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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训02相似三角形(解答题)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训02相似三角形(解答题)(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
2．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
3．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
4．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
5．如图，在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO：OE的值．
6．如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
(1)AB＝3，求BC；
(2)EF＝7.5，BE的长．
7．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
8．如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用表示；（写出必要步骤）
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
9．如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设，
（1）试用、分别表示向量；
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
10．如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ．
(1)直接写出向量 关于 的分解式， ______
(2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论）
11．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．
(1)设＝，＝，用向量、表示向量＝ ，＝ ．
(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
12．如图，在中，，，，．
（1）求证：∽；
（2）求的长度．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
16．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
17．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
18．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
19．如图，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：
(1)AF：FC的值；
(2)EF：BF的值．
20．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
21．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．
(1)求证：
(2)求证：
22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
23．如图，已知的顶点在的边上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝．
(1)当＝2时，＝______；（用与表示）
(2)当＝时，＝______；
(3)在原图上作出在、上的分向量．
2．如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且， BF、CD的延长线交于点G，设， ．
（1）用向量、表示向量 、；
（2）求作关于向量、 的分向量．
3．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
4．已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
5．已知：如图，，，，，点、分别为垂足．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
6．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点M在AB边的延长线上，点N在BC边的延长线上，OM交BC于点E，ON交CD于点F，且∠MON=90°，连接MN．
(1)求证：EM=FN；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
7．如图，已知，是上一点，，交于，交于，联结．
（1）求证：；
（2）设与的交点为点，如果，，求的值．
8．如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与、重合）且，与交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
9．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
10．如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，．
(1)如图1，当点是线段的中点时，求的值；
(2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域；
(3)当时，求的面积．
11．如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．
(1)求的长；
(2)当平行四边形是矩形时，求的长；
(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．
12．已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当与相似时，求的面积．
13．阅读材料，解决下列问题：
(1)特例感知：如图（一），已知边长为的等边的重心为点，求与的面积．
(2)性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为常数？如果是，分别求出这两个常数；如果不是，请说明理由．
(3)性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为10，求的长度；
②若，求正方形的面积．
特训02 相似三角形（解答题）
基础特训练
特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
【答案】
【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可．
【解析】∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
∴
＝
＝
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．
2．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）设代入求值即可；
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论．
【解析】解：（1）由设
∴
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得
整理得，
∴
∴
∴
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．
3．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°
(2)42
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
（1）
解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）
∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
4．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【解析】解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
5．如图，在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO：OE的值．
【答案】2：1
【分析】由E是AC的中点， ED∥AF，得FD=DC，又F是BC的中点，易得BO：OE=BF：FD=2：1．
【解析】∵E是AC的中点， ED∥AF
∴FD=DC
又∵F是BC的中点
∴BF=FC=2FD
∴BO：OE=BF：FD=2：1．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准图中相等的比例关系．
6．如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
(1)AB＝3，求BC；
(2)EF＝7.5，BE的长．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算求解即可．
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算求解即可．
（1）
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，
∴，
解得BC＝6，
∴BC的长为6；
（2）
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，
∴，
解得BE＝5，
∴BE的长为5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键在于熟练掌握平行线分线段成比例定理．
7．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【答案】，作图见解析
【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．
【解析】解：
如图，即为所求，
【点睛】此题考查了平面向量的运算法则以及作法，注意作图时利用三角形法则是关键．
8．如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用表示；（写出必要步骤）
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
【答案】（1）；（2）图见详解，
【分析】（1）首先证明，进而问题可求解；
（2）分别过点O作OM∥AD，ON∥AB，然后证明，进而问题可求解．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，在、上的分向量分别为和，
∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．
9．如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设，
（1）试用、分别表示向量；
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）先证明，进而利用三角形法则求得出，进而求得，根据即可求得；
（2）利用平行四边形法则，即可作出向量分别在、方向上的分向量
【解析】（1）四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形
同理可得
，
；
（2）如图，分别是在、方向上的分向量
【点睛】本题考查了平面向量的知识，掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解题的关键．
10．如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ．
(1)直接写出向量 关于 的分解式， ______
(2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论）
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；
（2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F，作向量、即可．
（1）
解：∵ 是 的中线， 交于点 ，
∴BD=BC，AG=AD，
∵，
∴=，
∴，
故答案为：；
（2）
解：如图所示，、是向量 在向量 和 方向上的分向量．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键．
11．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．
(1)设＝，＝，用向量、表示向量＝ ，＝ ．
(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可；
（2）由可得AF//BC、，先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．
（1）
解：∵，
∴
∵
∴
∴
．
故答案为：，
（2）
∵
∴AF//BC、
∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∵AD＝3，AF＝2DF，
∴AF＝2，
∴BC＝8，
在Rt△ABF中，
BF＝＝2，
又∵，
∴△ABF∽△BCA，
∴∠ABF＝∠BCA，
∴△ABF∽△ECB，
∴，
∴，
∴BE＝．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、平面向量的线性运算，根据得到AF//BC、是解答本题的关键.
12．如图，在中，，，，．
（1）求证：∽；
（2）求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；
（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．
【解析】（1）∵，
∴，，
∴∽；
（2）∵∽，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．
15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明见解析．
【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
【解析】证明：∵AC2＝AD⋅AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
16．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
【答案】见解析
【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．
【解析】证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．
17．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
18．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，从而得到结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴．
∴CF•CA＝CB•CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴．
∴．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．
19．如图，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：
(1)AF：FC的值；
(2)EF：BF的值．
【答案】(1)3:2
(2)1:4
【分析】（1）延长BE交直线AD于H，根据ADBC，可得△DEH∽△CEB，＝，进而由AHBC，可得△AHF∽△CFB，即可求得AF：FC的值；
（2）由△DEH∽△CEB，可得BE＝EH＝BH，由△AHF∽△CFB，可得FH：BF＝AF：FC＝3：2；设BF＝2a，则FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，根据EF＝FH﹣EH＝a，，进而即可求得EF：BF的值
(1)
延长BE交直线AD于H，如图，
∵ADBC，
∴△DEH∽△CEB，
∴＝，
∵点E为边DC的中点，
∴DE＝CE，
∴DH＝BC，
而BC＝2AD，
∴AH＝3AD，
∵AHBC，
∴△AHF∽△CBF，
∴AF：FC＝AH：BC＝3：2；
(2)
∵△DEH∽△CEB，
∴EH：BE＝DE：CE＝1：1，
∴BE＝EH＝BH，
∵△AHF∽△CFB，
∴FH：BF＝AF：FC＝3：2；
设BF＝2a，则FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，EH＝a，
∴EF＝FH﹣EH＝3a﹣a＝a，
∴EF：BF＝a：2a＝1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用已知条件证明即可；
（2）通过证明得出，再根据，得出结论．
(1)
证明：，，
，
，
，
，
，
；
(2)
证明，点是边上的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明．
21．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．
(1)求证：
(2)求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据DFBC，得，由AB⋅AF=DF⋅BC，得，∠AFE=∠DFA，可证△AEF∽△DAF，即可得答案；
（2）根据ABCD，得，由，得，再证四边形DFBC是平行四边形，得，最后根据DFBC，即可得答案．
(1)
解：∵DFBC，
∴ ，
∴，
∵AB⋅AF=DF⋅BC，
∴，
∴，
∵∠AFE=∠DFA，
∴△AEF∽△DAF，
∴∠AEF=∠DAF；
(2)
∵ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DFBC，ABCD，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∴DF=BC，
∴，
∵DFBC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．
(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．如图，已知的顶点在的边上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据，，证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）首先由，得到，然后进一步证明，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到，，然后根据两角对应相等证明，得到，然后根据线段之间的转化即可证明出．
【解析】证明：（1），，
，
，
，
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．
24．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由是的角平分线，过点、分别作的垂线，可得，，根据有两角对应相等的三角形相似，可得，即可证明；
（2）由（1）有，利用，，证明出，得，证明出，，通过等量代换得，根据平行线分线段成比例定理即可求证．
（1）
解：证明：平分，
，
又，，
，
，
，
；
（2）
解：证明：由（1）有，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，角平分线、以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝．
(1)当＝2时，＝______；（用与表示）
(2)当＝时，＝______；
(3)在原图上作出在、上的分向量．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析；分向量分别为，
【分析】（1）根据三角形法则＝，只要求出即可；
（2）由题意可得=，推出BM：BC＝3：7，即可解决问题；
（3）根据平行四边形法则即可解决问题；
(1)
∵＝，BM：CM＝2，
∴＝，
∴＝
．
故答案为：．
(2)
∵＝，
∴＝＝，
∴BM：BC＝3：7，
∴BM：MC＝3：4，
故答案为：．
(3)
如图所示，作平行四边形AEMF：在、上的分向量分别为，．
【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且， BF、CD的延长线交于点G，设， ．
（1）用向量、表示向量 、；
（2）求作关于向量、 的分向量．
【答案】（1）， ；（2）作图见解析．
【分析】（1），可求得 ，则有，再根据 ，得，则 ，据此求解即可
（2）过点作交于点，则有，即点为所求．
【解析】解：（1）∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
（2）过点作交于点，
则有：，
∴点为所求．
【点睛】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟悉想性质，特别是向量额的运算是解题的关键．
3．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，．即可得出，即证明；
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同理可得，变形为，即．
（1）
证明：∵AB∥EF
∴．
∵CD∥EF
∴，
∴，
∴；
（2）
关系式为：，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．
由（1）同理可得：
∴
即．
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
4．已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）9
【分析】（1）先证明，再证明，从而可得答案；
（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，可得，从而可得答案.
【解析】解：（1）∵BD平分，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
又∵（BD是平分线），
∴，
∴，
∵，∴，
则，即，
∴，
∴．
∴．
即的面积是9．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法与性质的运用是解题的关键.
5．已知：如图，，，，，点、分别为垂足．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）先证明再证明可得从而可得结论；
（2）如图，连接 证明都是等腰直角三角形，可得 再证明 可得 证明 再证明 利用相似三角形的性质可得答案.
【解析】证明（1） ，
,
（2）如图，连接
都是等腰直角三角形，
,
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，选择合适的判定方法判定三角形相似是解题的关键.
6．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点M在AB边的延长线上，点N在BC边的延长线上，OM交BC于点E，ON交CD于点F，且∠MON=90°，连接MN．
(1)求证：EM=FN；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证△BOM≌△CON和△OBE≌△OFC即可得；
（2）作OG⊥AB，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OG=GA=GB=2、GM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠OCB=∠OBA=∠OCD=45°，
∴∠OBM=∠OCN=135°，
∵∠MON=90°，∠BOC=90°，
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON，∠BOE=∠COF，
在△OBE与△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF，
∴OM-OE=ON-OF，
即EM=FN；
（2）
解：如图，过点O作OG⊥AB于点G，
∵正方形的边长为4，
∴OG=GA=GB=2，
∵BE∥OG，
∴，
∵E为OM的中点，即EM=EO，
∴BM=BG=2，
∴GM=4，
则OM==2，
∴MN=OM=2．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
7．如图，已知，是上一点，，交于，交于，联结．
（1）求证：；
（2）设与的交点为点，如果，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，，由AM=AN，将比例式变形可得，由公共角进而可得，进而可得，即可判断；
（2）根据可得，进而可得，根据AM=AN，可得，进而由得，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得的值．
【解析】解：（1）∵，
∴，，
∴，，
∵AM=AN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示：
由（1）得，，
∴，
∴，
AM=AN，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判，解题的关键是掌握这些知识点．
8．如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与、重合）且，与交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先利用两角对应相等，证明△ACD∽△ABE，进而证明△ADE∽△ACB；
（2）首先证明∠CDE=∠CED=∠BAE，再证明AE平分∠BAE，进而得∠EAC=∠DEC，从而证明，即可得到结论．
【解析】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，
∴∠CAD=∠BAE；
∵CP∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴，即，
又∵∠DAE=∠CAB=45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）解：∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE．
∵∠AEC=∠AED+∠CED=45°+∠CED，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠CED=∠BAE，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE，
∵CP∥AB，
∴∠DCE+∠B=180°，
∴∠DCE=180°-∠B=135°，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE =（180°-∠DCE）=22.5°，
∴∠BAE=∠CAB，即AE为角平分线．
∴∠CAE=∠CEO
又∠ACE=∠ECO=90°
∴
∴，即
∵
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．
9．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用对顶角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠FAC，从而证明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性质即可解答；
（2）根据正方形的性质可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠AEC＝∠FAC，然后再利用（1）的结论可证明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性质即可解答．
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC＋∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°，
∴∠AEC＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE•CF，
∴（AB）2＝CE•CF，
∴CE•CF＝2AB2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，．
(1)如图1，当点是线段的中点时，求的值；
(2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域；
(3)当时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过点A作于H，证明，求出，再求出，然后由锐角三角函数定义求解即可；
（2）过点作，交于点，证明，由相似三角形的性质得到，据此解题；
（3）①当点D在BC延长线上时，过点A作于点H，证明，求出，则，得到，再由三角形面积公式解题；
②当点D在BC上时，过点A作于H，过点C作交AD的延长线于M，证明，求出，再证明，得到，然后证明，求出，则，得到即可解题．
（1）
解：在中，，，，
∴
过点作，垂足为，
∴
在与中，
∴，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
在中，
（2）
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
如图，过点作，交于点，
∵，，
∵，，，，
∴，
∴
在与中，，
∴
∴，
∴，
∴
（3）
情况一：当点在的延长线上时，可证
∴，
∴．
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即
∴
情况二：当点在的边上时，可证
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
类似的，如图，过点作交的延长线于点，
可求得，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数解析式、锐角三角函数定义、分类讨论等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．
11．如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．
(1)求的长；
(2)当平行四边形是矩形时，求的长；
(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）由，平分，可知，利用等角对等边，可知AD=BD，证，利用相似三角形的性质，即可求解；
（2）过点D作DN⊥AB于N，如图，利用等腰三角形的性质，可得，利用矩形的性质，可得，从而可得，利用平行线分线段成比例，即可求解；
（3）可知四边形AEPQ是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，，可得，，利用相似三角形的性质，即可求解．
（1）
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴AD=BD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵AD=BD，
∴AD=5，
∵，
∴，
∴，
过点D作DN⊥AB于N，如图，
∵AD=BD，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴；
（3）
解：如图，
设，
∵，
∴四边形AEPQ是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
但，此时，点E不在线段AB上，故舍去，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，解题关键是正确找到或构造相似三角形．
12．已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当与相似时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先证明△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，然后根据对应边成比例即可求解；
（2）由△EPD∽△EAP，得，得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，由PD∥HE可得出，进而可得出y与x的关系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
（1）
证明：，为公共角，
， ，
，，
， ，
；
（2）
解：， ，
， ，
作于点，
，，
，PH⊥AB，
，，
，
，，
即．
（3）
解：，
∴∠PEH=∠EPD，
，
∴∠PEH=∠A，
∵∠PHE=∠C，
，
，
，
当与相似时，
①当时，，
，
解得：，；
②当时，同理可得：．
综上，当与相似时，的面积为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
13．阅读材料，解决下列问题：
(1)特例感知：如图（一），已知边长为的等边的重心为点，求与的面积．
(2)性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为常数？如果是，分别求出这两个常数；如果不是，请说明理由．
(3)性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为10，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】(1)，；
(2)，是定值；，是定值；
(3)①；②72．
【分析】（1）通过证明，可得，运用勾股定理求出的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①连接，可知点为的中点，点为的中点，从而可以得到点是的重心，然后即可得到和的关系，再根据勾股定理求出的长即可解决问题；
②分别求出和即可求得正方形的面积．
（1）
解：连接，如图1中，
点是的重心，
，是，边上的中线，
，为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，，
，，
，；
（2）
解：由（1）同理可得，，是定值；点到的距离和点到的距离之比为，
则和的面积之比等于点到的距离和点到的距离之比，
故，是定值；
（3）
解：①连接交于点，
点为的中点，点为的中点，
点是的重心，
，
为的中点，
，
，
；
②，且，
，
，
，
，
，
，
正方形的面积．
【点睛】本题是四边形综合题，考查的是三角形重心的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．
特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
2．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
3．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
4．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
5．如图，在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO：OE的值．
6．如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
(1)AB＝3，求BC；
(2)EF＝7.5，BE的长．
7．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
8．如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用表示；（写出必要步骤）
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
9．如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设，
（1）试用、分别表示向量；
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
10．如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ．
(1)直接写出向量 关于 的分解式， ______
(2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论）
11．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．
(1)设＝，＝，用向量、表示向量＝ ，＝ ．
(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
12．如图，在中，，，，．
（1）求证：∽；
（2）求的长度．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
16．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
17．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
18．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
19．如图，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：
(1)AF：FC的值；
(2)EF：BF的值．
20．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
21．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．
(1)求证：
(2)求证：
22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
23．如图，已知的顶点在的边上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝．
(1)当＝2时，＝______；（用与表示）
(2)当＝时，＝______；
(3)在原图上作出在、上的分向量．
2．如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且， BF、CD的延长线交于点G，设， ．
（1）用向量、表示向量 、；
（2）求作关于向量、 的分向量．
3．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
4．已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
5．已知：如图，，，，，点、分别为垂足．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
6．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点M在AB边的延长线上，点N在BC边的延长线上，OM交BC于点E，ON交CD于点F，且∠MON=90°，连接MN．
(1)求证：EM=FN；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
7．如图，已知，是上一点，，交于，交于，联结．
（1）求证：；
（2）设与的交点为点，如果，，求的值．
8．如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与、重合）且，与交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
9．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
10．如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，．
(1)如图1，当点是线段的中点时，求的值；
(2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域；
(3)当时，求的面积．
11．如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．
(1)求的长；
(2)当平行四边形是矩形时，求的长；
(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．
12．已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当与相似时，求的面积．
13．阅读材料，解决下列问题：
(1)特例感知：如图（一），已知边长为的等边的重心为点，求与的面积．
(2)性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为常数？如果是，分别求出这两个常数；如果不是，请说明理由．
(3)性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为10，求的长度；
②若，求正方形的面积．
特训02 相似三角形（解答题）
基础特训练
特训第一阶——基础特训练
一、解答题
1．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
【答案】
【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化简求解即可．
【解析】∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
∴
＝
＝
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．
2．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）设代入求值即可；
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论．
【解析】解：（1）由设
∴
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得
整理得，
∴
∴
∴
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．
3．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°
(2)42
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
（1）
解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）
∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
4．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【解析】解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
5．如图，在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，AF与BE交于点O，ED∥AF，交BC于点D，求BO：OE的值．
【答案】2：1
【分析】由E是AC的中点， ED∥AF，得FD=DC，又F是BC的中点，易得BO：OE=BF：FD=2：1．
【解析】∵E是AC的中点， ED∥AF
∴FD=DC
又∵F是BC的中点
∴BF=FC=2FD
∴BO：OE=BF：FD=2：1．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找准图中相等的比例关系．
6．如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
(1)AB＝3，求BC；
(2)EF＝7.5，BE的长．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算求解即可．
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算求解即可．
（1）
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，
∴，
解得BC＝6，
∴BC的长为6；
（2）
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，
∴，
解得BE＝5，
∴BE的长为5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键在于熟练掌握平行线分线段成比例定理．
7．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【答案】，作图见解析
【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．
【解析】解：
如图，即为所求，
【点睛】此题考查了平面向量的运算法则以及作法，注意作图时利用三角形法则是关键．
8．如图．四边形ABCD是平行四边形：点E是边AD的中点．AC、BE相交于点O．设，．
（1）试用表示；（写出必要步骤）
（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用表示．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
【答案】（1）；（2）图见详解，
【分析】（1）首先证明，进而问题可求解；
（2）分别过点O作OM∥AD，ON∥AB，然后证明，进而问题可求解．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，在、上的分向量分别为和，
∵AE∥BC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．
9．如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD分别交于点G、H，设，
（1）试用、分别表示向量；
（2）作出向量分别在、方向上的分向量．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）先证明，进而利用三角形法则求得出，进而求得，根据即可求得；
（2）利用平行四边形法则，即可作出向量分别在、方向上的分向量
【解析】（1）四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形
同理可得
，
；
（2）如图，分别是在、方向上的分向量
【点睛】本题考查了平面向量的知识，掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解题的关键．
10．如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ．
(1)直接写出向量 关于 的分解式， ______
(2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论）
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD=BC，AG=AD，由求解即可；
（2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F，作向量、即可．
（1）
解：∵ 是 的中线， 交于点 ，
∴BD=BC，AG=AD，
∵，
∴=，
∴，
故答案为：；
（2）
解：如图所示，、是向量 在向量 和 方向上的分向量．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键．
11．如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．
(1)设＝，＝，用向量、表示向量＝ ，＝ ．
(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可；
（2）由可得AF//BC、，先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．
（1）
解：∵，
∴
∵
∴
∴
．
故答案为：，
（2）
∵
∴AF//BC、
∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∵AD＝3，AF＝2DF，
∴AF＝2，
∴BC＝8，
在Rt△ABF中，
BF＝＝2，
又∵，
∴△ABF∽△BCA，
∴∠ABF＝∠BCA，
∴△ABF∽△ECB，
∴，
∴，
∴BE＝．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、平面向量的线性运算，根据得到AF//BC、是解答本题的关键.
12．如图，在中，，，，．
（1）求证：∽；
（2）求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；
（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．
【解析】（1）∵，
∴，，
∴∽；
（2）∵∽，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
14．如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，进而可证△ADF∽△DEC．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．
15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明见解析．
【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
【解析】证明：∵AC2＝AD⋅AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
16．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
【答案】见解析
【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．
【解析】证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．
17．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
18．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．
（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，从而得到结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∴∠ADE＝∠E．
∵∠ADE＝∠BAC．
∴∠BAC＝∠E．
∵∠ACB＝∠ECF．
∴△ACB∽△ECF．
∴．
∴CF•CA＝CB•CE
（2）由（1）知∠ADE＝∠E．
∵∠ADF＝∠CFE．
∴△ADF∽△CEF．
∴．
∴．
∵AC＝DE．
∴EF＝CF．
∵△ACB∽△ECF．
∴AB＝BC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．
19．如图，梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：
(1)AF：FC的值；
(2)EF：BF的值．
【答案】(1)3:2
(2)1:4
【分析】（1）延长BE交直线AD于H，根据ADBC，可得△DEH∽△CEB，＝，进而由AHBC，可得△AHF∽△CFB，即可求得AF：FC的值；
（2）由△DEH∽△CEB，可得BE＝EH＝BH，由△AHF∽△CFB，可得FH：BF＝AF：FC＝3：2；设BF＝2a，则FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，根据EF＝FH﹣EH＝a，，进而即可求得EF：BF的值
(1)
延长BE交直线AD于H，如图，
∵ADBC，
∴△DEH∽△CEB，
∴＝，
∵点E为边DC的中点，
∴DE＝CE，
∴DH＝BC，
而BC＝2AD，
∴AH＝3AD，
∵AHBC，
∴△AHF∽△CBF，
∴AF：FC＝AH：BC＝3：2；
(2)
∵△DEH∽△CEB，
∴EH：BE＝DE：CE＝1：1，
∴BE＝EH＝BH，
∵△AHF∽△CFB，
∴FH：BF＝AF：FC＝3：2；
设BF＝2a，则FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，EH＝a，
∴EF＝FH﹣EH＝3a﹣a＝a，
∴EF：BF＝a：2a＝1：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．如图，在等腰中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用已知条件证明即可；
（2）通过证明得出，再根据，得出结论．
(1)
证明：，，
，
，
，
，
，
；
(2)
证明，点是边上的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明．
21．已知：如图，在四边形中，，过点作，分别交、点、，且满足．
(1)求证：
(2)求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据DFBC，得，由AB⋅AF=DF⋅BC，得，∠AFE=∠DFA，可证△AEF∽△DAF，即可得答案；
（2）根据ABCD，得，由，得，再证四边形DFBC是平行四边形，得，最后根据DFBC，即可得答案．
(1)
解：∵DFBC，
∴ ，
∴，
∵AB⋅AF=DF⋅BC，
∴，
∴，
∵∠AFE=∠DFA，
∴△AEF∽△DAF，
∴∠AEF=∠DAF；
(2)
∵ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵DFBC，ABCD，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∴DF=BC，
∴，
∵DFBC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CDBH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．
(2) 由BE2=AB•AE，得到=，再利用AGBC，平行线分线段成比例定理得到=，再结合已知条件即可求解．
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB•AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．如图，已知的顶点在的边上，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据，，证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）首先由，得到，然后进一步证明，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到，，然后根据两角对应相等证明，得到，然后根据线段之间的转化即可证明出．
【解析】证明：（1），，
，
，
，
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似．
24．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由是的角平分线，过点、分别作的垂线，可得，，根据有两角对应相等的三角形相似，可得，即可证明；
（2）由（1）有，利用，，证明出，得，证明出，，通过等量代换得，根据平行线分线段成比例定理即可求证．
（1）
解：证明：平分，
，
又，，
，
，
，
；
（2）
解：证明：由（1）有，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，角平分线、以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．
培优特训练
特训第二阶——拓展培优练
一、解答题
1．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝．
(1)当＝2时，＝______；（用与表示）
(2)当＝时，＝______；
(3)在原图上作出在、上的分向量．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析；分向量分别为，
【分析】（1）根据三角形法则＝，只要求出即可；
（2）由题意可得=，推出BM：BC＝3：7，即可解决问题；
（3）根据平行四边形法则即可解决问题；
(1)
∵＝，BM：CM＝2，
∴＝，
∴＝
．
故答案为：．
(2)
∵＝，
∴＝＝，
∴BM：BC＝3：7，
∴BM：MC＝3：4，
故答案为：．
(3)
如图所示，作平行四边形AEMF：在、上的分向量分别为，．
【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且， BF、CD的延长线交于点G，设， ．
（1）用向量、表示向量 、；
（2）求作关于向量、 的分向量．
【答案】（1）， ；（2）作图见解析．
【分析】（1），可求得 ，则有，再根据 ，得，则 ，据此求解即可
（2）过点作交于点，则有，即点为所求．
【解析】解：（1）∵，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
（2）过点作交于点，
则有：，
∴点为所求．
【点睛】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟悉想性质，特别是向量额的运算是解题的关键．
3．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，．即可得出，即证明；
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同理可得，变形为，即．
（1）
证明：∵AB∥EF
∴．
∵CD∥EF
∴，
∴，
∴；
（2）
关系式为：，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．
由（1）同理可得：
∴
即．
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
4．已知：如图，在中，BD平分，点E为BD延长线上一点，且．
（1）求证：；
（2）若点F为线段BD上一点，，，，的面积为3，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）9
【分析】（1）先证明，再证明，从而可得答案；
（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，可得，从而可得答案.
【解析】解：（1）∵BD平分，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
又∵（BD是平分线），
∴，
∴，
∵，∴，
则，即，
∴，
∴．
∴．
即的面积是9．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法与性质的运用是解题的关键.
5．已知：如图，，，，，点、分别为垂足．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）先证明再证明可得从而可得结论；
（2）如图，连接 证明都是等腰直角三角形，可得 再证明 可得 证明 再证明 利用相似三角形的性质可得答案.
【解析】证明（1） ，
,
（2）如图，连接
都是等腰直角三角形，
,
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，选择合适的判定方法判定三角形相似是解题的关键.
6．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点M在AB边的延长线上，点N在BC边的延长线上，OM交BC于点E，ON交CD于点F，且∠MON=90°，连接MN．
(1)求证：EM=FN；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证△BOM≌△CON和△OBE≌△OFC即可得；
（2）作OG⊥AB，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OG=GA=GB=2、GM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠OCB=∠OBA=∠OCD=45°，
∴∠OBM=∠OCN=135°，
∵∠MON=90°，∠BOC=90°，
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON，∠BOE=∠COF，
在△OBE与△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF，
∴OM-OE=ON-OF，
即EM=FN；
（2）
解：如图，过点O作OG⊥AB于点G，
∵正方形的边长为4，
∴OG=GA=GB=2，
∵BE∥OG，
∴，
∵E为OM的中点，即EM=EO，
∴BM=BG=2，
∴GM=4，
则OM==2，
∴MN=OM=2．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
7．如图，已知，是上一点，，交于，交于，联结．
（1）求证：；
（2）设与的交点为点，如果，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，，由AM=AN，将比例式变形可得，由公共角进而可得，进而可得，即可判断；
（2）根据可得，进而可得，根据AM=AN，可得，进而由得，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得的值．
【解析】解：（1）∵，
∴，，
∴，，
∵AM=AN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示：
由（1）得，，
∴，
∴，
AM=AN，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判，解题的关键是掌握这些知识点．
8．如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与、重合）且，与交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先利用两角对应相等，证明△ACD∽△ABE，进而证明△ADE∽△ACB；
（2）首先证明∠CDE=∠CED=∠BAE，再证明AE平分∠BAE，进而得∠EAC=∠DEC，从而证明，即可得到结论．
【解析】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，
∴∠CAD=∠BAE；
∵CP∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴，即，
又∵∠DAE=∠CAB=45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）解：∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE．
∵∠AEC=∠AED+∠CED=45°+∠CED，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠CED=∠BAE，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE，
∵CP∥AB，
∴∠DCE+∠B=180°，
∴∠DCE=180°-∠B=135°，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE =（180°-∠DCE）=22.5°，
∴∠BAE=∠CAB，即AE为角平分线．
∴∠CAE=∠CEO
又∠ACE=∠ECO=90°
∴
∴，即
∵
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．
9．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
(1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
(2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BCA＝∠DCA＝45°，再利用对顶角相等可得∠ACF＝∠ACE，然后根据角平分线的定义可得∠EAC＝∠FAC，从而证明△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性质即可解答；
（2）根据正方形的性质可得AC＝AB，再利用三角形的外角和已知∠EAF＝45°，可得∠AEC＝∠FAC，然后再利用（1）的结论可证明△ECA∽△ACF，利用相似三角形的性质即可解答．
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC＋∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°，
∴∠AEC＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE•CF，
∴（AB）2＝CE•CF，
∴CE•CF＝2AB2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，．
(1)如图1，当点是线段的中点时，求的值；
(2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域；
(3)当时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过点A作于H，证明，求出，再求出，然后由锐角三角函数定义求解即可；
（2）过点作，交于点，证明，由相似三角形的性质得到，据此解题；
（3）①当点D在BC延长线上时，过点A作于点H，证明，求出，则，得到，再由三角形面积公式解题；
②当点D在BC上时，过点A作于H，过点C作交AD的延长线于M，证明，求出，再证明，得到，然后证明，求出，则，得到即可解题．
（1）
解：在中，，，，
∴
过点作，垂足为，
∴
在与中，
∴，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
在中，
（2）
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
如图，过点作，交于点，
∵，，
∵，，，，
∴，
∴
在与中，，
∴
∴，
∴，
∴
（3）
情况一：当点在的延长线上时，可证
∴，
∴．
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即
∴
情况二：当点在的边上时，可证
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
类似的，如图，过点作交的延长线于点，
可求得，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数解析式、锐角三角函数定义、分类讨论等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．
11．如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．
(1)求的长；
(2)当平行四边形是矩形时，求的长；
(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】（1）由，平分，可知，利用等角对等边，可知AD=BD，证，利用相似三角形的性质，即可求解；
（2）过点D作DN⊥AB于N，如图，利用等腰三角形的性质，可得，利用矩形的性质，可得，从而可得，利用平行线分线段成比例，即可求解；
（3）可知四边形AEPQ是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，，可得，，利用相似三角形的性质，即可求解．
（1）
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴AD=BD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵AD=BD，
∴AD=5，
∵，
∴，
∴，
过点D作DN⊥AB于N，如图，
∵AD=BD，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴；
（3）
解：如图，
设，
∵，
∴四边形AEPQ是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
但，此时，点E不在线段AB上，故舍去，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，解题关键是正确找到或构造相似三角形．
12．已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．
(1)求证：；
(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当与相似时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先证明△ADP∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出，再由∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP，然后根据对应边成比例即可求解；
（2）由△EPD∽△EAP，得，得出AE与DE的关系，作EH⊥AB，由PD∥HE可得出，进而可得出y与x的关系式；
（3）由△PEH∽△BAC，得，当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
（1）
证明：，为公共角，
， ，
，，
， ，
；
（2）
解：， ，
， ，
作于点，
，，
，PH⊥AB，
，，
，
，，
即．
（3）
解：，
∴∠PEH=∠EPD，
，
∴∠PEH=∠A，
∵∠PHE=∠C，
，
，
，
当与相似时，
①当时，，
，
解得：，；
②当时，同理可得：．
综上，当与相似时，的面积为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
13．阅读材料，解决下列问题：
(1)特例感知：如图（一），已知边长为的等边的重心为点，求与的面积．
(2)性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为常数？如果是，分别求出这两个常数；如果不是，请说明理由．
(3)性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为10，求的长度；
②若，求正方形的面积．
【答案】(1)，；
(2)，是定值；，是定值；
(3)①；②72．
【分析】（1）通过证明，可得，运用勾股定理求出的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①连接，可知点为的中点，点为的中点，从而可以得到点是的重心，然后即可得到和的关系，再根据勾股定理求出的长即可解决问题；
②分别求出和即可求得正方形的面积．
（1）
解：连接，如图1中，
点是的重心，
，是，边上的中线，
，为，边上的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，，
，，
，；
（2）
解：由（1）同理可得，，是定值；点到的距离和点到的距离之比为，
则和的面积之比等于点到的距离和点到的距离之比，
故，是定值；
（3）
解：①连接交于点，
点为的中点，点为的中点，
点是的重心，
，
为的中点，
，
，
；
②，且，
，
，
，
，
，
，
正方形的面积．
【点睛】本题是四边形综合题，考查的是三角形重心的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．
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