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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训14期末解答题汇编(精选39题)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷特训14期末解答题汇编(精选39题)(原卷版+解析)，共69页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算：．
2．计算：．
3．已知，，求的值．
4．如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
5．如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点．
(1)若，，请用，来表示、；
(2)请直接在图中画出在，方向上的分向量．
6．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，
(1)用向量、分别表示下列向量：
______，______，______；
(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）
7．如图，在中，是边上的中线，，，．
(1)求的周长；
(2)求的余切值．
8．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正切值．
9．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
10．如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE=∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)当CD=时，求BE的长．
11．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数图像的顶点为，且经过．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标．
14．如图，已知二次函数 的对称轴为x＝2，过点 ．
(1)求出a，b的值；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当 的面积为15时，求B的坐标．
15．在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点B作轴，交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)连接，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点D的坐标．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
17．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
18．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
19．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cs370.80，tan370.75）
20．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
21．如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度，当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
(1)求小区楼房BC的高度；
(2)若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置（计算结果保留根号）
22．如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直．
(1)求点D的铅垂高度；
(2)求旗杆的高度．
（结果保留根号，参考数据：，，．）
23．环球国际金融中心（图中所示）是目前某市的标志性建筑．小明家住在金融中心附近的大厦（图中所示），他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点）的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为，又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心（）的高度．（备用数据：，，）
24．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
25．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
(1)求A、P之间的距离；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
26．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
27．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
28．已知：如图，在中，点、分别在、上，平行于，点在边上，且，与相交于点求证：．
29．已知：如图，在中，，点、分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果点在边上，且，，求证：∽
30．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
31．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
32．已知：△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上(点E不与点A、B重合)，点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF=90°时，求证：BE=AF；
（2）如图2，当∠EDF=45°时，求证：．
33．已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的正切值；
(3)点在的延长线上，如果，求点的坐标．
34．如图，在直角坐标平面内，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数的图象经过点A、B，且顶点为C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的值；
(3)若M是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且的面积为40，求点M的坐标．
35．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
36．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；
(2)连接AB，求∠B的余切值；
(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
37．已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D，
（1）求物线的解析式
（2）求证：∠ACB＝∠ABD
（3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式．
38．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
39．在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图2，试探索： 的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…
特训14 期末解答题汇编（精选39题）
一、解答题
1．计算：．
【答案】
【分析】先将特殊角的三角函数值代入化简，再进行二次根式的混合运算法则计算即可．
【解析】原式
【点睛】本题考查了锐角三角函数值，实数的乘方、乘除、减法法则，熟记特殊角的锐角三角函数值是解题关键．
2．计算：．
【答案】
【分析】根据特殊角度三角函数、分式、平方差公式、二次根式的性质计算，即可得到答案.
【解析】
.
【点睛】本题考查了三角函数、二次根式、分式、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、分式、二次根式的性质，从而完成求解.
3．已知，，求的值．
【答案】
【分析】利用可得出，，再代入求值即可．
【解析】∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值和比例的性质．用a表示出b和c是解题关键．
4．如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
【答案】（1）；(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得比例式求解；
（2）根据平行线分线段成比例，先求OB，在利用比例关系求CF.
【解析】（1）∵，,.
∴即
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，根据平行得出比例关系是解题的关键.
5．如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点．
(1)若，，请用，来表示、；
(2)请直接在图中画出在，方向上的分向量．
【答案】(1)，．
(2)见解析
【分析】（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；
（2）利用平行四边形法则画出图形即可．
【解析】（1），，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作交于点，，即为所求．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
6．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，
(1)用向量、分别表示下列向量：
______，______，______；
(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）
【答案】(1)，，
(2)见解析；
【分析】（1）利用向量的线性运算，求解即可；
（2）过点分别作、的平行线，即可求解．
【解析】（1）解：∵
∴
由题意可得：；
由平行四边形的性质可得：，
∴
从而得到
，
故答案为：，，
（2）如图：过点作交于点，过点作交于点
则向量、是向量分别在、方向上的分向量．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
7．如图，在中，是边上的中线，，，．
(1)求的周长；
(2)求的余切值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）作于点E，根据，可求出，再利用勾股定理可求出，进而求得，再次利用勾股定理可求出的长度，从而求得 的周长；
（2）作于点F，，且点D是的中点，可得是的中位线，则有，，利用勾股定理可得，进而可求得解．
【解析】（1）解：如图所示：作于点E
三角形为直角三角形，
,
即，
解得：，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
的周长为：，
（2）如上图，作于点F，
是边上的中线，
点D是的中点，
，,
与平行，
是的中位线，
，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，中位线定理等知识，熟练相关的性质和定理是解题的关键．
8．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）过点E作于点H．求出，，可得结论．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于点H．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案；
对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，
，则，根据勾股定理可得，
在中，由计算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
10．如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE=∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)当CD=时，求BE的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）证明⊥，进而根据AH=2CH，∠CAE=∠B即可求得sinB的值；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=，解Rt△ABC可得BC=4，解Rt△ACE可得CE=1，根据BE=即可求得的长．
（1）
∵，CD是上的中线，
∴．
∴．
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠DCB
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠CAE=90°，
即 ⊥
∵AH=2CH，
设，则，
∴sin∠CAE=
∴sinB=
（2）
∵，CD是上的中线，CD=，
∴AB=
在Rt△ABC中，
∵sinB=
∴AC=2
∴BC=4
在Rt△ACH中，
∵tan∠CAE=，
∴CE=1
∴BE=3
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，第一问中证明⊥是解题的关键．
11．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)246
【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；
（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．
【解析】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
【答案】(1)y=-x2-2x+8
(2)＞
【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+8.
(2)
∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数图像的顶点为，且经过．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，然后用待定系数法求解即可；
（2）根据题意设出平移后的表达式为，将原点代入即可求出平移后的表达式，当时，即可求出与轴的另一个交点的坐标．
(1)
解：设二次函数的表达式为：
将代入得：
解得：
∴，即；
(2)
解：设将该二次函数图像向右平移个单位，
∴平移后的表达式为，
∵平移后所得图像经过坐标原点，
∴将原点代入得，，即，
解得：(舍去)，
∴，
∴平移后的表达式为，
当时，即，
解得：，
∴平移后所得图像与x轴的交点坐标为和，
∴平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的联系等知识点，牢记相关的知识点是解此类题的关键．
14．如图，已知二次函数 的对称轴为x＝2，过点 ．
(1)求出a，b的值；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当 的面积为15时，求B的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点B的坐标为（2，8）
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 ，运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，设直线 与抛物线对称轴交于点H，则 ， ，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）∵二次函数 的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 ，
∴ ；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 与抛物线对称轴交于点H，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴×|m−2|×5＝15 ，
解得： 或（舍去），
∴点B的坐标为 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合思想是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点B作轴，交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)连接，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为，
(2)
【分析】（1）根据抛物线的顶点是，可设抛物线的表达式为，将点的坐标代入表达式，即可得出结论；
（2）设过点D作，垂足为点H，所以，，根据题意可证明，所以，即，解之即可．
【解析】（1）解：由抛物线的顶点是，
可设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为，
∵轴，交抛物线的对称轴于点C，
∴；
（2）解：∵抛物线的一般式
∴设
如图，连接BA，过点D作，垂足为点H，连接，
∴，
在与中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
即点D的横坐标为，代入，解得，
∴D
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）二次函数的解析式是y=x2+3x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴是直线x=﹣．
【解析】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；
（2）运用配方法得y，从而求出顶点坐标和对称轴.
试题解析：（1）由题意，得
解这个方程组，得 ，
所以，这个二次函数的解析式是.
（2）
顶点坐标为；
对称轴是直线.
17．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
【答案】(1)5；
(2)．
【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答；
（2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解．
【解析】（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴．
∵AD＝12，
∴．
在Rt△ABD中，∵，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴＝＝．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质．
19．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cs370.80，tan370.75）
【答案】(1)1.8米
(2)5：4
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
【解析】（1）解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，
由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝≈＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝＝＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解析】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度，当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
(1)求小区楼房BC的高度；
(2)若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置（计算结果保留根号）
【答案】(1) 米
(2) 秒
【分析】（1）过点C作CE⊥AD于点E，可得四边形ABCE为平行四边形，从而得到AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，然后在 和中，利用锐角三角函数，可得 ，DE=CE，即可求解；
（2）设直线DM交AC延长线于点F，则DF∥AB，可得∠F=∠BAC=30°，在 中，
可得 米，再除以速度，即可求解．
（1）解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，根据题意得：AD⊥AB，BC⊥AB，AD=60米，∠BAC=30°，∠CDE=45°，∴AD∥BC，AB∥CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，在 中，∠ACE=30°，∴ ，在 中，∠CDE=45°，∴∠DCE=45°，∴∠CDE=∠DCE，∴DE=CE，∴ ，解得： 米，即小区楼房BC的高度为 米；
（2）如图，设直线DM交AC延长线于点F，则DF∥AB，∴∠F=∠BAC=30°，在 中， 米，∴ 秒，即经过 秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角锐角三角函数值，并构造直角三角形是解题的关键 ．
22．如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直．
(1)求点D的铅垂高度；
(2)求旗杆的高度．
（结果保留根号，参考数据：，，．）
【答案】(1)米
(2)7.7米
【分析】（1）延长交延长线于点，则，中求得、；
（2）作，可得、，根据、可得答案.
【解析】（1）解：延长交射线延长线于点，
由题意得，在中，
米
米，米
答：点的铅垂高度是米.
（2）解：过点作于
由题意得，米，
即为点观察点时的仰角，
，
四边形为矩形
米，米
在中，米
米
答：旗杆的高度约为7.7米.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用：仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握其相关的定义，并构造合适的直角三角形是解题的关键.
23．环球国际金融中心（图中所示）是目前某市的标志性建筑．小明家住在金融中心附近的大厦（图中所示），他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点）的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为，又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心（）的高度．（备用数据：，，）
【答案】492米
【分析】构造所在的直角三角形，可得，那么减去60，即为；即为长，利用的正切值即可求得环球国际金融中心（）的高度．
【解析】过点Q作，交于点E，则
根据题意，得：，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设（米），则米，米，
∴米，
在 中，，
即．
解得：．
答：环球国际金融中心（）的高度约为492米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
24．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
【答案】(1)米
(2)9米
(3)
【分析】（1）过D点作DE⊥AB于E点，先证明四边形CDEF是矩形，即有CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，根据∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，可得，AE=1.2DE=5.4，则问题得解；
（2）根据即可求解；
（3）利用坡比的定义，即可得出迎水坡BC的坡比的值．
（1）
解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，
根据题意有：，，∠B=30°，
∵，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CF=DE，EF=CD，
∵CF=4.5，CD=2.5，
∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，
∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，
∴，AE=1.2DE=5.4，
∴AB=BF+EF+AE=+2.5+5.4=+7.9（米），
故坝底AB的长为：米；
（2）
∵∠B=30°，CF=4.5，
∴（米），
即坡BC长为9米；
（3）
∵CF=4.5，，
∴迎水坡BC的坡度为：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坡度与坡角问题，通过构造直角三角形，矩形，利用直角三角形的性质和矩形的性质，锐角三角函数的概念求解是解题关键．
25．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
(1)求A、P之间的距离；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
【答案】(1)海里
(2)海监船由B处继续向东航行没有触礁危险
【分析】（1）过点P作交AB的延长线于C，设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，根据正切的定义用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出；
（2）比较与半径的大小，得到答案．
【解析】（1）解：过点P作交AB的延长线于C，
设海里，
在中，，
则海里，
在中，，
则海里，(海里)，
由题意得：，即，
解得：，
则海里，
答：A、P之间的距离为海里；
（2）解：海监船由B处继续向东航行没有触礁危险，
理由如下：∵，
∴海监船由B处继续向东航行没有触礁危险．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先在直角三角形中，由勾股定理求得，再利用直角三角形和相似求得的长，加上，即可求得树高．
（2）利用直角三角形和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【解析】（1）∵，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：古树的高度是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：小丽向前移动了7m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理，解题的关键是证明三角形的相似．
27．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
【答案】(1)点B到海面的距离为3米
(2)
【分析】（1）过点B作，垂足为F，延长交于E，垂足为E，首先根据求出的长度，然后加上的长度即可求出点B到海面的距离；
（2）过点B作，垂足为N，延长交于点M，垂足为M，由求出，即得， 由求出，从而求出的长，利用勾股定理求出，利用即可求解．
【解析】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交于E，
则，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
答：点B到海面HC的距离为3米
（2）解：过点B作，垂足为N，延长交于点M，
由，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
∴，
∴，
即点O到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解决关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
28．已知：如图，在中，点、分别在、上，平行于，点在边上，且，与相交于点求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质，得，，根据，等量代换，得，又根据三角形的外角，等量代换，得，根据相似三角形的判定和性质，即可．
【解析】证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是掌握三角形的外角，等量代换，相似三角形的判定和性质．
29．已知：如图，在中，，点、分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果点在边上，且，，求证：∽
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过证明∽，可得，可得结论；
（2）通过证明∽，可证，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得结论．
【解析】（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
∽
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
30．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以；
（2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以．
【解析】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键．
31．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
【答案】（1）见解析，（2）
【分析】（1）证明∠B=∠EAD，∠C=∠ADE，利用两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由（1）列出比例式，计算求解即可．
【解析】（1）证明：∵点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，
∴BD=AD，
∴∠B=∠EAD，
∵∠BDA=∠C+∠CAD=∠ADE+∠BDE，∠CAD＝∠BDE,
∴∠C=∠ADE，
∴△ABC∽△EAD；
（2）∵AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，BD=AD，
∴AB＝2x﹣7， CB＝x+3，
∵△ABC∽△EAD，
∴，即，
解得，，
AD的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理进行推理证明，列出比例式进行准确计算．
32．已知：△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上(点E不与点A、B重合)，点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF=90°时，求证：BE=AF；
（2）如图2，当∠EDF=45°时，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出，得出，由BD＝CD，即可得出结论．
【解析】（1）连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是边BC的中点，
∴ADBC=BD，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠B=∠CAD．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF；
（2）∵∠BDF=∠BDE+∠EDF，∠BDF=∠C+∠CFD，
∴∠BDE+∠EDF=∠C+∠CFD．
又∵∠C=∠EDF=45°，
∴∠BDE=∠CFD，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
∴，
又∵BD=CD，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
33．已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的正切值；
(3)点在的延长线上，如果，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线解析式为，把代入解析式，确定a值即可．
（2）设直线与x轴的交点为点F，且设直线的解析式为，把，代入解析式，确定F的坐标，过点F作于点G，根据得到等腰直角三角形，根据勾股定理，确定，，计算．根据正切的定义计算即可．
（3）过点M作于点N，则，从而得到，得到等腰直角三角形，得到，，结合已知和外角性质，得到，得证，从而证明，列比例式，求得，代入计算出，计算即可确定坐标．
【解析】（1）因为顶点为的抛物线经过点，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，
得，
解得a=1，
所以抛物线的解析式为即．
（2）设直线与x轴的交点为点F，且设直线的解析式为，把，代入解析式，得，
解得，
所以直线解析式为，
所以F的坐标为，
因为，
所以，
解得，
所以点，
所以，
所以，
过点F作于点G，
所以等腰直角三角形，且，
所以，
根据勾股定理，得，
所以．
根据正切的定义．
（3）过点M作于点N，则，
所以，
所以等腰直角三角形，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得（舍去），
所以，
因为点P在x轴的负半轴上，
所以点．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的解析式，抛物线、一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
34．如图，在直角坐标平面内，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数的图象经过点A、B，且顶点为C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的值；
(3)若M是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且的面积为40，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点M坐标为
【分析】（1）由直线解析式可得点A，B坐标，通过待定系数法求解．
（2）作轴于点E，由二次函数解析式可得点C坐标，从而可得，进而求解．
（3）作轴交于点N，连接，由求解．
【解析】（1）解：将代入得，
∴点B坐标为，
将代入得，
解得，
∴点A坐标为，
将，代入得，
解得，
∴．
（2）解：过点C作轴于点E，
∵，
∴点C坐标为，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理可得，
∴．
（3）解：作轴交于点N，连接
设点M坐标为，则点N坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴点M坐标为或，
∵点M在x轴下方，
∴点M坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
35．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）求出时，的值即可得；
（3）过点作轴，交直线于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得．
（1）
解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）
解：当时，，
解得或，
则点的坐标为．
（3）
解：如图，过点作轴，交直线于点，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
设点的坐标为，
将代入得：，
即，
，
，
，
，即，
即或，
解得或，
故点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题关键．
36．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；
(2)连接AB，求∠B的余切值；
(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
【答案】(1)；E（2，0）
(2)3
(3)M点的坐标为（5，0）或（7，0）
【分析】（1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得抛物线表达式，则可求得B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，可求得E点坐标；
（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC为斜边的直角三角形，利用三角形的定义可求得答案；
（3）设M（x，0），当∠GCM＝∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求得M点的坐标；当∠CMG＝∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性质可求得x的值，可求得M点的坐标．
（1）
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴＝1，解得a＝，
把A点坐标代入可得，
解得c＝，
∴抛物线表达式为，
∵
∴B（1，−2），
把C（5，m）代入抛物线解析式可得m＝，
∴C（5，6），
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
把B、C坐标代入可得，
解得
∴直线BC解析式为y＝2x−4，
令y＝2可得2x−4＝0，解得x＝2，
∴E（2，0）；
（2）
∵A（−1，0），B（1，−2），C（5，6），
∴AB＝，AC＝，BC＝，
∴AB2＋AC2＝8＋72＝80＝BC2，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴；
（3）
∵A（−1，0），B（1，−2），
∴∠CAE＝∠BAE＝45°，
∵GM⊥BC，
∴∠CGM＋∠GCB＝∠GCB＋∠ABC＝90°，
∴∠CGM＝∠ABC，
∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，
设M（x，0），则C（x，2x−4），
①当∠GCM＝∠BAE＝45°时，则∠AMC＝90°，
∴MC＝AM，即2x−4＝x＋1，解得x＝5，
∴M（5，0）；
②当∠GMC＝∠BAE＝∠MAC＝45°时，
∵∠MEC＝∠AEB＝∠MCG，
∴△MEC∽△MCA，
∴，即，
∴MC2＝（x−2）（x＋1），
∵C（5，6），
∴MC2＝（x−5）2＋62＝x2−10x＋61，
∴（x−2）（x＋1）＝x2−10x＋61，解得x＝7，
∴M（7，0）；
综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用对称轴求得a的值是解题的关键，在（2）中证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况．
37．已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D，
（1）求物线的解析式
（2）求证：∠ACB＝∠ABD
（3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式．
【答案】（1）y=x²-2x-3；（2）见解析；（3）y=x²-2x-143
【分析】（1）直接把A、B两点的坐标代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）先求出C、D的坐标，从而得到∠OCB=∠OBC=45°，，，，，由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°，则，即可得到∠CBD=∠ACO，则∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；
（3）过点A作AF∥BC交y轴于F，则∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，然后证明△FAC∽△DBE，得到，然后求得AO=FO=1，得到，，即可求出E点的坐标，然后设平移后的抛物线解析式为，代入E点坐标求解即可．
【解析】解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接AC，BC，BD，CD，
∵A点的坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵C是抛物线与y轴的交点，
∴C点的坐标为（0，-3），
∴OC=OB=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴，
∵D是抛物线的顶点，
∴D点的坐标为（1，-4），
∴，，，
∴，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴，
∴∠CBD=∠ACO，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；
（3）如图所示，过点A作AF∥BC交y轴于F，
∴∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，
∴∠ACB=∠AND=∠ACF+∠OCB=∠ACF+∠AFC，
∵∠FAC=180°-∠ACF-∠AFC，∠DBE=180°-∠ABD，
∴∠FAC=∠DBE，
∴△FAC∽△DBE，
∴，
∵∠AOF=90°，
∴∠AFO=∠FAO=45°，
∴AO=FO=1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵B（3，0），E在x轴上且在B点右侧，
∴E（13，0），
设平移后的抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，两点距离公式，三角函数，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
38．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
【答案】(1)见详解
(2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证；
（2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵，
∴∠BAE=∠BDA，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴；
(2)
解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵AD∥BC，
∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示：
∴EN∥AM，，，
∴，
∴，
∵在Rt△ABM中，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴（负根舍去），
∴，
∴；
当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：
∴，
在△BAD和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC，
∴，
∴，
∵DP∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=AB=4，
∴，
由以上可知：，
∴，
∵AH⊥BC，EQ⊥BC，
∴AH∥EQ，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BEQ中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述：∠BAC的正弦值为或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
39．在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图2，试探索： 的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）；0≤x≤.
【分析】（1）由正方形的性质及可求出BC=8，PC=6，由勾股定理可求出BP=10，再由△∽△即可求出结论；
（2）由正方形的性质得∠A=∠ABC=∠C=90°，由MQ∥AB得∠QMR=∠A，故∠QMR=∠C；由MQ∥AB得，而∠1+∠RQM=90°,∠ABP+∠PBC=90°，故，从而△∽△.故可得出结论；
（3）延长交的延长线于点，通过证明，分别计算及,，从而可得出结论.
【解析】（1）由题意，得,
在Rt△中，
∴
∵
∴∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴△∽△
∴
∴
∴
（2）答：的比值随点的运动没有变化
理由：如图，
∵∥
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
∴△∽△
∴
∵，
∴
∴的比值随点的运动没有变化,比值为
（3）延长交的延长线于点
∵∥
∴
∵
∴
∴
∴
∵∥,∥
∴∥
∴
∵,
∴
又,
∴
∴
它的定义域是 .
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…
1．计算：．
2．计算：．
3．已知，，求的值．
4．如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
5．如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点．
(1)若，，请用，来表示、；
(2)请直接在图中画出在，方向上的分向量．
6．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，
(1)用向量、分别表示下列向量：
______，______，______；
(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）
7．如图，在中，是边上的中线，，，．
(1)求的周长；
(2)求的余切值．
8．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正切值．
9．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
10．如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE=∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)当CD=时，求BE的长．
11．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数图像的顶点为，且经过．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标．
14．如图，已知二次函数 的对称轴为x＝2，过点 ．
(1)求出a，b的值；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当 的面积为15时，求B的坐标．
15．在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点B作轴，交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)连接，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点D的坐标．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
17．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
18．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
19．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cs370.80，tan370.75）
20．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
21．如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度，当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
(1)求小区楼房BC的高度；
(2)若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置（计算结果保留根号）
22．如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直．
(1)求点D的铅垂高度；
(2)求旗杆的高度．
（结果保留根号，参考数据：，，．）
23．环球国际金融中心（图中所示）是目前某市的标志性建筑．小明家住在金融中心附近的大厦（图中所示），他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点）的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为，又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心（）的高度．（备用数据：，，）
24．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
25．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
(1)求A、P之间的距离；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
26．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
27．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
28．已知：如图，在中，点、分别在、上，平行于，点在边上，且，与相交于点求证：．
29．已知：如图，在中，，点、分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果点在边上，且，，求证：∽
30．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
31．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
32．已知：△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上(点E不与点A、B重合)，点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF=90°时，求证：BE=AF；
（2）如图2，当∠EDF=45°时，求证：．
33．已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的正切值；
(3)点在的延长线上，如果，求点的坐标．
34．如图，在直角坐标平面内，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数的图象经过点A、B，且顶点为C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的值；
(3)若M是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且的面积为40，求点M的坐标．
35．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
36．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；
(2)连接AB，求∠B的余切值；
(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
37．已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D，
（1）求物线的解析式
（2）求证：∠ACB＝∠ABD
（3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式．
38．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
39．在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图2，试探索： 的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…
特训14 期末解答题汇编（精选39题）
一、解答题
1．计算：．
【答案】
【分析】先将特殊角的三角函数值代入化简，再进行二次根式的混合运算法则计算即可．
【解析】原式
【点睛】本题考查了锐角三角函数值，实数的乘方、乘除、减法法则，熟记特殊角的锐角三角函数值是解题关键．
2．计算：．
【答案】
【分析】根据特殊角度三角函数、分式、平方差公式、二次根式的性质计算，即可得到答案.
【解析】
.
【点睛】本题考查了三角函数、二次根式、分式、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、分式、二次根式的性质，从而完成求解.
3．已知，，求的值．
【答案】
【分析】利用可得出，，再代入求值即可．
【解析】∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查代数式求值和比例的性质．用a表示出b和c是解题关键．
4．如图，直线分别交直线于点交直线于点且，已知,.
（1）求的长；
（2）当时，求的长.
【答案】（1）；(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得比例式求解；
（2）根据平行线分线段成比例，先求OB，在利用比例关系求CF.
【解析】（1）∵，,.
∴即
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，根据平行得出比例关系是解题的关键.
5．如图，在梯形ABCD中，，E是CD的中点，且，与交于点．
(1)若，，请用，来表示、；
(2)请直接在图中画出在，方向上的分向量．
【答案】(1)，．
(2)见解析
【分析】（1）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；
（2）利用平行四边形法则画出图形即可．
【解析】（1），，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作交于点，，即为所求．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
6．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，
(1)用向量、分别表示下列向量：
______，______，______；
(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）
【答案】(1)，，
(2)见解析；
【分析】（1）利用向量的线性运算，求解即可；
（2）过点分别作、的平行线，即可求解．
【解析】（1）解：∵
∴
由题意可得：；
由平行四边形的性质可得：，
∴
从而得到
，
故答案为：，，
（2）如图：过点作交于点，过点作交于点
则向量、是向量分别在、方向上的分向量．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
7．如图，在中，是边上的中线，，，．
(1)求的周长；
(2)求的余切值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）作于点E，根据，可求出，再利用勾股定理可求出，进而求得，再次利用勾股定理可求出的长度，从而求得 的周长；
（2）作于点F，，且点D是的中点，可得是的中位线，则有，，利用勾股定理可得，进而可求得解．
【解析】（1）解：如图所示：作于点E
三角形为直角三角形，
,
即，
解得：，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
的周长为：，
（2）如上图，作于点F，
是边上的中线，
点D是的中点，
，,
与平行，
是的中位线，
，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，中位线定理等知识，熟练相关的性质和定理是解题的关键．
8．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）过点E作于点H．求出，，可得结论．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于点H．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据题意，，，可得AD的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案；
对于（2），过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，
，则，根据勾股定理可得，
在中，由计算即可得出答案．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
10．如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜边AB上的中线，过点A作∠CAE=∠B，交BC于点E，交CD于点H，且AH=2CH．
(1)求sinB的值；
(2)当CD=时，求BE的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）证明⊥，进而根据AH=2CH，∠CAE=∠B即可求得sinB的值；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=，解Rt△ABC可得BC=4，解Rt△ACE可得CE=1，根据BE=即可求得的长．
（1）
∵，CD是上的中线，
∴．
∴．
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠DCB
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠CAE=90°，
即 ⊥
∵AH=2CH，
设，则，
∴sin∠CAE=
∴sinB=
（2）
∵，CD是上的中线，CD=，
∴AB=
在Rt△ABC中，
∵sinB=
∴AC=2
∴BC=4
在Rt△ACH中，
∵tan∠CAE=，
∴CE=1
∴BE=3
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，第一问中证明⊥是解题的关键．
11．如图，在四边形中，平分，，．
(1)求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)246
【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；
（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．
【解析】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如果点D（x1，y1）和点E（x2，y2）在函数图象上，那么当0＜x1＜x2＜1时，请直接写出y1与y2的大小关系：y1 y2．
【答案】(1)y=-x2-2x+8
(2)＞
【分析】（1）由题意直接根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
(1)
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+8.
(2)
∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数图像的顶点为，且经过．
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，然后用待定系数法求解即可；
（2）根据题意设出平移后的表达式为，将原点代入即可求出平移后的表达式，当时，即可求出与轴的另一个交点的坐标．
(1)
解：设二次函数的表达式为：
将代入得：
解得：
∴，即；
(2)
解：设将该二次函数图像向右平移个单位，
∴平移后的表达式为，
∵平移后所得图像经过坐标原点，
∴将原点代入得，，即，
解得：(舍去)，
∴，
∴平移后的表达式为，
当时，即，
解得：，
∴平移后所得图像与x轴的交点坐标为和，
∴平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的联系等知识点，牢记相关的知识点是解此类题的关键．
14．如图，已知二次函数 的对称轴为x＝2，过点 ．
(1)求出a，b的值；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当 的面积为15时，求B的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点B的坐标为（2，8）
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 ，运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，设直线 与抛物线对称轴交于点H，则 ， ，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）∵二次函数 的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 ，
∴ ；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 与抛物线对称轴交于点H，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴×|m−2|×5＝15 ，
解得： 或（舍去），
∴点B的坐标为 ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合思想是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中（如图），抛物线的顶点是，且经过点，过点B作轴，交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)连接，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当时，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为，
(2)
【分析】（1）根据抛物线的顶点是，可设抛物线的表达式为，将点的坐标代入表达式，即可得出结论；
（2）设过点D作，垂足为点H，所以，，根据题意可证明，所以，即，解之即可．
【解析】（1）解：由抛物线的顶点是，
可设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为，
∵轴，交抛物线的对称轴于点C，
∴；
（2）解：∵抛物线的一般式
∴设
如图，连接BA，过点D作，垂足为点H，连接，
∴，
在与中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
即点D的横坐标为，代入，解得，
∴D
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）二次函数的解析式是y=x2+3x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴是直线x=﹣．
【解析】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；
（2）运用配方法得y，从而求出顶点坐标和对称轴.
试题解析：（1）由题意，得
解这个方程组，得 ，
所以，这个二次函数的解析式是.
（2）
顶点坐标为；
对称轴是直线.
17．如图，已知在四边形中，，，，．
(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解析】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：
(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
【答案】(1)5；
(2)．
【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答；
（2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解．
【解析】（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴．
∵AD＝12，
∴．
在Rt△ABD中，∵，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴＝＝．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质．
19．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cs370.80，tan370.75）
【答案】(1)1.8米
(2)5：4
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
【解析】（1）解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，
由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝≈＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝＝＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解析】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度，当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
(1)求小区楼房BC的高度；
(2)若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置（计算结果保留根号）
【答案】(1) 米
(2) 秒
【分析】（1）过点C作CE⊥AD于点E，可得四边形ABCE为平行四边形，从而得到AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，然后在 和中，利用锐角三角函数，可得 ，DE=CE，即可求解；
（2）设直线DM交AC延长线于点F，则DF∥AB，可得∠F=∠BAC=30°，在 中，
可得 米，再除以速度，即可求解．
（1）解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，根据题意得：AD⊥AB，BC⊥AB，AD=60米，∠BAC=30°，∠CDE=45°，∴AD∥BC，AB∥CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，在 中，∠ACE=30°，∴ ，在 中，∠CDE=45°，∴∠DCE=45°，∴∠CDE=∠DCE，∴DE=CE，∴ ，解得： 米，即小区楼房BC的高度为 米；
（2）如图，设直线DM交AC延长线于点F，则DF∥AB，∴∠F=∠BAC=30°，在 中， 米，∴ 秒，即经过 秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角锐角三角函数值，并构造直角三角形是解题的关键 ．
22．如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直．
(1)求点D的铅垂高度；
(2)求旗杆的高度．
（结果保留根号，参考数据：，，．）
【答案】(1)米
(2)7.7米
【分析】（1）延长交延长线于点，则，中求得、；
（2）作，可得、，根据、可得答案.
【解析】（1）解：延长交射线延长线于点，
由题意得，在中，
米
米，米
答：点的铅垂高度是米.
（2）解：过点作于
由题意得，米，
即为点观察点时的仰角，
，
四边形为矩形
米，米
在中，米
米
答：旗杆的高度约为7.7米.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用：仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握其相关的定义，并构造合适的直角三角形是解题的关键.
23．环球国际金融中心（图中所示）是目前某市的标志性建筑．小明家住在金融中心附近的大厦（图中所示），他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点）的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为，又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心（）的高度．（备用数据：，，）
【答案】492米
【分析】构造所在的直角三角形，可得，那么减去60，即为；即为长，利用的正切值即可求得环球国际金融中心（）的高度．
【解析】过点Q作，交于点E，则
根据题意，得：，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设（米），则米，米，
∴米，
在 中，，
即．
解得：．
答：环球国际金融中心（）的高度约为492米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
24．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
【答案】(1)米
(2)9米
(3)
【分析】（1）过D点作DE⊥AB于E点，先证明四边形CDEF是矩形，即有CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，根据∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，可得，AE=1.2DE=5.4，则问题得解；
（2）根据即可求解；
（3）利用坡比的定义，即可得出迎水坡BC的坡比的值．
（1）
解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，
根据题意有：，，∠B=30°，
∵，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CF=DE，EF=CD，
∵CF=4.5，CD=2.5，
∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，
∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，
∴，AE=1.2DE=5.4，
∴AB=BF+EF+AE=+2.5+5.4=+7.9（米），
故坝底AB的长为：米；
（2）
∵∠B=30°，CF=4.5，
∴（米），
即坡BC长为9米；
（3）
∵CF=4.5，，
∴迎水坡BC的坡度为：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了坡度与坡角问题，通过构造直角三角形，矩形，利用直角三角形的性质和矩形的性质，锐角三角函数的概念求解是解题关键．
25．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
(1)求A、P之间的距离；
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．
【答案】(1)海里
(2)海监船由B处继续向东航行没有触礁危险
【分析】（1）过点P作交AB的延长线于C，设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，根据正切的定义用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出；
（2）比较与半径的大小，得到答案．
【解析】（1）解：过点P作交AB的延长线于C，
设海里，
在中，，
则海里，
在中，，
则海里，(海里)，
由题意得：，即，
解得：，
则海里，
答：A、P之间的距离为海里；
（2）解：海监船由B处继续向东航行没有触礁危险，
理由如下：∵，
∴海监船由B处继续向东航行没有触礁危险．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先在直角三角形中，由勾股定理求得，再利用直角三角形和相似求得的长，加上，即可求得树高．
（2）利用直角三角形和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【解析】（1）∵，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：古树的高度是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：小丽向前移动了7m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理，解题的关键是证明三角形的相似．
27．我市的白沙岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去白沙岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（参考数据：，，，，，）
(1)如图1，在无鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，海面上方的鱼线与海面成一定角度．求点B到海面的距离；
(2)如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．
【答案】(1)点B到海面的距离为3米
(2)
【分析】（1）过点B作，垂足为F，延长交于E，垂足为E，首先根据求出的长度，然后加上的长度即可求出点B到海面的距离；
（2）过点B作，垂足为N，延长交于点M，垂足为M，由求出，即得， 由求出，从而求出的长，利用勾股定理求出，利用即可求解．
【解析】（1）解：过点B作，垂足为F，延长交于E，
则，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
答：点B到海面HC的距离为3米
（2）解：过点B作，垂足为N，延长交于点M，
由，
∴，
∴ ，
即，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
∴，
∴，
即点O到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解决关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
28．已知：如图，在中，点、分别在、上，平行于，点在边上，且，与相交于点求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质，得，，根据，等量代换，得，又根据三角形的外角，等量代换，得，根据相似三角形的判定和性质，即可．
【解析】证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是掌握三角形的外角，等量代换，相似三角形的判定和性质．
29．已知：如图，在中，，点、分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果点在边上，且，，求证：∽
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过证明∽，可得，可得结论；
（2）通过证明∽，可证，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得结论．
【解析】（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
∽
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
30．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以；
（2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以．
【解析】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键．
31．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
【答案】（1）见解析，（2）
【分析】（1）证明∠B=∠EAD，∠C=∠ADE，利用两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由（1）列出比例式，计算求解即可．
【解析】（1）证明：∵点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，
∴BD=AD，
∴∠B=∠EAD，
∵∠BDA=∠C+∠CAD=∠ADE+∠BDE，∠CAD＝∠BDE,
∴∠C=∠ADE，
∴△ABC∽△EAD；
（2）∵AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，BD=AD，
∴AB＝2x﹣7， CB＝x+3，
∵△ABC∽△EAD，
∴，即，
解得，，
AD的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理进行推理证明，列出比例式进行准确计算．
32．已知：△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上(点E不与点A、B重合)，点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF=90°时，求证：BE=AF；
（2）如图2，当∠EDF=45°时，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出，得出，由BD＝CD，即可得出结论．
【解析】（1）连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是边BC的中点，
∴ADBC=BD，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠B=∠CAD．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF；
（2）∵∠BDF=∠BDE+∠EDF，∠BDF=∠C+∠CFD，
∴∠BDE+∠EDF=∠C+∠CFD．
又∵∠C=∠EDF=45°，
∴∠BDE=∠CFD，
∴△BDE∽△CFD，
∴，
∴，
又∵BD=CD，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
33．已知顶点为的抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧）．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结，求的正切值；
(3)点在的延长线上，如果，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线解析式为，把代入解析式，确定a值即可．
（2）设直线与x轴的交点为点F，且设直线的解析式为，把，代入解析式，确定F的坐标，过点F作于点G，根据得到等腰直角三角形，根据勾股定理，确定，，计算．根据正切的定义计算即可．
（3）过点M作于点N，则，从而得到，得到等腰直角三角形，得到，，结合已知和外角性质，得到，得证，从而证明，列比例式，求得，代入计算出，计算即可确定坐标．
【解析】（1）因为顶点为的抛物线经过点，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，
得，
解得a=1，
所以抛物线的解析式为即．
（2）设直线与x轴的交点为点F，且设直线的解析式为，把，代入解析式，得，
解得，
所以直线解析式为，
所以F的坐标为，
因为，
所以，
解得，
所以点，
所以，
所以，
过点F作于点G，
所以等腰直角三角形，且，
所以，
根据勾股定理，得，
所以．
根据正切的定义．
（3）过点M作于点N，则，
所以，
所以等腰直角三角形，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得（舍去），
所以，
因为点P在x轴的负半轴上，
所以点．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的解析式，抛物线、一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
34．如图，在直角坐标平面内，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数的图象经过点A、B，且顶点为C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的值；
(3)若M是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且的面积为40，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点M坐标为
【分析】（1）由直线解析式可得点A，B坐标，通过待定系数法求解．
（2）作轴于点E，由二次函数解析式可得点C坐标，从而可得，进而求解．
（3）作轴交于点N，连接，由求解．
【解析】（1）解：将代入得，
∴点B坐标为，
将代入得，
解得，
∴点A坐标为，
将，代入得，
解得，
∴．
（2）解：过点C作轴于点E，
∵，
∴点C坐标为，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理可得，
∴．
（3）解：作轴交于点N，连接
设点M坐标为，则点N坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴点M坐标为或，
∵点M在x轴下方，
∴点M坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
35．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）．
(1)求抛物线解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）求出时，的值即可得；
（3）过点作轴，交直线于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得．
（1）
解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）
解：当时，，
解得或，
则点的坐标为．
（3）
解：如图，过点作轴，交直线于点，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
设点的坐标为，
将代入得：，
即，
，
，
，
，即，
即或，
解得或，
故点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题关键．
36．如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；
(2)连接AB，求∠B的余切值；
(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．
【答案】(1)；E（2，0）
(2)3
(3)M点的坐标为（5，0）或（7，0）
【分析】（1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得抛物线表达式，则可求得B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，可求得E点坐标；
（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC为斜边的直角三角形，利用三角形的定义可求得答案；
（3）设M（x，0），当∠GCM＝∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求得M点的坐标；当∠CMG＝∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性质可求得x的值，可求得M点的坐标．
（1）
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴＝1，解得a＝，
把A点坐标代入可得，
解得c＝，
∴抛物线表达式为，
∵
∴B（1，−2），
把C（5，m）代入抛物线解析式可得m＝，
∴C（5，6），
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
把B、C坐标代入可得，
解得
∴直线BC解析式为y＝2x−4，
令y＝2可得2x−4＝0，解得x＝2，
∴E（2，0）；
（2）
∵A（−1，0），B（1，−2），C（5，6），
∴AB＝，AC＝，BC＝，
∴AB2＋AC2＝8＋72＝80＝BC2，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴；
（3）
∵A（−1，0），B（1，−2），
∴∠CAE＝∠BAE＝45°，
∵GM⊥BC，
∴∠CGM＋∠GCB＝∠GCB＋∠ABC＝90°，
∴∠CGM＝∠ABC，
∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，
设M（x，0），则C（x，2x−4），
①当∠GCM＝∠BAE＝45°时，则∠AMC＝90°，
∴MC＝AM，即2x−4＝x＋1，解得x＝5，
∴M（5，0）；
②当∠GMC＝∠BAE＝∠MAC＝45°时，
∵∠MEC＝∠AEB＝∠MCG，
∴△MEC∽△MCA，
∴，即，
∴MC2＝（x−2）（x＋1），
∵C（5，6），
∴MC2＝（x−5）2＋62＝x2−10x＋61，
∴（x−2）（x＋1）＝x2−10x＋61，解得x＝7，
∴M（7，0）；
综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用对称轴求得a的值是解题的关键，在（2）中证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况．
37．已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D，
（1）求物线的解析式
（2）求证：∠ACB＝∠ABD
（3）沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB＝45°，求平移后的抛物线表达式．
【答案】（1）y=x²-2x-3；（2）见解析；（3）y=x²-2x-143
【分析】（1）直接把A、B两点的坐标代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）先求出C、D的坐标，从而得到∠OCB=∠OBC=45°，，，，，由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°，则，即可得到∠CBD=∠ACO，则∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；
（3）过点A作AF∥BC交y轴于F，则∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，然后证明△FAC∽△DBE，得到，然后求得AO=FO=1，得到，，即可求出E点的坐标，然后设平移后的抛物线解析式为，代入E点坐标求解即可．
【解析】解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接AC，BC，BD，CD，
∵A点的坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵C是抛物线与y轴的交点，
∴C点的坐标为（0，-3），
∴OC=OB=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴，
∵D是抛物线的顶点，
∴D点的坐标为（1，-4），
∴，，，
∴，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴，
∴∠CBD=∠ACO，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；
（3）如图所示，过点A作AF∥BC交y轴于F，
∴∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，
∴∠ACB=∠AND=∠ACF+∠OCB=∠ACF+∠AFC，
∵∠FAC=180°-∠ACF-∠AFC，∠DBE=180°-∠ABD，
∴∠FAC=∠DBE，
∴△FAC∽△DBE，
∴，
∵∠AOF=90°，
∴∠AFO=∠FAO=45°，
∴AO=FO=1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵B（3，0），E在x轴上且在B点右侧，
∴E（13，0），
设平移后的抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴平移后的抛物线解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，两点距离公式，三角函数，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
38．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
【答案】(1)见详解
(2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证；
（2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵，
∴∠BAE=∠BDA，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴；
(2)
解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵AD∥BC，
∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示：
∴EN∥AM，，，
∴，
∴，
∵在Rt△ABM中，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴（负根舍去），
∴，
∴；
当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：
∴，
在△BAD和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC，
∴，
∴，
∵DP∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=AB=4，
∴，
由以上可知：，
∴，
∵AH⊥BC，EQ⊥BC，
∴AH∥EQ，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BEQ中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述：∠BAC的正弦值为或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
39．在正方形ABCD中，AB＝8，点P在边CD上，tan∠PBC＝，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图2，试探索： 的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ＝x，RM＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）；0≤x≤.
【分析】（1）由正方形的性质及可求出BC=8，PC=6，由勾股定理可求出BP=10，再由△∽△即可求出结论；
（2）由正方形的性质得∠A=∠ABC=∠C=90°，由MQ∥AB得∠QMR=∠A，故∠QMR=∠C；由MQ∥AB得，而∠1+∠RQM=90°,∠ABP+∠PBC=90°，故，从而△∽△.故可得出结论；
（3）延长交的延长线于点，通过证明，分别计算及,，从而可得出结论.
【解析】（1）由题意，得,
在Rt△中，
∴
∵
∴∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴△∽△
∴
∴
∴
（2）答：的比值随点的运动没有变化
理由：如图，
∵∥
∴,
∵
∴
∵
∴
∴
∴△∽△
∴
∵，
∴
∴的比值随点的运动没有变化,比值为
（3）延长交的延长线于点
∵∥
∴
∵
∴
∴
∴
∵∥,∥
∴∥
∴
∵,
∴
又,
∴
∴
它的定义域是 .
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…
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