沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题05二次函数(重点)(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题05二次函数(重点)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．C．y＝（a2+1）x2D．y＝ax2
2．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
3．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，）B．（5，0）C．（，）D．（，0）
4．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
5．下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与y轴的交点坐标是D．抛物线的顶点坐标是
6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，函数有最小值
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是( )
A．0＜m＜1B．1＜m≤2C．2＜m＜4D．0＜m＜4
10．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1m，2m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0．5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 _____．
12．已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则b的值为_____．
13．如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
14．二次函数（，a，c均为常数）的图象经过、、三点，则，，的大小关系是______．
15．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
16．抛物线上部分点的横坐标是，纵坐标的对应值如表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点是（1，0），则与轴另一个交点的坐标是____．
17．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．
18．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为___．
三、解答题
19．已知抛物线．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
21．二次函数的自变量x的取值与函数y的值列表如下：
(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；
(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．
22．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D．
(1)求直线AB的表达式；
(2)求tan∠ABD的值；
(3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标．
24．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤≤40．
(1)根据表格求y关于x的函数解析式；
(2)设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式；
(3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
26．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
27．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
(3)如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，联结，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)联结DF，求ctEDF的值；
(3)点P在直线l上，且∠EDP=45°，求点P的坐标．
…
0
1
…
…
8
9
8
5
0
…
x
…
﹣2
﹣1
0
…
2
3
4
…
…
﹣5
0
3
…
3
0
﹣5
…
销售量y（件）
……
30
20
10
……
销售单价（元）
……
25
30
35
……
专题05 二次函数（重点）
一、单选题
1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+cB．C．y＝（a2+1）x2D．y＝ax2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【解析】解：当时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A错误；
，不是二次函数，故选项B错误；
∵
∴y＝（a2+1）x2一定是二次函数，故选项C正确；
当时，y＝ax2不是二次函数，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．
2．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【解析】∵函数是关于x的二次函数，
∴，且，
由得，或，
由得，，
∴m的值是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
3．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（5，）B．（5，0）C．（，）D．（，0）
【答案】C
【分析】先得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），则把点（2，﹣2）向左平移3个单位，再向下平移2个单位后得到（﹣1，﹣4）．
【解析】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为（2，﹣2），
∴把点（2，﹣2），向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到（﹣1，﹣4），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）的平移是解决问题的关键．
4．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的图像 得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx＋b的图像相比较看是否一致．
【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数的图像与系数间的关系．
5．下列对二次函数的图像的描述中，不正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与y轴的交点坐标是D．抛物线的顶点坐标是
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【解析】解：∵a=-2<0，∴抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
∴对称轴为直线x=-1，故选项B正确，不符合题意；
当x=0时，，即抛物线与y轴的交点坐标是，故选项C错误，符合题意；
顶点坐标为（-1，3），故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数中的绝对值越大开口越小,开口向上，开口向下，进行判断即可求解．
【解析】解：如图所示：①的开口小于②的开口，则，
③的开口大于④的开口，开口向下，
则，
故．
故选：A．
【点睛】本题考查了的图象与性质，掌握的意义是解题的关键．
7．已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把抛物线化为顶点式，可求得开口方向及对称轴，再利用增减性，可得到关于 的不等式，求解即可得到答案．
【解析】
抛物线开口方向向下，对称轴为直线
当时，随的增大而增大．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转化及增加性是解题的关键，即 中，对称轴为 ，顶点坐标为（ ， ）．
8．二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，函数有最小值
【答案】D
【分析】由图象可知，，当时，抛物线的对称轴为直线，对各选项进行判断即可．
【解析】解：由图象可知，，选项A、C错误，故不符合题意；
当时，选项B错误，故不符合题意；
该抛物线的对称轴为直线，该函数在对称轴处取最小值，选项D正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x1，x2(0＜x1＜x2＜4)时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是( )
A．0＜m＜1B．1＜m≤2C．2＜m＜4D．0＜m＜4
【答案】C
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【解析】
解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x=m中2＜m＜4，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
10．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1m，2m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0．5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】①当m=1时，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与y轴交点坐标即可判断；③利用二次函数的性质解答即可；④首先求出对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
【解析】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1m，2m]的二次函数的解析式为y＝mx2（1-m）x（2-m），
①当m＝1时，对称轴为直线x==0，故正确；
②∵m=2，∴此时二次函数表达式为y=2x2-x，
令x=0，解得y=0，故二次函数的图象过原点，正确；
③当m>0时，y＝mx2（1-m）x（2-m）是一个开口向上的抛物线，函数有最小值，正确；
④，∵m<0，其对称轴是，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右边y随x的增大而减小．
因为m<0，>，即对称轴在x=的右边，
因此函数在x=的右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误；
故选C．
【点睛】此类考查了二次函数，问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 _____．
【答案】（，-）
【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案．
【解析】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是（，-）．
故答案为：（，-）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键．
12．已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则b的值为_____．
【答案】-2
【分析】根据（-2，n）和（4，n）可以确定抛物线的对称轴为x=1，再由对称轴的x=，即可求出b．
【解析】解：∵抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点，
∴抛物线的对称轴为，
∴=1，
∴b=-2；
故答案为：-2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
13．如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】由图像在轴的右侧部分是下降的可得，进而求解．
【解析】解：图像在轴右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
14．二次函数（，a，c均为常数）的图象经过、、三点，则，，的大小关系是______．
【答案】
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1.5，图象开口向下；根据二次函数的性质知道距离对称轴越远y值越小得出结果．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为 ，
1.5-（-2）＞1.5-0＞2-1.5，
故y1故答案为y1【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题关键．
15．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得．
【解析】解：二次函数与一次函数的图象相交于点和，
由图象可得：使不等式成立的的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
16．抛物线上部分点的横坐标是，纵坐标的对应值如表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点是（1，0），则与轴另一个交点的坐标是____．
【答案】（－5，0）
【分析】根据表中的对应值和抛物线的对称性可以确定抛物线的对称轴是直线，然后写出点（1，0）关于直线的对称点即可．
【解析】解：根据表中数据可知抛物线经过点（﹣3，8），（﹣1，8），
∴抛物线的对称轴为直线，
∵（1，0）关于直线对称，可得对称点为（－5，0），
∴抛物线与轴另一个交点的坐标是（－5，0），
故答案为：（－5，0）．
【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点问题，解题关键是根据表中抛物线对称点的特征，确定其对称轴．
17．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．
【答案】2
【分析】首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．
【解析】解：∵
∴，代入得：
∴抛物线的顶点坐标为
∵当时，即，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为和
∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∴，即
解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．
18．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为___．
【答案】或或
【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【解析】由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏．
三、解答题
19．已知抛物线．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．
【答案】（1）（1，﹣8）；（2）．
【分析】（1）用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质得到答案；
（2）直接求出抛物线与轴的交点，进而得出平移规律．
【解析】解：（1）
，
故该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣8）；
（2）当时，，
解得：，
即图象与轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，
即．
故答案为（1）（1，﹣8）；（2）.
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
【答案】(1)y=-x2-2x+8
(2)＞
【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+8.
(2)
∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
21．二次函数的自变量x的取值与函数y的值列表如下：
(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；
(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线上，并写出平移后二次函数的解析式．
【答案】(1)；顶点坐标
(2)把抛物线向下平移3个单位长度，抛物线为：，或把抛物线向右平移3个单位长度，抛物线为：.
【分析】（1）由二次函数过设抛物线的交点式为再把代入抛物线的解析式求解的值，再配方，求解顶点坐标即可；
（2）平移后二次函数图像的顶点落在直线上，顶点的横坐标与纵坐标相等，由顶点坐标为： 再分两种情况讨论：当顶点坐标为：时，当顶点坐标为：时，再写出平移方式即可.
(1)
解： 二次函数过
设
把代入抛物线的解析式可得：
解得：
所以抛物线为：
而

所以顶点坐标为：
(2)
解： 平移后二次函数图像的顶点落在直线上，
顶点的横坐标与纵坐标相等，
而顶点坐标为：
当顶点坐标变为：时，
把抛物线向下平移3个单位长度即可；
此时抛物线为：
当顶点坐标变为：时，
把抛物线向右平移3个单位长度即可.
此时抛物线为：.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，利用配方法求解抛物线的顶点坐标，抛物线的平移，正比例函数图象上点的坐标特点，熟练的掌握抛物线的性质是解本题的关键.
22．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
（1）
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D．
(1)求直线AB的表达式；
(2)求tan∠ABD的值；
(3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据抛物线经过点A（2，0），可得抛物线解析式为，再求出点B的坐标，即可求解；
（2）先求出点D的坐标为 ，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD为直角三角形，即可求解；
（3）先求出直线BD的解析式，可得到点P的坐标为 ，然后分两种情况讨论即可求解．
(1)
解：∵抛物线经过点A（2，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
设直线AB的解析式为 ，
把A（2，0），，代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为；
(2)
如图，连接BD，AD，
∵，
∴点D的坐标为 ，
∵A（2，0），，
∴ ，
∴ ，
∴△ABD为直角三角形，
∴；
(3)
设直线BD的解析式为 ，
把点，代入得：
，解得： ，
∴直线BD的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ，
当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB，
如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1，
∵△ABP∽△ABC，
∴∠ABD=∠BCQ，
由（2）知，
∴，
∴ ，
∴CQ=9，
∴OC=OQ+CQ=10，
∴点C的坐标为 ；
当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合，
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
24．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤≤40．
(1)根据表格求y关于x的函数解析式；
(2)设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元
【分析】（1）根据表格数据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意列出与的函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值
(1)
设一次函数的解析式为（k≠0）
把x=25、y=30，x=30、y=25分别代入
得
解得
∴一次函数的解析式为
(2)
∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意求得函数表达式是解题的关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式；
(3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．
【答案】(1)点A的坐标为（4，﹣1）．
(2)y＝x2﹣4x﹣1
(3)
【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；
（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；
（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．
(1)
∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，
∴，
解得：；
∴点A的坐标为（4，﹣1）．
(2)
∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），
∴16a+4b﹣1＝﹣1，
即b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣1，
∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，
抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a﹣4a+1，
解得：a＝1，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．
(3)
如图，
∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴P（2，﹣4a﹣1），
∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，
∴P'（2，4a+1），
∵a'＜0，
∴a＞0，
∴P'P＝8a+2，
又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，
∴，
解得：a＝，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了两直线交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
26．已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点是坐标是
【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可；
（3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案．
（1）
直线与轴、轴相交于点、，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为.
（2）
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当x=1时，
∴，
∴.
（3）
如图，设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴点是坐标是，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点是坐标是
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．
27．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；
(3)如果以B、P、N为顶点的三角形与△ABO相似，求点M的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2+x+3，对称轴为x=，顶点坐标为(，)；
(2)m=2；
(3)点M的坐标为（，0）或（3，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，利用配方法可求得此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）先求得直线AB的解析式，得到NP=−m2+3m，根据NP= OB，列出方程求解即可；
（3）利用两点间的距离公式计算出AB5，BP，NP=−m2+3m，分时，△BPN∽△OBA；时，△BPN∽△ABO两种情况讨论即可求解．
(1)
解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+3，
∵y=−x2+x+3=−(x-)2+，
∴此抛物线的对称轴为x=，
顶点坐标为(，)；
(2)
解：设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（4，0），B（0，3）代入得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=，
∵M（m，0），MN⊥x轴，
∴N（m，−m2+m+3），P（m，），
∴NP=−m2+3m，OB=3，
∵NP∥OB，且以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
∴NP= OB，即−m2+3m=3，
整理得：m2-4m+4=0，
解得：m=2；
(3)
∵A（4，0），B（0，3），P（m，），
∴AB=5，BP=，
而NP=−m2+3m，
∵PN∥OB，
∴∠BPN=∠ABO，
当时，△BPN∽△OBA，
即，
整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，
此时M点的坐标为（，0）；
当时，△BPN∽△ABO，
即，
整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，
此时M点的坐标为（3，0）；
综上所述，点M的坐标为（，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，联结，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)联结DF，求ctEDF的值；
(3)点P在直线l上，且∠EDP=45°，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）证明，再根据全等三角形的性质得，，可得，，求出，则，，过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，则，在中，根据余切的定义即可求解；
（3）分两种情形①点在点的上方时；②点在点的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．
（1）
解：把点，点代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）
解：如图：
，
，，
，
，
，
，，
，
过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．
，
，
，
，
，，
过点作于，
，
，
，
在中，；
（3）
解：①当点在点的上方时，
，是公共角，
，
，
，
设，则，
又，，
，解得，
点的坐标为；
②当点在点的下方时，
，是公共角，
，
，
，
设，则，，，
，解得，
点的坐标为；
综上所述，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．
…
0
1
…
…
8
9
8
5
0
…
x
…
﹣2
﹣1
0
…
2
3
4
…
…
﹣5
0
3
…
3
0
﹣5
…
销售量y（件）
……
30
20
10
……
销售单价（元）
……
25
30
35
……