沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训11期末历年解答压轴题(一模)(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训11期末历年解答压轴题(一模)(原卷版+解析)，共85页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·上海静安·九年级期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．
(1)求证：；
(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；
(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．
2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
3．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
(1)当点E在线段AB上时，求证：；
(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
4．（2021·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA时，求t的值；
（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；
（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．
5．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．
(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
6．（2022·上海崇明·九年级期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：
(1)当时，求的值；
(2)当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值．
7．（2022·上海闵行·九年级期末）已知四边形 是菱形， ， 点 在射线 上， 点 在射线 上，且 ．
(1)如图， 如果 ， 求证： ；
(2)如图， 当点 在 的延长线上时， 如果 ， 设 ， 试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围
(3)联结 ， 当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
8．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
9．（2022·上海松江·九年级期末）如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
10．（2022·上海嘉定·九年级期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，．
(1)如图1，如果点与点重合，求的余切值；
(2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域；
(3)如果，求的面积．
11．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF
(1)求证：AE＝AC；
(2)设，，求关于的函数关系式及其定义域；
(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
12．（2022·上海杨浦·九年级期末）如图， 已知在 Rt 中， ， 点 为射线 上一动点， 且 ， 点 关于直线 的对称点为点 ， 射线 与射线 交于点 ．
(1)当点 在边 上时，
① 求证： ；
②延长 与边 的延长线相交于点 ， 如果 与 相似，求线段 的长；
(2)联结 ， 如果 ， 求 的值．
13．（2022·上海青浦·九年级期末）在四边形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．
(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
14．（2022·上海金山·九年级期末）已知：如图，直线MN，垂足为，，点是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如果，，求关于的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．
15．（2022·上海浦东新·九年级期末）在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

（1）如图1所示，求证：∽；
（2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求线段AP的长．
16．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
17．（2022·上海长宁·九年级期末）已知, 在 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 ．
（1）如图 1, 如果 , 求 的值；
（2）联结, 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点在边上时, 联结, 求线段的长．
18．（2021·上海浦东新·九年级期末）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．
（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．
19．（2021·上海徐汇·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
20．（2021·上海市新泾中学九年级期末）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
21．（2021·上海杨浦·一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．
（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
22．（2021·上海青浦·一模）在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；
（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．
23．（2021·上海上海·一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点．
（1）当时，求正方形的面积；
（2）延长交于点，如果和相似，求的值；
（3）当时，求的长．
24．（2021·上海静安·一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
25．（2021·上海闵行·一模）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
26．（2021·上海外国语大学附属大境初级中学一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），连接、分别交边于点、，．
（1）当时，求的长
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长．
特训11 期末历年解答压轴题（一模）
一、解答题
1．（2022·上海静安·九年级期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．
(1)求证：；
(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；
(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；
（2）如图，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形的性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得，根据△ABE∽△AED且相似比为3:2，可求得，由可求答案；
（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE=，进而得出，再利用△ADE∽△ECD，进而求得：，再结合题意得出答案．
（1）
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵
∴
∴△ABE∽△AED
∵∠ABE=∠ADE
∴
∴，∠AED=∠CDE
∴∠ADE=∠DCE，
∴△ADE∽△ECD
∴
∴
（2）
如图，过点B作BG⊥AE
∵BE=9=AB
∴△ABE是等腰三角形
∴G为AE的中点，
由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，
∵，AB=BE=9，AE=6
∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3
∴△ADE≌△ECD（SAS）
在Rt△ABG中，
BG=
∴
∵△ABE∽△AED且相似比为3:2
∴
∴=
∴
（3）
由（1）知：△ABE∽△AED
∴
∵BE=x，AB=9,AE=6，
∴
∴
由（1）知： ,
∴
∵△ADE∽△ECD







y关于x的函数解析式为
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)30
【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形FECG为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE≌△DCG，从而得到CE=CG，即四边形FECG为正方形，即可证得结论；
（2）在（1）的基础之上，连接CF，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF和△DFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF和EF之间的关系，从而表示出BE的长度，即可求出∠BCE的正切值，再根据余角的关系证明∠ABP=∠BCE，即可得出结论；
（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆，即可得到在变化过程中，∠AFC始终为90°，从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．
（1）
：如图所示，作CG⊥CE，交FD延长线于G点，
∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，
∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，∠G=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，BC=DC，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，
∴∠BCE+∠ECD =∠ECD+∠DCG，
即：∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG(AAS)，
∴CE=CG，
∴四边形FECG为正方形，
∴CE=EF；
（2）
解：如图所示，连接CF，
由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，则△CEF为等腰直角三角形，
由旋转的性质得：∠PAD=n°，AP=AD，
∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，
∵AP=AB，
∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，
∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFP=90°，
∴△DFP也为等腰直角三角形，PF=DF，
∴△DFP∽△CEF，
∵，
∴，
设PF= DF=x，则FE=CE=3x，
由（1）知四边形CEFG为正方形，
∴FG=FE=3x，
∴DG=FG-DF=2x，
∵△BCE≌△DCG，
∴BE=DG=2x，
∴在Rt△BEC中，，
∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ABP=∠BCE，
∴；
（3）
解：∵，
∴如图所示，连接AF和对角线AC，
由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，
∴∠CFD=45°，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，AC=AB，
∴∠CAD=∠CFD，
∴点A、C、D、F四点共圆，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∵AF=AB，
∴AF=AC，
则在Rt△AFC中，，
∵∠ACF为锐角，
∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，
∵∠CAD=45°，
∴∠FAD=60°-45°=15°，
∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，
∴△AFP≌△AFD，
∴∠FAD=∠FAP=15°，
∴∠PAD=30°，
∴n=30．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键．
3．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
(1)当点E在线段AB上时，求证：；
(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理可得，，由其性质：相似三角形的对应边成比例，进行等量代换即可证明；
（2）根据正切函数设，，利用勾股定理确定三边长度，根据（1）中，代入可确定y与x的函数关系式，考虑当时，，当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值；当时，，不符合题意，不进行讨论；综合即可得出自变量的取值范围；
（3）分两种情况进行讨论：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，根据相似三角形的性质及角之间的关系可得，再由等腰三角形三线合一的性质得出，根据三角形等面积法即可得出，由此确定CD；当点G在AC的延长线上时，根据相似三角形的性质及三角形外角的性质可得这种情况不存在，综合两种情况即可得出结果．
（1）
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
当时，，符合题意，
∴；
当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，
∴，
当时，
，不符合题意，不进行讨论；
综上可得：；
（3）
解：如图所示：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵AM平分，
∴，
由得，
，
解得：，
∴；
如图所示：当点G在AC的延长线上时，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
这种情况不存在，
∴．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
4．（2021·上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA时，求t的值；
（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；
（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．
【答案】（1）t＝3；（2）P（t+2，t﹣4）；（3）t的值为秒或4秒或16秒或秒
【分析】（1）如图1，过点C作CP⊥OA，交x轴于点P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，进而求出结论；
（2）t＜10时，P在OA或AB上运动，所以分两种情况：①当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，OP=t，可得P的坐标；②当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P的坐标；
（3）设切点为G，连接PG，分⊙P与四边相切，其中P在AB和BC时，与各边都不相切，所以分两种情况：
①当P在OA上时，根据三角函数列式可得t的值；
②当P在OC上时，同理可得结论．
【解析】（1）如图1，
当CP⊥OA时，sin∠AO
在Rt△OPC中，OC＝5，PC＝4，则OP＝3，
∴
（2）当0≤t≤5时，如图1，点P在OA上，
∴P（t，0）；
当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，
过P作PH⊥x轴，垂足为H，
则∠AOC＝∠PAH，
∴sin∠PAH＝sin∠AO
∴
∴
（3）设切点为G，连接PG，
分两种情况：
①当P在OA上时，如图3，
⊙P与直线AB相切，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAG，
∴sin∠AOC＝sin∠OA
∴
⊙P与BC相切时，如图4，
则PG＝t＝OP＝4；
②当点P在OC上时，
⊙P与AB相切时，如图5，
∴OP＝PG＝4，
∴4×5﹣t＝4，
t＝16，
⊙P与直线BC相切时，如图6，
∴PG⊥BC，
∵BC∥AO，
∴∠AOC＝∠GCP，
∴sin∠AOC＝sin∠GC
∵OP＝PG＝20﹣t，
∴
∴
综上所述，t的值
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．
5．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y．
(1)当x＝3时，求tan∠BCE的值；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长．
【答案】(1)
(2)y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
(3)．
【分析】（1）运用直角关系证明∠BCE=∠DAC即可；
（2）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．利用面积法解决问题即可；
（3）作DH⊥AB于H．设BH=x，想办法求出tan∠BAD的值，再利用相似三角形的性质证明∠CBG=∠BAD即可解决问题．
(1)
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
∵AD⊥CE，
∴∠AFC=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠DCF=90°，∠ACF+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
∴．
(2)
作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N．则四边形EMCN是矩形．
∵，
∵EM=CN，，
∴
∴y=4(4−x)9（0＜x＜4）．
(3)
作DH⊥AB于H．设BH=p．
∵BC=4，BD=3，
∴CD=1，
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，，
∵DH2=AD2-AH2=BD2-BH2，
∴10-（5-p）2=32-p2，
∴p=，
∴DH==，AH==，
∴，
当△MNF∽△ABC，
∴∠MNF=∠ABC，
∵∠MNF=∠ABN+∠BAD，∠ABD=∠ABN+∠CBG，
∴∠CBG=∠BAD，
∴tan∠CBG=tan∠BAD==，
∴CG=，
∴AG=AC-CG=．
【点睛】本题考查相似形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，学会用转化的思想思考问题．
6．（2022·上海崇明·九年级期末）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将ADE绕点D针旋转90°，E点落在点F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．求证：
(1)当时，求的值；
(2)当点E在线段AB上，如果，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(3)联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当时，求AE的值．
【答案】(1)；
(2)，0≤x≤1；
(3)AE的值为或．
【分析】（1）过点E作EH⊥BD与H，根据正方形的边长为1，，求出EB=1-，根据正方形性质可求∠ABD=45°，根据EH⊥BD，得出∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，求出EH=BH=BEsin45=，以及 DH=DB-BH=，利用三角函数定义求解即可；
（2）解：根据AE=x，求出BE=1-x，根据旋转将△ADE绕点D针旋转90°，得到△DCF，CF=AE=x，根据勾股定理ED=FD=,EF=，可证△DEF为等腰直角三角形，先证△BEM∽△FDM，得出，再证△EMD∽△BMF，得出，两式相乘得出，整理即可；
（3）当点G在BC上，，先证△BGM∽△DAM，得出，由（2）知△BEM∽△FDM，得出，得出，结合，消去y， 当点G在CB延长线上，，过M作ML⊥BC，交直线BC于L，证明△BGM∽△DAM，得出，根据∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，证出△MLB为等腰直角三角形，再证△MLB∽△DCB，，CD=1，ML=，ML∥BE，结合△LMF∽△BEF，得出即解方程即可．
（1）解：过点E作EH⊥BD与H，∵正方形的边长为1，，∴EB=1-，∵BD为正方形对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∵EH⊥BD，∴∠BEH=180°-∠EBH-∠EHB=180°-45°-90°=45°，∴EH=BH，∴EH=BH=BEsin45=，AB=BDcs45°，∴，∴DH=DB-BH=，；
（2）解：如上图，∵AE=x，∴BE=1-x，∵将△ADE绕点D针旋转90°，得到△DCF，∴CF=AE=x，ED=FD=,∴BF=BC+CF=1+x，在Rt△EBF中EF=，∵∠EDF=90°，ED=FD，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE=∠DEF=45°，∴∠EBM=∠MFD=45°，∵∠EMB=∠DMF，∴△BEM∽△FDM，∴，即，∵∠DEM=∠FBM=45°，∠EMD=∠BMF，∴△EMD∽△BMF，∴，即，∴，∴，∴即，∴，0≤x≤1；
（3）解：当点G在BC上，，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BG，∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∵由（2）知△BEM∽△FDM，∴，∵DB=，∴，∴，∴，∵，∴即，解，舍去；当点G在CB延长线上，，过M作ML⊥BC，交直线BC于L，∵GB∥AD，∴∴∠DAM=∠BGM，∠ADM=∠GBM，∴△BGM∽△DAM，∴，∴，∴，∵∠LBM=∠CBD=45°，ML⊥BC，∴△MLB为等腰直角三角形，∵ML∥CD，∴∠LMB=∠CDB，∠L=∠DCB，∴△MLB∽△DCB，∴，CD=1，∴ML=∵ML∥BE，∴∠L=∠FBE，∠LMF=∠BEF，∴△LMF∽△BEF，∴，∵BE=AE-AB=x-1，LF=LB+BC+CF=，BF=BC+CF=1+x，∴，整理得：，解得，舍去，∴AE的值为或．
【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转先证，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数定义，三角形相似判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，函数关系式，本题难度大，利用辅助线狗仔三角形相似是解题关键．
7．（2022·上海闵行·九年级期末）已知四边形 是菱形， ， 点 在射线 上， 点 在射线 上，且 ．
(1)如图， 如果 ， 求证： ；
(2)如图， 当点 在 的延长线上时， 如果 ， 设 ， 试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围
(3)联结 ， 当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
【答案】(1)证明过程详见解答；
(2)
(3)或
【分析】（1）先证明四边形是正方形，再证明，从而命题得证；
（2）在上截取，先证明是正三角形，再证明，进一步求得结果；
（3）当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，证明，，可推出，再证明，可推出，从而求得，当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，作于，先根据求得，进而求得，根据，，和，从而求得，根据三角形三边关系否定，从而确定的结果．
(1)
解：证明：四边形是菱形，，
菱形是正方形，
，，
，
，
；
(2)
解：如图1，
在上截取，
四边形是菱形，
，，
是正三角形，
，，
，，
，
，
，
；
(3)
如图2，
当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，
，，，，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
①，
，
，
，
②，
由①②得，
，
，
如图3，
当时，作于，以为圆心，为半径画弧交于，作于，
作于，
，
，
由得，
，
，
，
由第一种情形知：，，
，，
①，②，
由①②得，
，
，
，
，
即，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
8．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
(1)当点D是边AC中点时，求的值；
(2)求证：；
(3)当时，求．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)5：3
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形的等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可；
（2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解．
（1）
解：过D作DH⊥AB于H，
在中，，，
设，，
∴，
∵D为AC的中点，
∴AD= AC= ，
∴，
∴，
在Rt△AHD中，，
∴BH=AB－AH= －= ，
在Rt△BHD中，；
（2）
证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，
∴△DEB∽△ADB，
∴，
∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴即；
（3）
解：由可设，，则DF=4k，
∵，
∴ct∠BDE=ct∠A=，
∴，
∴，又∠F=90°，
∴，
，
∵△DEB∽△ADB，
∴即，
∴AB=8k，
∴AE=AB－EB=5k，
∴AE：EB=5k：3k=5：3．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．（2022·上海松江·九年级期末）如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；
（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根据△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
（2）∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
10．（2022·上海嘉定·九年级期末）在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，．
(1)如图1，如果点与点重合，求的余切值；
(2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域；
(3)如果，求的面积．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）设AB=3k，AC=4k，利用平行四边形的性质，构造直角三角形，用余切的定义计算即可；
（2）利用平行四边形的性质，得到∠EDC=∠DAF，∠CED=∠CDF=∠DFA，从而证明△∽△，用性质证明即可；
（3）分点F在AB上和在AB的延长线上，两种情形计算即可．
（1）
∵，
∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC==2k，CD∥AB，
∵AC⊥CD，
∴AC⊥AB，
∴BC==5k，
∵四边形ABCD的周长为16，
∴5k+5k +3k +3k=16，
解得k=1，
∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2，
∴ct∠AFD=；
（2）
∵∥，
∴,，
∵，
∴，
∴△∽△，
∴，
∵，，，
∴， ， ，
∴，
∴，
定义域是：.
（3）
解：点在射线上都能得到：△∽△
∴，
①当点在边上，
∵，∴，
由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点在的延长线上
∵，，
∴，
由题意， 得，
∴，
∴，
∴，
综上所述，△的面积是或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用三角形的相似是解题的关键．
11．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF
(1)求证：AE＝AC；
(2)设，，求关于的函数关系式及其定义域；
(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）由题意可证得，，即∠EAB=∠CAB，则可得，故AE＝AC．
（2）可证得，故有，在中由勾股定理有，联立后化简可得出，BC的定义域为．
（3）由（1）（2）问可设，，，，若△ABC与△DEF相似时，则有和两种情况，再由对应边成比例列式代入化简即可求得x的值．
（1）
∵AB2＝BC·BD
∴
又∵∠ACB＝∠DAB＝90°
∴
∴∠ADB=∠CAB
在Rt△EBA与Rt△ABD中
∠AEB=∠DAB=90°，∠ABD=∠ABD
∴
∴∠ADB=∠EAB
∴∠EAB =∠CAB
在Rt△EBA与Rt△CAB中
∠EAB =∠CAB
AB=AB
∠ACB＝∠AEB＝90°
∴
∴AE=AC
（2）
∵∠ACB=∠FEB=90°，∠F=∠F
∴
∴
∴
在中由勾股定理有
即
代入化简得
由（1）问知AC=AE，BE=BC=x
则
式子左右两边减去得
式子左右两边同时除以得
∵
∴
在中由勾股定理有
即
∴
移项、合并同类项得，
由图象可知BC的取值范围为．
（3）
由（1）、（2）问可得
，，，
当时
由（1）问知
即
则
化简为
约分得
移向，合并同类项得
则或（舍）
当时
由（1）问知
即
则
化简得
约分得
移项得
去括号得
移向、合并同类项得
则或（舍）
综上所述当△ABC与△DEF相似时， BC的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及证明，全等三角形的判定及证明，勾股定理，需熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定及性质，本题解题过程中计算过程较复杂繁琐，耐心细致的计算是解题的关键．
12．（2022·上海杨浦·九年级期末）如图， 已知在 Rt 中， ， 点 为射线 上一动点， 且 ， 点 关于直线 的对称点为点 ， 射线 与射线 交于点 ．
(1)当点 在边 上时，
① 求证： ；
②延长 与边 的延长线相交于点 ， 如果 与 相似，求线段 的长；
(2)联结 ， 如果 ， 求 的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)3或4
【分析】（1）① 如图1，连接CE，DE，根据题意，得到CB=CE=CA，利用等腰三角形的底角与顶角的关系，三角形外角的性质，可以证明；
②连接BE，交CD于定Q，利用三角形外角的性质，确定△DCB∽△BGE，利用相似，证明△ABG是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，用BE表示GE，后用相似三角形的性质求解即可；
（2）分点D在AB上和在AB的延长上，两种情形，运用等腰三角形的性质，勾股定理分别计算即可．
(1)
① 如图1，连接CE，DE，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴CE=CB，BD=DE，∠ECD=∠BCD，∠ACE=90°-2∠ECD，
∵AC=BC，
∴AC=EC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵2∠AEC=180°-∠ACE=180°-90°+2∠ECD，
∴∠AEC=45°+∠ECD，
∵∠AEC=∠AFC +∠ECD，
∴∠AEC=45°+∠ECD=∠AFC +∠ECD，
∴∠AFC=45°；
②连接BE，交CD于定Q，
根据①得∠EAB =∠DCB，∠AFC=45°，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴∠EFC=∠BFC=45°，CF⊥BE，
∴BF⊥AG，△BEF是等腰直角三角形， BF=EF，
∵∠BEG＞∠EAB，与 相似，
∴△DCB∽△BGE，
∴∠EAB =∠DCB=∠BGE，∠DBC=∠BEG=45°，
∴AB=BG，∠EAB+∠EBA=∠EAB+∠BGE，
∴∠EAB=∠EBA=∠BGE，
∴AE=BE=BF=EF，
∵BF⊥AG，
∴AF=FG=AE+EF=BE+EF=BE+BE=BE，
∴GE=EF+FG=BE+BE= BE，
∴=，
∵△DCB∽△BGE，
∴，
∴，
∴BD==，
(2)
过点C作CM⊥AE，垂足为M，
根据①②知，△ACE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，
∴AM=ME，BF⊥AF，
设AM=ME=x，CM=y，
∵AC=BC=5，∠ACB=90°，，
∴，AB=，xy=12，
∴
==49，
∴x+y=7或x+y=-7（舍去）；
∴
==1，
∴x-y=1或x-y=-1；
∴或
∴或
∴或
∴AE=8或AE=6，
当点D在AB上时，如图3所示，AE=6，
设BF=EF=m，
∴，
∴，
解得m=1，m=-7（舍去），
∴=3；
当点D在AB的延长线上时，如图4所示，AE=8，
设BF=EF=n，
∴，
∴，
解得n=1，n=7（舍去），
∴=4；
∴或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定性质，等腰三角形的判定和性质，完全平方公式，勾股定理，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，分类思想，熟练掌握勾股定理，三角形的相似，一元二次方程的解法是解题的关键．
13．（2022·上海青浦·九年级期末）在四边形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．
(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G，进而依据正切值和勾股定理进行分析计算即可；
（2）由题意过点E作EM⊥BC，垂足为点M，由（1）得，tan∠C=，进而得出，最后利用勾股定理得出进行计算即可；
（3）根据题意过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N,证明四边形DCNE是平行四边形以及△BEF ∽△BNE，进而过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q利用进行计算求解.
（1）
解：过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．
可得：AD=HG=2，AH=DG，
∵tan∠ABC=2，AB=，
∴AH=2，BH=1，
∴DG=2，
∵DC=，
∴CG=，
∴BC=BH+HG+GC=1+2+4=7．
（2）
解：过点E作EM⊥BC，垂足为点M．可得EM=2，
由（1）得，tan∠C=，
∵FB=FE，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠FEB=∠C，
∴∠FBE=∠C，
∴tan∠FBE=，
∴，
∴BM=4，
∵，
∴，
∴BF=．
（3）
解：过点E作，交BC的延长线于点N．
∵，
∴四边形DCNE是平行四边形，
∴DE=CN，∠DCB=∠ENB，
∵∠FEB=∠DCB，
∴∠FEB=∠ENB，
又∵∠EBF=∠NBE，
∴△BEF ∽△BNE,
∴,
∴，
过点E作EM⊥BC，垂足为点M．可得EM=2，BM=x+3．
∴，
∴，
∴
当时，
解得： （负根舍去）
．
【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理以及相似三角形的判定与性质利用数形结合思维分析是解题的关键.
14．（2022·上海金山·九年级期末）已知：如图，直线MN，垂足为，，点是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如果，，求关于的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据直线MN，，可得，再由BF平分，可得，即可求证；
（2）作垂足为点H，根据，可得，从而得到，进而得到，再由角平分线的性质定理，可得．再证得，可得，即可求解；
（3）根据题意可得：点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似．然后分两种情况讨论即可求解．
【解析】解：（1）∵直线MN，，
∴，，
∴，
∵BF平分，
∴，
∴；
（2）作垂足为点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵BF平分，，，
∴．
∵，直线MN，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）如图，连接DF，
设，由，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似．
∵，
若，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴，
解得：（舍去负值），∴．
若，则 ，
∴ ，即，
∵∠BED=∠AEF，
∴△AEF∽△BED，
∴∠AFE=∠BDE，
由（2）得：，
∴是锐角，而是直角，所以这种情况不成立．
综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，AE的长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
15．（2022·上海浦东新·九年级期末）在中，，，，点O是边AC上的一个动点，过O作，D为垂足，在线段AC上取，联结ED，作，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

（1）如图1所示，求证：∽；
（2）设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求线段AP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或6．
【分析】（1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．证明∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=x；
（3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得；再将y=x，BP=4-AP=4-x代入，即可求得AP的长．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∽；
（2）∵，，，
∴AC=5，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵∽，
∴，即，
∴，
∴，
∵OA+OE∴x+5，即x，
∴；
（3）①当点P在线段AB上时，，
∵∽，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当点P在AB延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
过点E作，垂足是点G，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．此题还是一个综合性很强的题目，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力．
16．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
【答案】（1）见详解；（2）①；②m的值为或
【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，然后问题可求证；
（2）①由（1）及题意易得，则有△ABC是等腰三角形，然后可得BD=CD=5，进而根据三角函数可得，则，最后根据三角形面积公式可求解；②由题意可分当BG∥CE时和当CG∥BE时，然后分类求解即可．
【解析】（1）证明：∵锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DG=FD，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）①∵，
∴，
∵∠ABG=∠BDG=90°，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴在Rt△BDG中，，
∴，
∴；
②由①可知，
∵四边形BGCE是梯形，且当BG∥CE时，
∴，
∵∠BDG=90°，
∴，
∴△BDG和△ADC都为等腰直角三角形，
设BD=x，则CD=AD=10-x，
在Rt△ADB中，，且AB=8，
即，解得：，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，
∴；
当CG∥BE时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴；
综上所示：m的值为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
17．（2022·上海长宁·九年级期末）已知, 在 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 ．
（1）如图 1, 如果 , 求 的值；
（2）联结, 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
（3）当点在边上时, 联结, 求线段的长．
【答案】（1）0.09，（2），（3）
【分析】（1）证△ABC∽△OEC和△OBD∽△AED，求出相似比，利用相似三角形的性质可求；
（2）设AE＝OE＝OC=x，根据（1）中相似列出比例式即可求解；
（3）证明A、B、O、E四点共圆，得出AO∥DC，设OC=x，OB=8-x，利用相似列出比例式求解即可．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，
∴△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴CE＝3.2，
∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，
∴△OBD∽△AED，
∴，
∴．
（2）∵ 是以为腰的等腰三角形，
∴AE＝OE，
∵OC＝OE，
∴设AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
解得，，经检验，是原方程的解；
则的长是为．
（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，
∵∠OEC+∠OEA＝180°，
∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴∠DBE＝∠AOD，
∵，
∴，
∴AO∥DC，
∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，
∴，，
∴，
设OC=x，OB=8-x，
∵△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
解得，，
∴
∴，
解得，，（舍去），
则的长是为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行证明推理和计算．
18．（2021·上海浦东新·九年级期末）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．
（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先证明：可得：，结合：可得：再设 可得而，建立方程：可得： 再利用相似三角形的性质可得答案．
（2）延长相交于，过作于 连接 先证明：可得： 证明： 设 再设 利用求解，可得 从而可得答案；
（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使 证明： 设 证明：可得：再证明：利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．
【解析】解：（1） 四边形ABCD是菱形，
四边形ABCD是正方形，






，



设


而




（2）延长相交于，过作于 连接
菱形，


为的中点，


,



设 则

设





由菱形可得：

（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使



设
则

菱形










，
解得：
经检验：是原方程组的解，

即菱形的边长为：
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．
19．（2021·上海徐汇·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
（1）
如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）
如图2中，
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝==，
∴AG＝AC﹣CG＝，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cs∠GAM＝cs∠CBG＝，
∴AM＝，
∵AB＝=13，
∴sin∠ABM＝．
（3）
如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，
∵，
∴，
∴x＝或（舍弃），
∴CD＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的全等，三角形相似的性质和判定，一元二次方程的解法，三角函数的正弦值，熟练掌握勾股定理，准确解一元二次方程，正弦值是解题的关键．
20．（2021·上海市新泾中学九年级期末）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；
（3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可．
【解析】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1
易得四边形ADHM是正方形，
∵
又∠FED=∠MEA
∴△
∴
∵
∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90°
∵，
∴∠FMH+∠HMC=90°
∴∠FMH=∠HCM
∴△FMH∽△MCH
∴
∴，
∴
（2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2，
∵，
∴，
∵MH⊥DC，
∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90°
∵∠FMC=90°，
∴∠FMH+∠HMC=90°
∴∠FMH=∠HCM
∴
∴，即，
∴
∴，，
∴
∴
由可得
∴定义域为
（3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，连接AG，AF，如图
∵
∵
∴，
∵，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∴垂直平分
∴
∵
∴
点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，连接DM，如图
∵，
∴，
∴
∵∠，∠FMC为直角，
∴，垂直平分
∴，，
∴
综上，或
【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
21．（2021·上海杨浦·一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．
（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
【答案】（1）；（2）；（3）4-4、或．
【分析】（1））过点D作于H，在中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；
（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示， 再证明
由即得到与x的关系；
（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，继而解得x、y的值即可解题．
【解析】（1）过点D作于H，
在中，
；
（2）过E作EH⊥CB于H
∵，
∴．
∴ 即．
∴ ．
∵EH⊥CB，，
∴ ，．
∴
∵，
∴ ．
∵
∴．
∵
∴．
∴即．
整理得，；
（3）在Rt△MDB中，DB=4-x,
所以MD=MB=
在Rt△ADM中，AM=AB一MB=
所以tan∠DAB=
按照点F的位置，分两种情况讨论△CDF与△AGE相似:
①点F在线段AC上，此时y=4-2x.
如图，
如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得
结合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.
解得x=4-4 或-4-4 （舍去）,
如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得
结合y=4-2x,整理，得x2-16x+16=0.
解得或（舍去）
②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4
如图
如果∠FDC=∠DAB,由结合y=2x-4，整理，得
解得x=或（舍去）
如果∠CFD=∠DAB, 与y=2x-4
整理，得
此方程无解.
综上，CD的值为4-4、或．
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．
22．（2021·上海青浦·一模）在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．
（1）求证：PQ⊥AB；
（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；
（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）＜BP＜ ．
【分析】（1）由勾股定理得出AB，再根据相似三角形的判定得出△ABC∽△PBQ即可；
（2）根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分情况考虑P、Q在射线上，不存在△PDQ，此时P、Q继续往右移动，点将不可能位于ABC内，BP应小于当前BP的数值；P在线段BC上时，由特殊锐角三角函数值求得PB即可．
【解析】（1）∵∠C= 90°，AC=2，BC=，
∴在Rt△ABC中
AB= =
∴ =
∵BQ=BP
∴ =
∴= =
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△PBQ
∴∠C=∠PQB=90°
∴PQ⊥AB；
（2）当PQD是直角三角形时，
∵BQ与BP有比例关系，D点固定
∴直角三角形PQD的直角也固定，为∠QPD=90°
由（1）得PQ⊥AB
∴∠PQB=∠QPD=90°
∴AB∥PD
∴△CPD∽△CBA
则
∴P为BC的中点
∴BP=BC=×=
（3）如图：
当P、Q、D共线时，此时不存在△PDQ，在此基础上，P继续沿射线BC方向移动，此时将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点不可能位于ABC内，
∴BP应小于当前BP的数值，
在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，
∴tanB=，
∴∠B=30°，∠A=90°-30°=60°，
由（1）得PQ⊥AB，PCD是直角三角形，∠B=30°，∴∠BPQ=60°，
在Rt△PCD中，DC=AC=1，则CP=×1=，
∴BP=+=，
∴BP＜；
如图：当点D′落在BC上时，
由于∠BPQ=60°，
∴∠QPD=∠QPB=60°，
∴∠DPC=180°-∠QPD-∠QPB=60°，
此时，当P继续沿BC方向运动（BP＜），必定会落在ABC内，
在Rt△PCD中，CP=DC=，BP=BC-CP=-=，
∴BP>，
综上＜BP＜．
【点睛】此题主要考察了相似三角形的判定及性质，特殊锐角三角函数以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质，特殊锐角三角函数以及勾股定理的应用．
23．（2021·上海上海·一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点．
（1）当时，求正方形的面积；
（2）延长交于点，如果和相似，求的值；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，设CD=x，则AD=12-x，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x的值，再利用正方形的面积公式求解即可；
（2）先证∠BAC=∠EBF，设边长为x，利用三角函数求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可；
（3）设边长为x，利用△BCG∽△EDG，得出，然后联立，根据AG=AE，求解即可．
【解析】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= ，
设CD=x，则AD=12-x，
在△ADE中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，
在△BFE中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，
在△ABE中，AE⊥BE，
∴AB²=AE²+BE²，
即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=，
∴正方形的面积=CD²=×=；
（2）如图：延长ED交AB于H，
∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH，
∴∠BEH=∠BAG，
∵DE∥EF，
∴∠BEH=∠EBF，
∴∠BAC=∠EBF，
设边长为x，
则tan∠EBF=，tan∠BAC=，
令=，则x=,
∵，
∵，
∴BH=13-AH=，HD=，
∴HE=HD+x= ，
过H作HM，与BE相交于M，
,
；
（3）∵DE//BC,
∴△BCG∽△EDG，
设边长为x，
∴，
∵DG+GC=x，
∴DG=，GC=，
则 ，令AG=AE，
则CD=x=或x=（舍去）．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．
24．（2021·上海静安·一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=， AB=5，AC=9．
（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；
（2）当点E在边AN上时，求AD的长；
（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．
【答案】（1）证明见解析；（2）AD=；（3）．定义域为：．
【分析】（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到，代入求出CE，再根据求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=根据△ECB∽△ABD得到，代入化简为即可求解．
【解析】解：（1）∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．
∵∠A=∠DBE，
∴∠A=∠BEC．
∴△ABD∽△ECB，
∴．
∵，
∴，
∴DF·CE=BC·BE．
（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠EBD=∠A，
又∵∠BCE=∠ECA，
∴△CEB∽△CAE，
∴，
∴．
∵AB=5，AC=9，
∴BC=4，
∴，
∴CE=6．
∵，
∴．
在Rt△ABH中，，
∴AH=．
DH=．
AD=．
（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=．
．
∵△ECB∽△ABD，
∴．
∵，
∴，
∴．
定义域为．
【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．
25．（2021·上海闵行·一模）如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）和；
【分析】（1）根据垂直关系得到，根据AA即可证明，得到，再根据正切的定义即可求解；
（2）先证明，得到，代入得到，故可求解；
（3）根据题意分和，分别列出比例式求出x的值即可求解．
【解析】解：（1）∵，
∴
在和中
∴
∵，，
∴
∴
（2）由（1）可知
∴
∴
∵ABCD
∴，
∴
∴
∴，
（3）∵，，
过点E作EM⊥CD于M点，∴四边形AEMD为矩形
∴MH=DH-DM=DH-AE=y-x，
∴，，，
∵ABCD
∴
∴
∴
∴
∵，
若，
∴
∴
即
化简得
∵
∴
化简得
解得或(舍去)
若，则有
∴
∴
∴
综上，和时与相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（2021·上海外国语大学附属大境初级中学一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），连接、分别交边于点、，．
（1）当时，求的长
（2）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）或或．
【分析】
【解析】（1）在Rt△ABD中，AD=1，AB=3，
∴BD=，
∵，
∴△ADF∽△CBF，
∴=，
∴BF=4DF，
∴
（2）∵△ADF∽△CBF，
∴，
∵BD=，
∴BF=，DF=，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴AF=，
∵AM∥BC，
∴∠CAD=∠C，
∵，
∴∠CAD=∠DBE，
∵∠AFD=∠BFG，
∴△ADF∽△BGF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵△ADF∽△BGF，
∴，
∴，
∴，
∵AM∥BC，
∴∠DBE=∠C，∠DEB=∠CBG，
∴△BDE∽△CGB，
∴，
∴，
∴GE=BE-BG=，
∵AM∥BC，
∴△DEG∽△HBG，
∴，
∴BH=，
分三种情况：
①当BD=BH时，，解得；
②当BD=DH时，则BH=2AD=2x，
∴，解得x=；
③当BH=DH时，过H作HP⊥BD于P，此时BP=，
∵∠ABD+∠PBH=∠ABD+∠ADB=，
∴∠ADB=∠PBH，
∵∠BAD=∠BPH=,
∴△ABD∽△PHB，
∴，
∴，解得x=，
综上，线段AD的长为或或．
【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH，这是此题的难点．