人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十一章三角形单元过关检测01(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十一章三角形单元过关检测01(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
3．（4分）如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠DFG的度数是（ ）
第3题 第4题
A．55°B．45°C．110°D．100°
4．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
5．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠DEA等于（ ）
第5题 第6题
A．22°B．158°C．68°D．112°
6．（4分）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（4分）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（ ）
第7题 第9题
A．30°B．40°C．45°D．60°
8．（4分）已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2cB．2a+2bC．﹣2cD．0
9．（4分）如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为（ ）
A．108°B．120°C．135°D．144°
10．（4分）如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（ ）
第10题 第11题 第12题
A．90°+n°B．45°+n°C．90°﹣n°D．90°
11．（4分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝ ．
14．（4分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝ °．
第14题 第15题
15．（4分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 ．
16．（4分）如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝ °．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）把下面的证明过程补充完整：
如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．
证明：∵DE⊥AO（已知），
∴ ＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝ （等量代换）
∴ （ ）．
∴∠EDO＝ （ ）．
又∵∠CFB＝∠EDO
∴∠CFB＝ （等量代换），
∴CF∥DO（ ）．
18．（8分）如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 ；以AE为角平分线的三角形是 ；以AF为高线的钝角三角形有 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
19．（10分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．证明下列结论：
（1）AD∥BC；
（2）∠BDC＝∠BAC．
20．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明∠B＝∠EFC的理由；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠CDE的度数．
21．（12分）在△ABC中，BC＝8，AB＝1．
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
22．（12分）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数．
（2）如图2，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠BAF的度数．
23．（12分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．则∠E＝ ．
（2）小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）
24．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．
2022—2023学年八年级上学期第一单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
B、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
C、应用到三角形的稳定性，不符合题意；
D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意；
故选：D．
2．（4分）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【解答】解：设第三边的长为xcm，
则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴四根木棒中，长度为5cm的木棒，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，
故选：C．
3．（4分）如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠DFG的度数是（ ）
A．55°B．45°C．110°D．100°
【分析】先根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得∠ACB＝∠DFE，然后根据三角形的内角和定理及邻补角定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°．
∵△ABC平移后得到△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE＝70°，
∴∠∠DFG＝180°﹣∠DFE＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
4．（4分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．72°
【分析】根据正五边形的性质得出AE＝DE和∠E的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AE＝DE，∠E＝＝108°，
∴△AED是等腰三角形，
∴∠1＝∠ADE＝×（180°﹣∠E）＝×（180°﹣108°）＝36°．
故选：B．
5．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠DEA等于（ ）
A．22°B．158°C．68°D．112°
【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，
∠DEA＝180°﹣68°＝112°，
故选：D．
6．（4分）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，如右图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
7．（4分）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【解答】解：∵72÷8＝9，
∴360°÷9＝40°．
∴每次旋转的角度α＝40°．
故选：B．
8．（4分）已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2cB．2a+2bC．﹣2cD．0
【分析】根据三角形三边关系得到a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b
＝0．
故选：D．
9．（4分）如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为（ ）
A．108°B．120°C．135°D．144°
【分析】根据正多边形的性质解决此题．
【解答】解：如图．
由题意得，∠1＝∠2＝72°，∠4＝∠5＝108°．
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝36°．
∴∠AOB＝360°﹣∠4﹣∠5﹣∠3＝108°．
故选：A．
10．（4分）如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（ ）
A．90°+n°B．45°+n°C．90°﹣n°D．90°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，求出∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝90°﹣n°，根据三角形内角和定理求出∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+n°，求出∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，再根据三角形外角性质得出∠ODC＝∠OBC+∠BOD即可．
【解答】解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，
∵O是三个内角的平分线的交点，
∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，
∴∠BOD＝90°，
故选：D．
11．（4分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】本题是一道关于三角形的题目，回想三角形的中线、角平分线、高线的概念；由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念可知①错误；接下来，根据三角形中线、高线、角平分线的概念试着分析②、③、④，相信你能解答此题了．
【解答】解：对于①，由∠1＝∠2可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误；
对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②错误；
对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；
对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线．又因为AH⊥CF，所以AH也是△ACF的高，故④正确．
故选：B．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD，
∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故①正确；
∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠GDC，故③正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+）＝135°，
∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°，
∴∠DFB＝∠A，故④正确；
∵∠BFC＝135°，
∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误；
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝ ．
【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．
【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，
则2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴外角为2x＝72°，
∵正n边形外角和为360°，
∴n＝360°÷72°＝5，
故答案为：5．
14．（4分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝ °．
【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB＝100°，再由角平分线定义得∠ACE＝50°，利用三角形外角的性质得∠CED＝78°，再利用角的和差关系得出答案．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣28°﹣52°＝100°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝28°+50°＝78°，
∵CD是高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝90°−∠CED＝90°−78°＝12°，
故答案为：12．
15．（4分）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴∠A′＝30°，
∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．
故答案为：60°．
16．（4分）如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝ °．
【分析】根据题意可得：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，由三角形的内角和定理可求解∠4的度数，结合平角的定义可求解．
【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，
∵∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝50°，
∵∠2+∠4+∠β＝180°，
∴∠β＝65°，
故答案为：65．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）把下面的证明过程补充完整：
如图，△ABO中，∠AOB＝90°，DE⊥AO于点E，∠CFB＝∠EDO．求证：CF∥DO．
证明：∵DE⊥AO（已知），
∴ ＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝ （等量代换）
∴ （ ）．
∴∠EDO＝ （ ）．
又∵∠CFB＝∠EDO
∴∠CFB＝ （等量代换），
∴CF∥DO（ ）．
【分析】根据垂直的定义、平行线的判断定理和性质定理解答即可．
【解答】证明：∵DE⊥AO（已知），
∴∠AED＝90°（垂直的定义），
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠AED（等量代换），
∴DE∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠CFB＝∠EDO，
∴∠CFB＝∠BOD（等量代换），
∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠AED，∠AED，DE∥OB，同位角相等，两直线平行，∠BOD，两直线平行，内错角相等，∠BOD，同位角相等，两直线平行．
18．（8分）如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 ；以AE为角平分线的三角形是 ；以AF为高线的钝角三角形有 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可；
（2）根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：（1）以AD为中线的三角形是△ABC；
以AE为角平分线的三角形是△ABD；
以AF为高线的钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3个，
故答案为：△ABC；△ABD；3；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，
∴∠C＝90°﹣35°＝55°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．
19．（10分）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．证明下列结论：
（1）AD∥BC；
（2）∠BDC＝∠BAC．
【分析】（1）证明∠DAC＝∠ACB，可得结论；
（2）设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCF＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组，可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∠EAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
（2）设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCF＝y，
则有，
可得∠BDC＝∠BAC．
20．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．
（1）请说明∠B＝∠EFC的理由；
（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行得AB∥EF，再根据平行线的性质得结论；
（2）先由三角形内角和定理求得∠B，进而求得∠BCD，再证明DE∥BC，再根据平行线的性质求得结果．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC；
（2）解：∵∠A＝60°，∠ACB＝76°，
∴∠B＝44°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝46°，
∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠DEF＝∠EFC，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠CDE＝46°．
21．（12分）在△ABC中，BC＝8，AB＝1．
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
22．（12分）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数．
（2）如图2，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠BAF的度数．
【分析】（1）根据多边形的内角和可得∠DAB和∠DAC的度数，再根据周角是360°可得答案；
（2）根据多边形的内角和可得∠ABC和∠ABF的度数．
【解答】解：（1）∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4＝90°．
∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴其每个内角为720°÷6＝120°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∵正五边形内角和为540°，
∴其每个内角为540°÷5＝108°．
∵长方形每个内角为90°，
∴∠F＝90°，
∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAF＝180°﹣∠F﹣∠ABF
＝180°﹣90°﹣72°＝18°．
23．（12分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．则∠E＝ ．
（2）小明继续探究，设∠B＝α，∠ACB＝β（B＞α），当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°，
∵PE⊥AD，
∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°；
故答案为：25；
（2）数量关系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）；理由如下：
设∠B＝α，∠ACB＝β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣α﹣β．
∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）．
∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝α+（180°﹣α﹣β）＝90°+（α﹣β），
∵PE⊥AD，
∴∠PDE+∠E＝90°，
∴∠E＝90°﹣[90°+（α﹣β）]＝（β﹣α）．
24．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 ．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质证明；
（2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
（3）同（1）、（2）的方法相同．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
故答案为：∠CEF＝∠CFE；
（2）∠CEF＝∠CFE．
理由：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
（3）如图：
∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．