人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十五章分式单元过关检测卷02(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册同步精品课堂知识清单第十五章分式单元过关检测卷02(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
2．（4分）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）新冠肺炎疫情仍然非常严峻，我们每个人都需要做好防护．某病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一数据用科学记数法表示为（ ）
A．12×10﹣8米B．1.2×107米C．1.2×10﹣8米D．1.2×10﹣7米
4．（4分）将分式中x、y都扩大到10倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的10倍B．缩小到原来的
C．扩大到原来的100倍D．不变
5．（4分）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（4分）把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．
C．
D．
7．（4分）关于式子，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝3时，其值为0B．当x＝﹣3时，其值为2
C．当0＜x＜3时，其值为正数D．当x＜0时，其值为负数
8．（4分）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y﹣1＝0B．3y2﹣3y﹣1＝0C．3y2﹣y+1＝0D．3y2﹣y﹣1＝0
9．（4分）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）
A．小明的步骤①错误，漏乘
B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误
D．小亮的解答完全正确
10．（4分）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
11．（4分）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（4分）从﹣3，﹣1，，，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的不等式组无解，则这六个数中所有满足条件的m的值之和是（ ）
A．﹣B．﹣1C．﹣D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）若分式的值为零，则x的值为 ．
14．（4分）若a＝（99）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三数的大小为 ．（用“＜”连接）
15．（4分）若实数a满足a2+2a﹣1＝0，则＝ ．
（4分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很
快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价
多了10元．若这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至是
元？（利润率＝×100%）
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）解分式方程：
（1）； （2）．
18．（8分）先化简，再求值：
（1），其中m＝5；
（2），其中x＝1．
19．（10分）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
20．（10分）已知分式P＝，Q＝﹣x﹣1，R＝．
（1）分式Q的值是否能为0？若能，求出x的值；若不能，请通过化简分式Q，说明理由．
（2）请化简分式P，R，且当x＝6时，比较分式P，R的大小．
21．（12分）先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得
2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得
A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
22．（12分）某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了，求a的值．
23．（12分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x＝，y＝，z＝，∴＝．
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）已知x、y、z为实数，＝﹣2，＝，＝﹣．求分式的值．
24．（14分）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
（1）求7、8月各购进口罩多少盒？
（2）已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b＞0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①若a+b＝30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
小明的解法：
解：去分母得：2x+3＝1﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3＝1﹣x+1②
移项得：2x+x＝1+1﹣3③
合并同类项得：3x＝﹣1④
系数化为1得：x＝﹣3⑤
∴x＝﹣3是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：2x+3＝x﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3＝x﹣x+1②
移项得：2x＝﹣3+1③
合并同类项得：2x＝﹣2④
系数化为1得：x＝﹣1⑤
2022—2023学年八年级上学期第五单元测试卷（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）下列方程：①x2﹣2x＝；②；③x4﹣2x2＝0；④x2﹣1＝0．其中分式方程是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【解答】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．
2．（4分）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．当x＝0时，分式没有意义，故本选项不合题意；
B．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不合题意；
C．因为x2+1＞0，所以分式有意义，故本选项符合题意；
D．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（4分）新冠肺炎疫情仍然非常严峻，我们每个人都需要做好防护．某病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一数据用科学记数法表示为（ ）
A．12×10﹣8米B．1.2×107米C．1.2×10﹣8米D．1.2×10﹣7米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：D．
4．（4分）将分式中x、y都扩大到10倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的10倍B．缩小到原来的
C．扩大到原来的100倍D．不变
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝＝，
∴将分式中x、y都扩大到10倍，则分式的值扩大到原来的10倍，
故选：A．
5．（4分）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】直接利用最简分式的定义分析得出答案．
【解答】解：，，＝其中是最简分式的有：，，共2个．
故选：C．
6．（4分）把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．
C．
D．
【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确，不符合题意；
B、通分正确，不符合题意；
C、通分正确，不符合题意；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4，符合题意；
故选：D．
7．（4分）关于式子，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝3时，其值为0B．当x＝﹣3时，其值为2
C．当0＜x＜3时，其值为正数D．当x＜0时，其值为负数
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝，
A、当x＝3时，原式＝0，故A符合题意．
B、当x＝﹣3时，分式无意义，故B不符合题意．
C、当0＜x＜3时，所以x﹣3＜0，其值为负数，故C不符合题意．
D、当x＜0时，所以x﹣3＜0，其值为正数，故D不符合题．
故选：A．
8．（4分）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3y2+3y﹣1＝0B．3y2﹣3y﹣1＝0C．3y2﹣y+1＝0D．3y2﹣y﹣1＝0
【分析】由＝y，原方程可化为y﹣+1＝0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【解答】解：设＝y，
∴分式方程﹣+1＝0可化为y﹣+1＝0，
化为整式方程：3y2+3y﹣1＝0，
故选：A．
9．（4分）小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）
A．小明的步骤①错误，漏乘
B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误
D．小亮的解答完全正确
【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．
【解答】解：根据题意得：
小亮的解答没有检验过程，出错；
小明的步骤①错误，漏乘，
小明的步骤②、③、④都正确，
小明的步骤⑤错误．
故选：D．
10．（4分）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根x＝﹣1代入整式方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：分式方程去分母得：ax2+3x+3（x+1）＝2x（x+1），
把x＝﹣1代入整式方程得：a＝3，
则2a﹣3＝6﹣3＝3．
故选：B．
11．（4分）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设每套《水浒传》连环画的价格是x元．则《三国演义》连环画的价格是（x+60）元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：．
故选：D．
12．（4分）从﹣3，﹣1，，，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的不等式组无解，则这六个数中所有满足条件的m的值之和是（ ）
A．﹣B．﹣1C．﹣D．
【分析】解分式方程，利用分式方程的解为整数，可能产生增根的情形，分母不等于0，解不等式组，利用已知条件确定m的范围，从而将不符合题意的m值排除，得到符合条件的m的值，则结论可求．
【解答】解：分式方程的解为：x＝，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴2，
∴m≠3．
∵关于x的分式方程有整数解，
∴m≠﹣，
∵要使分式有意义，
∴m≠1．
∵关于y的不等式组无解，
∴m＞﹣3，
∴m≠﹣3．
综上，符合条件的m值有：﹣1，，
∴所有满足条件的m的值之和是﹣，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）若分式的值为零，则x的值为 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得|x|﹣2＝0，且2x﹣4≠0，再解即可．
【解答】解：根据题意得：
，
∴，
解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（4分）若a＝（99）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三数的大小为 ．（用“＜”连接）
【分析】利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义分别计算a，b，c的值，再进行大小比较，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝（99）0＝1，b＝（﹣0.1）﹣1＝﹣10，c＝（﹣）﹣2＝，
又∵﹣10＜＜1，
∴b＜c＜a，
故答案为：b＜c＜a．
15．（4分）若实数a满足a2+2a﹣1＝0，则＝ ．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a2+2a＝1代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝
＝，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴当a2+2a＝1时，原式＝＝1，
故答案为：1．
（4分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很
快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价
多了10元．若这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至是
元？（利润率＝×100%）
【分析】设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，根据每套进价多了10元，列分式方程求解得x＝200，则2x＝400；再设每套售价是y元，根据售价﹣两次总进价≥成本×利润率可得不等式，再解即可．
【解答】解：设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝200，
经检验：x＝200是原分式方程的解，且符合题意，
则2x＝400，
设每套售价是y元，两批运动服总数：200+400＝600，
由题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，
解得：y≥200，
即每套售价至少是200元，
故答案为：200．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）解分式方程：
（1）； （2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（x+1）﹣3（x﹣1）＝x+3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+2）≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
18．（8分）先化简，再求值：
（1），其中m＝5；
（2），其中x＝1．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（+）•
＝•
＝m+1，
当m＝5时，原式＝5+1＝6；
（2）原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝﹣1．
19．（10分）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题目所给信息，进行计算x2＝9，x＝±3，当x＞3或x＜﹣3时即可得出答案；
（2）根据两数相除，异号得负，可得或解不等式组即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，∵x2＝9，x＝±3，
∴不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由实数的运算法则：“两数相除，异号得负”，
得，或，
解不等式组①得，﹣1＜x＜2，
解不等式组②得，无解，
所以若分式值为负数，则x应满足﹣1＜x＜2，
所以原不等式的解集为﹣1＜x＜2．
20．（10分）已知分式P＝，Q＝﹣x﹣1，R＝．
（1）分式Q的值是否能为0？若能，求出x的值；若不能，请通过化简分式Q，说明理由．
（2）请化简分式P，R，且当x＝6时，比较分式P，R的大小．
【分析】（1）分式Q的值不能为负数，令Q＝0，得到方程无解；
（2）P与R化简后，把x＝6分别代入计算得到结果，比较即可．
【解答】解：（1）令Q＝﹣x﹣1＝﹣＝，
∵x﹣1≠0，∴Q≠0，
则分式Q的值不能为0；
（2）P＝＝，
当x＝6时，原式＝﹣1；
R＝（+）•
＝（+）•
＝•
＝x+3，
当x＝6时，原式＝6+3＝9，
∴当x＝6时，P＜R．
21．（12分）先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得
2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得
A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
【分析】（1）根据方法一可得11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），得出，解之可得答案；
（2）裂项求解可得原式＝，由式子的值为正整数知x﹣1＝1、2、3、6，从而得出答案．
【解答】解：（1）等号右边通分、再去分母，得：11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），
即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），
∴，
解得：；
（2）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）×（x+11）
＝×（﹣）×（x+11）
＝××（x+11）
＝，
∵式子的值为正整数，
∴x﹣1＝1、2、3、6，
则x＝2、3、4、7．
22．（12分）某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了，求a的值．
【分析】（1）设购买一个B品牌足球需x元，则购买一个A品牌足球需（x﹣30）元，根据已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元列方程即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设购买一个B品牌足球需x元，则购买一个A品牌足球需（x﹣30）元，
依题意得：2×＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝50．
答：购买一个B品牌足球需80元，购买一个A品牌足球需50元；
（2）根据题意得，30×50×（1+2a%）+20×80×（1﹣a%）＝（2500+2000）×（1﹣），
解得a＝10，
故a的值为10．
23．（12分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x＝，y＝，z＝，∴＝．
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）已知x、y、z为实数，＝﹣2，＝，＝﹣．求分式的值．
【分析】（1）利用倒数法把原式变形，计算即可；
（2）设＝＝＝k，用k表示出a、b、c，代入计算即可；
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出++，把原式变形，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝4，
∴x﹣1+＝4，
∴x+＝5；
（2）设＝＝＝k，
则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴＝＝；
（3）∵＝﹣2，
∴＝﹣，
∴+＝﹣，
同理可得：+＝，+＝﹣，
∴+++++＝﹣，
∴++＝﹣，
∴＝﹣，
∴＝﹣4．
24．（14分）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
（1）求7、8月各购进口罩多少盒？
（2）已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b＞0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①若a+b＝30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
【分析】（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，利用单价＝总价÷数量，结合7，8月进价相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①用含a（或b）的代数式表示出原价部分总利润及优惠部分总利润，结合两店的销售利润相同以及a+b＝30，即可得出结论；
②利用总利润＝每件的销售利润×销售数量﹣进价×赠送数量，得出关于a，n的二元一次方程，再由至少捐赠50盒口罩，得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，结合a，b，n均为自然数，且n≠0，即可得出结论．
【解答】解：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，
依题意得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x+50＝2×100+50＝250．
答：7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩．
（2）①口罩的进价为2000÷100＝20（元），
7月份两店分到的口罩100÷2＝50（盒）．
依题意得：乙店原价部分的利润为（30﹣20）a＝10a（元），甲店优惠部分的总利润为（30×0.8﹣20）（50﹣a）＝4（50﹣a）元，
乙店优惠部分的总利润为（30×0.9﹣20）b+（30×0.7﹣20）（50﹣a﹣b）＝（50+6b﹣a）（元）．
∵两店的利润相同，
∴4（50﹣a）＝50+6b﹣a，
整理得：a+2b＝50，
又∵a+b＝30，
∴a＝10，b＝20；
②8月乙店分到口罩250÷2＝125（盒）．
依题意得：10a+4（50﹣a）+（30﹣20）n﹣20（125﹣n）＝100，
∴n＝80﹣，
∵125﹣n≥50，
∴n≤75．
又∵a，b，n均为自然数，且n≠0，
∴a为10的整数倍，
∴或，
答：n的值为74或72．小明的解法：
解：去分母得：2x+3＝1﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3＝1﹣x+1②
移项得：2x+x＝1+1﹣3③
合并同类项得：3x＝﹣1④
系数化为1得：x＝﹣3⑤
∴x＝﹣3是原分式方程的解⑥
小亮的解法：
解：去分母得：2x+3＝x﹣（x﹣1）①
去括号得：2x+3＝x﹣x+1②
移项得：2x＝﹣3+1③
合并同类项得：2x＝﹣2④
系数化为1得：x＝﹣1⑤