人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十三章轴对称单元过关检测02(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十三章轴对称单元过关检测02(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（ ）
第1题 第2题 第4题
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
2．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A1C1B．BO＝B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C1
3．（4分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
4．（4分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，若∠COD＝70°，则∠CPD的度数是（ ）
A．110°B．135°C．145°D．155°
5．（4分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
6．（4分）若点P（a+1，﹣a+1）关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＞2C．﹣1＜a＜2D．a＜2
7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，则∠CDE的度数为（ ）
第7题 第8题 第9题
A．10°B．15°C．20°D．25°
8．（4分）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．75°D．45°
9．（4分）如图，在等边△ABC中，延长AB到点D，使得BD＝AB，延长BC到点E，使得CE＝2BC，连接DE、AE，若S△ADE＝18，则S△ABC为（ ）
A．1.8B．2C．3D．4.5
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
12．（4分）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
第12题 第13题 第14题
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为 ．
14．（4分）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6cm，则△PMN的周长的最小值为 cm．
15．（4分）如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1＝50°，∠2＝55°，则∠3＝ °．
第15题 第16题 第17题
16．（4分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝ ．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？
18．（8分）如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AF＝4，求CE的长．
19．（10分）如图，已知△ABC​中，∠C＝90°，∠B＝30°​，以A​为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC​于点M​和N​，再分别以M、N​为圆心，大于​的长为半径画弧，两弧交于点P​，连结AP​并延长交BC​于点D．​
（1）求证：点D​在线段AB​的垂直平分线上；
（2）若△ACD​的面积为3，求△ADB​的面积．
20．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
21．（12分）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝ °（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．
（1）若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
①求线段BC的长；
②求线段OA的长．
（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
24．（14分）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：
（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．
2022—2023学年八年级上学期第三单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
故选：B．
2．（4分）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．AC＝A1C1B．BO＝B1OC．CC1⊥MND．AB∥B1C1
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
AB∥B1C1不一定成立，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
3．（4分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质作出判断即可．
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
4．（4分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，若∠COD＝70°，则∠CPD的度数是（ ）
A．110°B．135°C．145°D．155°
【分析】根据对称的性质得出∠C+∠D＝∠CPD，再根据四边形内角和是360°得出∠CPD的度数，即可得出结论．
【解答】解：根据对称知，∠C＝∠OPC，∠D＝∠OPD，
∵∠COD＝70°，
∴∠C+∠D＝∠CPD＝（360°﹣70°）＝145°，
故选：C．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，△BEG的周长为17，且GE＝1，则AC的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为17，
∴EB+GB+EG＝17，
∴EA+GC+EG＝17，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝17，
∴AC+2EG＝17，
∵EG＝1，
∴AC＝15，
故选：C．
6．（4分）若点P（a+1，﹣a+1）关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1B．a＞2C．﹣1＜a＜2D．a＜2
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点P的对称点的坐标，再利用第一象限内点的坐标特征得到，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（a+1，﹣a+1）关于x轴对称的点的坐标为（a+1，a﹣1），
而点（a+1，a﹣1）在第一象限，
∴，
解得a＞2，
即a的取值范围为a＞2．
故选：B．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，则∠CDE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得出∠BAD+∠B＝∠C+2∠EDC，进而解答即可．
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°+∠B，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED＝∠C+∠EDC，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠C+∠EDC，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠C+2∠EDC，
∵∠B＝∠C，
∴∠B+40°＝∠B+2∠EDC，
∴∠EDC＝20°，
故选：C．
8．（4分）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．120°C．75°D．45°
【分析】先根据等边三角形的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠1＝45°，
∴∠1+∠ACB＝105°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．
故选：A．
9．（4分）如图，在等边△ABC中，延长AB到点D，使得BD＝AB，延长BC到点E，使得CE＝2BC，连接DE、AE，若S△ADE＝18，则S△ABC为（ ）
A．1.8B．2C．3D．4.5
【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两份，可得△ABE的面积，同理可得△ABC的面积．
【解答】解：∵BD＝AB，S△ADE＝18，
∴＝9，
∵CE＝2BC，
∴＝3，
故选：C．
10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）
A．4B．4.8C．5D．6
【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝•AB•CE＝•AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．
【解答】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505余2，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：B．
12．（4分）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；
【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，故选项①正确；
∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；
由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，
又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN＝BM，故选项④正确；
∴CM＝CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为 ．
【分析】根据平移的性质以及含30度角的直角三角形的性质解决此题．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥DF于M．
由平移的性质，得△ABC≌△DEF，AD＝CF＝2．
∴∠DEF＝∠BAC＝90°，DE＝AB＝2，∠ACB＝∠F＝30°．
∵CM⊥DF于M，
∴CM＝＝1．
∴点C到DF的距离为1．
故答案为：1．
14．（4分）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6cm，则△PMN的周长的最小值为 cm．
【分析】作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，∴△PMN的周长最小即为CD，由已知证明△OCD为等边三角形，则可求CD＝6cm，即可求△PMN的周长的最小值为7．
【解答】解：作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，
∴△PMN的周长＝CD，此时△PMN的周长最小，
∵点P与点D关于OB对称，
∴PO＝OD，
∵点P与点C关于OA对称，
∴OP＝OC，
∵∠AOB＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴OP＝6cm，
∴CD＝6cm，
∴△PMN的周长的最小值为6cm，
故答案为6．
15．（4分）如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1＝50°，∠2＝55°，则∠3＝ °．
【分析】由入射角等于反射角可得∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3，∠2＝∠4＝55°，那么利用三角形的内角和定理和平角定义可得∠2+∠4＝∠5+∠6，所以2∠2减∠6即为∠3的度数．
【解答】解：∵∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠3＝2∠2﹣∠6＝60°．
故答案为：60．
16．（4分）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝ ．
【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝26°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可．
【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠CBE，
∵∠CBE＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝26°，
∴∠QED＝26°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°，
故答案为：39°．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？
【分析】作PC⊥AB于点C，根据方向角的定义求得∠PAB和∠PBC的度数，证明PB＝AB，然后在直角△PBC中利用含30°角的直角三角形的性质求得PC的大小，与22海里进行比较即可．
【解答】解：作PC⊥AB于点C．
∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，
∴BP＝AB＝20×2＝40（海里），
在直角△PBC中，PC＝PB＝40×＝20＜22．
则若轮船仍向前航行有触礁的危险．
18．（8分）如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AF＝4，求CE的长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，再根据等角对等边可得结论；
（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，
∵AF＝4，
∴CE＝4．
19．（10分）如图，已知△ABC​中，∠C＝90°，∠B＝30°​，以A​为圆心，任意长为半径画弧交边AB，AC​于点M​和N​，再分别以M、N​为圆心，大于​的长为半径画弧，两弧交于点P​，连结AP​并延长交BC​于点D．​
（1）求证：点D​在线段AB​的垂直平分线上；
（2）若△ACD​的面积为3，求△ADB​的面积．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠CAB，根据尺规作图得出AD​是∠CAB​的角平分线，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝BD，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得到CD＝AD，​进而得出CD＝BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°​，
∴∠CAB＝60°，
根据作图方法可知，AD​是∠CAB​的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝30°，​
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D​在线段AB​的垂直平分线上；
（2）在△ACD中，∠CAD＝30°，∠C＝90°，​
∴CD＝AD，​
∵AD＝BD，​
∴CD＝BD，
∴S△ABD＝2S△ACD＝6​．
20．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，
∴点A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．
（3）△ABC的面积为7×4﹣﹣﹣＝．
21．（12分）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝ °（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．
【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD
＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD
＝2（∠AOP+∠BOP）
＝2∠AOB
＝2×60°
＝120°；
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COP
＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD
＝2（∠AOP+∠BOP）
＝2∠AOB
＝2n°，
故答案为：2n；
（2）∵点C和点P关于OA对称，
∴CM＝PM，
∵点P关于OB对称点是D，
∴DN＝PN，
∵CD＝4，
∴CM+MN+DN＝4，
∴PM+MN+PN＝4，
即△PMN的周长为4，
故答案为：4．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC．
（1）若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
①求线段BC的长；
②求线段OA的长．
（2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
②根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【解答】解：（1）①∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；
②∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝16cm，
∴OA＝OB＝OC＝5cm；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°．
23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
24．（14分）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：
（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．
【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（2）分情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；
（3）由已知得∠BPB1＝60°，当AC∥B1P时，∠APN＝30°，可知旋转角的度数为30°．
【解答】解：（1）∵PE平分∠CPD，
∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．
则∠APF＝60°+y，
∠DPF＝2x﹣y，
∵PF平分∠APD，
∴2x﹣y＝60°+y，
∴x﹣y＝30°，
∴∠EPF＝x﹣y＝30°．
（2）设旋转的时间为t秒，则0≤t≤36，
当PD平分∠BPC时，∠CPD＝∠BPD＝30°，
∵∠BPM＝t°，∠APN＝5t°，
∴30﹣t+30+60+5t＝180，
∴t＝15，
当PC平分∠BPD时，∠BPC＝15°，
∴5t+60+15﹣180＝t，
∴t＝，
当PB平分∠CPD时，PA与PD重合，
∴5t﹣t＝120+30，
∴t＝＞36，不合题意，舍去．
∴旋转的时间15s或s．
（3）由已知得∠BPB1＝60°，
∴当AC∥B1P时，∠APN＝30°，
∴旋转角的度数为30°．