
∴∠FPE＝90°，
同理得△FBP≌△EMP，
∴P （7，7），PM是分割线；
故答案为：（7，7），PM．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）÷﹣×+．
【解答】解：（1）
＝2+2+1﹣2
＝3；
（2）÷﹣×+
＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+．
19．某养鸡场有2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图①中m的值为 28 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？
【解答】解：（I）图①中m的值为100﹣（32+8+10+22）＝28，
故答案为：28；
（Ⅱ）这组数据的平均数为＝1.52（kg），
众数为1.8kg，中位数为＝1.5（kg）；
（Ⅲ）估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有2500×＝200只．
20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（3，0），B（0，4）．
（I）求点C的坐标；
（Ⅱ）求经过点C，D两点的一次函数的解析式．
【解答】解（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB＝＝5，
∴BC＝5，
∴OC＝1，
∴点C的坐标为（0，﹣1）；
（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝5，AD∥CB，
∴点D的坐标为（3，﹣5），
设经过点C，D两点的一次函数的解析式为y＝kx+b，
把（0，﹣1），（3，﹣5）代入得：，
解得：，
∴经过点C，D两点的一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1．
21．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA＝8，OC＝6，过点D（0，6）做y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
（1）求OB的长；
（2）求BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝6，∠A＝90°，
∴OB＝＝＝10；
（2）∵BD⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∴点B的坐标为（8，6）；
∴OD＝6，AB＝6，
∴OD＝AB，
在Rt△OBD和Rt△BOA中，，
∴Rt△OBD≌Rt△BOA（HL），
∴∠OBD＝∠BOA，
∴OE＝BE，
设OE＝BE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即BE＝．
22．某玩具商家安排采购员小雷从厂家购进A、B两款玩具，这两款玩具的进价和售价如表：
（1）第一次小雷用8400元购进了A、B两款玩具共100个，求A、B两款玩具各购进多少个？
（2）第二次小雷在进货时，厂家规定玩具A的进货数量不得超过玩具B进货数量的两倍，小雷计划购进两种玩具共150个，设小雷购进玩具Am个（m＞0），售完两款玩具共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润．
【解答】解：（1）设购进A款玩具x个，则购进B款玩具（100﹣x）个．
根据题意，得90x+75（100﹣x）＝8400，
解得x＝60，
100﹣60＝40（个），
∴购进A款玩具60个、B款玩具40个．
（2）小雷购进玩具B（150﹣m）个．
根据题意，得m≤2（150﹣m），
解得m≤100．
W＝（120﹣90）m+（100﹣75）（150﹣m）＝5m+3750，
∵5＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤100，
∴当m＝100时，W值最大，W最大＝5×100+3750＝4250，150﹣100＝50（个），
∴购进玩具A100个、B50个才能获得最大利润，最大利润是4250元．
23．在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，连接AN，CM．
（1）如图①，求证：四边形ANCM是平行四边形；
（2）如图②，连接MN，DN，若∠AND＝90°，求证：MN＝NC；
（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，EP＝1，且∠1＝∠2，求AN的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵M，N分别是AD、BC的中点，
∴AM＝CN，AM∥CN，
所以四边形ANCM是平行四边形；
（2）证明：∵∠AND＝90°，AM＝DM，
∴MN＝AD＝MD，
∵MD＝AD＝BC＝CN，
∴MN＝NC；
（3）解：∵MD＝AD＝BC＝CN，MD∥CN
∴四边形MNCD是平行四边形，
由（2）知MN＝NC
∴▱MNCD是菱形，
∴∠NMC＝∠DMC，DN⊥MC，∠DNM＝∠DNC，
∵∠1+∠DMC＝∠1+∠NMC＝∠2+∠ENC＝90°，
∴∠NMC＝∠MNC，
∴MN＝CN＝MC，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MND＝∠2＝∠1＝30°，
在RT△NEP中，∵EP＝1，
∴NE＝，
所以MN＝MC＝2，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AN＝MC＝2．
24．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【解答】（1）解：对于
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）
由y＝0得：，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线BC的函数解析式为，
（2）解：设M（m，0），
则P（m，）、Q（m，）
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
∴PQ＝，
BD＝|m|，
∴，
解得，
∴M（，0）或M（，0）；
（3）解：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
∴BM2+BC2＝MC2
设M（x，0），则P（x，）
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝
∴P（，），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，），
解法二：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
设直线BM的解析式为y＝k1x+b1，
则有，
∴k1＝2
∴直线BM的解析式为y＝2x+b1，
将点B（0，3）代入得，b1＝3，
∴直线BM的解析式为y＝2x+3，
由y＝0得x＝，
将x＝代入得，
∴P（，），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/9 6:02:18；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
s2
1
1.1
1.2
1.3
品名
A
B
进价（元/个）
90
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120
100
甲
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