中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题09锐角三角函数的应用(江苏真题15道模拟30道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题09锐角三角函数的应用(江苏真题15道模拟30道)(原卷版+解析)，共82页。

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.锐角三角函数的定义
正弦：sinA=；余弦：csA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
3.解直角三角形
（1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
（2）解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=csB=，csA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cs2A=1．
（3）科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
4.解直角三角形及应用
（1）仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
（2）坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
（3）方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
（4）解直角三角形的应用
通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
（5）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
2．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
3．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
(1)求A、C两点之间的距离；
(2)求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
4．（2022·江苏泰州·统考中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
6．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．
7．（2022·江苏连云港·统考中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°，AB=10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.5m，GD=2m．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cs53°≈0.602，tan53°≈1.327）
(1)求阿育王塔的高度CE；
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
8．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
9．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
10．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45
11．（2021·江苏盐城·统考中考真题）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
12．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)．
13．（2021·江苏连云港·统考中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH=1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cs53°≈35，cs37°=sin53°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）
14．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17'≈0.35,tan56°19'≈1.50．）
15．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．）
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2023·江苏苏州·统考一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O0,0，B6,0，C6,8，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.
(1)求圆形区域的面积；
(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）.
2．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角∠EAD=9.7°，塔底C处俯角∠EAC=26.6°，小明所在位置高度AB=95m．
(1)求两栋建筑物之间的水平距离BC；
(2)求国师塔高度CD．（结果精确到1m）（参考数据：sin9.7°≈0.17，tan9.7°≈0.17，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上）．
(1)∠PBA的度数等于________度（直接填空）
(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
4．（2022·江苏镇江·统考一模）本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．如图，先测得居民楼AB与CD之间的距离BD为31m，后站在F点处测得居民楼CD的顶端C的仰角为45°．居民楼AB的顶端A的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.7m，小莹的观测点E距地面1.7m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．
（参考数据：sin55°≈0.82,cs55°≈0.57,tan55°≈1.43）
5．（2022·江苏盐城·校考三模）如图①，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的一段AC=30cm．另一段BC=20cm．已知两个固定扣之间的距离AB=30cm．（参考数据：sin49°≈0.75，cs41°≈0.75，tan37°≈0.75，cs53°≈0.6，tan53°≈43）
(1)求点C到AB的距离；
(2)如图②，将该门挂扶“正”即AC=BC，求∠CAB的度数．
6．（2022·江苏连云港·校考三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子⋅备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1．当点A位于最高点时，∠AOM=127°．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP'＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD=10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：3≈1.73）
8．（2019·江苏常州·校考二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01）
9．（2021·江苏宿迁·一模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上．画出图形，并求CD旋转的角度；
（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732．计算结果均精确到0.1）
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE=53°．
(1)求点E离地面AC的距离BE的长；
(2)设人站立点C与点A的距离AC=53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
11．（2021·江苏淮安·统考一模）我国第一艘国产航母“山东舰”于2019年12月17日在海南三亚交付海军．如图，“山东舰”在一次测试中，由西向东航行到达A处时；“山东舰”再向东匀速航行1.5小时后到达B处，此时测得小岛C位于距离航母30海里的北偏东37°方向．
(1)∠ACB＝ °；
(2)求航母的速度．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
12．（2021·江苏泰州·校考一模）如图，落地镜CD直立在地面上，小明在地面上的A处时，眼睛B看到地面上的物体P的俯角为30°，看到该物体P在落地镜CD中像Q的俯角为15°，小明的眼睛B离地面的高度为1.6m，点A，P，C在同一水平直线上，若物体高度不计，问
(1)小明离物体P有多远？
(2)小明离落地镜有多远？（tan15°＝2﹣3）
13．（2023·江苏徐州·徐州市第十三中学校考一模）某校开展艺术节，小明利用无人机对会场进行高空拍摄．如图，小明站在A处，操控无人机悬停在前上方高度为60m的B处，测得其仰角为60°；继续操控无人机沿水平方向向前飞行7s悬停在C处，测得其仰角为22°．求无人机的飞行速度．（结果精确到1m/s．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
14．（2022·江苏苏州·统考二模）如图在临街高18 m的居民楼AB的点A处俯视两垂直于地面的围墙，从A看C俯角为45°，从A看D俯角为30°，围墙CF、DE高2 m，围墙之间EF是马路
(1)求马路EF的宽度；
(2)小丽高1.6 m，离围墙CF距离0.38 m，问：小明从A处能否看到小丽？试说明理由．（3≈1.732，结果精确到百分位）
15．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳，求此时点D与桌面的距离．（结果精确到1cm，3取1.732）

16．（2022·江苏南京·统考二模）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板的实物图，其截面示意图如图②，AB为太阳能电板，其一端A固定在水平面上且夹角∠DAB＝22°，另一端B与支撑钢架BC相连，钢架底座CD和水平面垂直，且∠BCD＝135°．若AD＝3m，CD＝0.5m，求AB的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，结果精确到0.01m．）
17．（2022·江苏宿迁·统考二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN=30cm，MB=44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度26.1cm为（即MP的长度），∠ABM=113.6°．
(1)求枪身BA的长度；
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm~5cm．在图2中，若测得∠BMN=68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，2≈1.414）
18．（2022·江苏盐城·统考三模）某无人机兴趣小组在操场上开展活动．当无人机P与操控者A的距离为50米且俯角为37°时（如图），无人机P测得教学楼楼顶的点C处的俯角为45°，又经过人工测量得操控者A和教学楼BC距离为57米．（注：点A，B，C，P都在同一平面上）
(1)求此时无人机P到地面AB的距离；
(2)求教学楼BC的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
19．（2022·江苏苏州·星海实验中学校考二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，枪身BA=8.5cm，若测得∠ABC的度数为113.6°．
(1)求肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度（即MP的长度，结果保留小数点后一位）；
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，2≈1.414）
20．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA=OB=120cm，支撑脚OC=OD=120cm，展开角∠COD=60°，晾衣臂支架PQ=MN=80cm，且OP=OM=40cm．
(1)当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；
(2)当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．
21．（2022·江苏南京·统考二模）如图，山顶的正上方有一塔AB，为了测量塔AB的高度，在距山脚M一定距离的C处测得塔尖顶部A的仰角∠ACM=37°，测得塔底部B的仰角∠BCM=31°，然后沿CM方向前进30m到达D处，此时测得塔尖仰角∠ADM=45°(C，D，M三点在同一直线上)，求塔AB的高度．(参考数据：tan31°≈0.60，tan37°≃0.75）
22．（2022·江苏南京·统考二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
(1)求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
(2)比较路径①：A−C−D−B和路径②：A−E−F−B的长短，则较短路径为________（填序号），两路径相差________km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24．）
23．（2022·江苏连云港·统考二模）某广播电视塔由塔下、塔房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在M处用无人机在距地面120米的B处测得电视塔最高点A的仰角为22°，然后沿MN方向前进30米到达N处，用无人机在距地面80米的C处测得点A的仰角为45°，求ON的距离和电视塔OA的高度，（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
24．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，钝角三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l4上，BC与l3相交于点E，水平底边AC与直线l1垂直，已知cs∠A=23，请按要求完成以下作图，不写作法，但保留作图痕迹．
(1)用不含刻度的直尺与圆规作出△ABC的中位线DE，使得DE=12AB（两种工具分别只限使用一次）；
(2)在（1）的条件下仅用不含刻度的直尺作出四边形ABEF，使得其面积与△ABC的面积相等．
25．（2022·江苏苏州·统考二模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧冀展开时的截面图，扇形BAC和EDF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，闸机通道的宽度（即BC与EF之间的距离）是66.4cm，半径BA=ED=60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
(1)求闸机的“两圆弧扇形”展开最大时的圆心角的度数（即∠ABC或∠DEF的度数）；参考效据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，300人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约5分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数和一个人工检票口平均每分钟检票人数．
26．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点D，再经过一段坡路DC，DC=2.6米，坡面DC的坡度i=1:2.4（即tan∠CDF=512），然后再沿水平方向向左行走4米到达点E，在E处测得建筑物顶端A的仰角37°．
(1)求点E到建筑物AB的水平距离；
(2)求建筑物AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，A，B，C，D，E，F均在同一平面内．）
27．（2022·江苏淮安·统考二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸．图纸中AB∥CD，均与水平方向垂直，机翼前缘AC、机翼后缘BD与水平方向形成的夹角度数分别为45°、27°，CD=7cm，点D到直线AB的距离为30cm．求机翼外缘AB的长度（参考数据：sin27°≈0.45,cs27°≈0.89,tan27°≈0.51）．
28．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，轮船从岛M向岛N行驶，岛M位于码头A的正南方向60海里处，在M处测得码头B在M的北偏西45°方向上，轮船行驶40海里到达岛N，此时测得岛M在岛N的北偏东63°方向上，码头C在N的北偏西30°方向上，已知码头B、C都在码头A的正西方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求码头B与码头C之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin63°≈0.89，cs63°≈0.45，tan63°≈1.96，3≈1.73）
29．（2022·江苏泰州·统考二模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE=53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD=30°．
(1)求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
30．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
(1)求ED的长．
(2)将木条BC绕点B在平行于纸面的平面内顺时针方向旋转一定角度得到BC'（如图2），点P的对应点为P'，BC'与MN的交点为D'，从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上的光点为E'．若DD'=5，求EE'的长．
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
三角函数锐角A
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
csA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题09锐角三角函数的应用（江苏真题15道模拟 30道）
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.锐角三角函数的定义
正弦：sinA=；余弦：csA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
3.解直角三角形
（1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
（2）解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=csB=，csA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cs2A=1．
（3）科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
4.解直角三角形及应用
（1）仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
（2）坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
（3）方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
（4）解直角三角形的应用
通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
（5）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】A、B两点之间的距离约为94米
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，分别解Rt△ACD，Rt△BCD，求得AD,BD的长，进而根据AB=AD+BD即可求解．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=37°，AC=80米，
∴sin∠DAC=CDAC，cs∠DAC=ADAC，
∴CD=AC⋅sin37°≈80×0.60=48（米），
AD=AC⋅cs37°≈80×0.80=64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=58°，CD=48米，
∴tan∠CBD=CDBD，
∴BD=CDtan58°≈481.60=30（米），
∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.
答：A、B两点之间的距离约为94米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】(170+603)cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=12CD=90（cm），CF=CD•cs∠DCF=180×32=903（cm），
由题意得：DFEF=6090，即90EF=6090，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，
则AB255+903=6090，
解得：AB=170+603，
答：立柱AB的高度为(170+603)cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
3．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
(1)求A、C两点之间的距离；
(2)求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m
【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=180°−∠ABC=37°，
sin37°=AHAB，所以AH=AB⋅sin37°≈3m，
cs37°=BHAB，所以BH=AB⋅cs37°≈4m，
在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，
根据勾股定理得AC=CH2+AH2=35≈6.7m，
答：A、C两点之间的距离约6.7m．
（2）如图2，过点A作AG⊥DC，垂足为G，
则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，
所以CG=CD−GD=5m，
在Rt△ACG中，AG=35m，CG=5m，
根据勾股定理得AG=AC2−CG2=25≈4.5m．
∴OD=AG=4.5m．
答：OD的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
4．（2022·江苏泰州·统考中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】11.8m
【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．
【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：
∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8m，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDCM，代入数据：1.48=CD8，
∴CD=11.84≈11.8m，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是11.8m．
【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
【答案】(1)17
(2)85134
【分析】(1)先由RtΔABE可求得AE的长度，再由角度关系可得∠FAE=90∘，即可求得EF的长;
(2)过F作FM⊥CE于M，利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出FM的长度，得出答案.
【详解】（1）设BE=x，则EC=4−x，
∴AE=EC=4−x，
在RtΔABE中，AB2+BE2=AE2，
∴(22)2+x2=(4−x)2，
∴x=1，
∴BE=1，AE=CE=3，
∵AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=90∘，
∴∠CAB=90∘−∠2，
∴∠CAB=90∘−∠1，
由折叠可知ΔFAC≅ΔBAC，
∴∠FAC=∠CAB=90∘−∠1，AF=AB=22，
∴∠FAC+∠1=90∘，
∴∠FAE=90∘，
在RtΔFAE中，EF=AF2+AE2=(22)2+32=17.
（2）过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在Rt△FME中，FM2=FE2−EM2 ，
在Rt△FMC中，FM2=FC2−MC2，
∴FE2−EM2=FC2−MC2，
∴(17)2−a2=42−(3−a)2，
∴a=53，
∴EM=53，
∴FM=(17)2−(53)2=832，
∴sin∠CEF=FMEF=83217=85134 .
【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
6．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．
【答案】（203＋20）m．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝DEAE，
∴AE=DEtan∠DAE=20tan30°=203m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AE=203 m，
∴CD＝CE＋DE＝（203＋20）m，
∴信号塔的高度为（203＋20）m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．
7．（2022·江苏连云港·统考中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°，AB=10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.5m，GD=2m．（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cs53°≈0.602，tan53°≈1.327）
(1)求阿育王塔的高度CE；
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
【答案】(1)40.58m
(2)54.11m
【分析】（1）在Rt△CEB中，由tan53°=CEBE=CECE−10，解方程即可求解．
（2）证明Rt△FGD∽Rt△CED，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE=45°，
∴CE=AE．
∵AB=10，
∴BE=AE−10=CE−10．
在Rt△CEB中，由tan53°=CEBE=CECE−10，
得tan53°CE−10=CE，
解得CE≈40.58．
经检验CE≈40.58是方程的解
答：阿育王塔的高度约为40.58m．
（2）由题意知Rt△FGD∽Rt△CED，
∴FGCE=GDED，
即，
∴ED≈54.11．
经检验ED≈54.11是方程的解
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】68.5m
【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
9．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【答案】114m
【分析】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的长，从而可得CF的长；在Rt△DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求得山顶D的高度．
【详解】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示
在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF=AB·sinα=50×12=25(m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE=19°30'，CD=180m
∴DE=CD·sin∠DCE≈180×0.33≈59(m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m．
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，题目较简单，但这里出现了坡角、俯角等概念，要理解其含义，另外通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决．
10．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45
【答案】（1）91cm；（2）32cm
【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．
【详解】解：（1）在Rt△ADF中，cs∠DAF=AFAD
∴AF=ADcs∠DAF
=100×cs28°
=100×0.88
=88cm
在Rt△AEF中，cs∠EAF=AFAE
∴AE=AFcs∠EAF=88cs13°=880.97≈91cm
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则∠AMN=∠MAC+∠MGA
∴∠AMN=13°+32°=45°
在Rt△ADF中，DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47cm
在Rt△DFG中，DFFG=tan∠DGF=tan32°=0.62
∴FG=DF0.62≈75.8cm
∴AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴AN=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8cm
在Rt△ANM中，sin45°=ANAM=86.8AM
∴AM=86.822≈123.1cm
∴EM=AM−AE=123.1−91=32.1cm≈32cm
∴EH的最小值为32cm
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
11．（2021·江苏盐城·统考中考真题）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】（1）点D距离地面113厘米；（2）CD长为58厘米
【分析】（1）过点D作DF⊥BC交BC于F，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差FA=AB+BC−CF求即可；
（2）过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG交CG于点N，过点D作DM⊥CG交CG于点M，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求CN=BC×cs20° ≈50.76(cm)，利用MG与CN的重叠部分求MN=6(cm)，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．
【详解】解：（1）过点D作DF⊥BC交BC于F，
∵∠FCD=60°，∠CFD=90°
∴FC=CD×cs60°，
=50×12，
=25(cm)，
∴FA=AB+BC−CF=84+54−25=113(cm)，
答：点D距离地面113厘米；
（2）过点C作CG垂直于地面于点G，
过点B作BN⊥CG交CG于点N，
过点D作DM⊥CG交CG于点M，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵BC=54(cm)，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴CN=BC×cs20°，
=54×0.94，
=50.76(cm)，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴MN=CN+MG−CG=50.76+90−134.76=6(cm)，
∵MN=6(cm)，
∴CM=CN−MN=44.76(cm)，
∵CM=44.76(cm)，
∴CD=CM÷cs40°，
=44.76÷0.77，
≈58(cm)，
答：CD长为58厘米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．
12．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)．
【答案】无人机飞行的高度约为14米．
【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据sin∠APE＝AEPE，∠APE＝30°即可列出方程x−3x+5=33，由此求解即可．
【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，
由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴sin∠APE＝AEPE，
∵∠APE＝30°，
∴sin30°＝x−3x+5=33，
解得：x＝43+7≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
13．（2021·江苏连云港·统考中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH=1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cs53°≈35，cs37°=sin53°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用BE+EF求出BF，在Rt△BFC中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用CF+AE−AD=CH;
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，构建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，
则AE⊥BF，垂足为E．
由cs∠BAE=AEAB，∴cs22°=AE4.8，
∴1516=AE4.8，即AE=4.5，
∴DE=AE−AD=4.5−0.4=4.1，
由sin∠BAE=BEAB，∴sin22°=BE4.8，
∴38=BE4.8，即BE=1.8，
∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．
又tan∠BCF=BFCF，∴tan37°=3CF，
∴34=3CF，即CF=4，
∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1，
即C到岸边的距离为8.1m．
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，
则AM⊥BN，垂足为M．
由cs∠BAM=AMAB，∴cs53°=AM4.8，∴35=AM4.8，
即AM=2.88，∴DM=AM−AD=2.88−0.4=2.48．
由sin∠BAM=BMAB，∴sin53°=BM4.8，∴45=BM4.8，
即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04．
∴ON=OB2−BN2=5.462−5.042=4.41=2.1，
∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58，
即点O到岸边的距离为4.58m．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
14．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17'≈0.35,tan56°19'≈1.50．）
【答案】52m
【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，
根据三角函数表示出DE，根据CD=80m列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．
【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．
∵∠FCD=90°，
∴四边形CEBF是矩形，
∵BE⊥CD，∠BCD=45°，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∴矩形CEBF是正方形．
设CE=BE=xm，
在Rt△BDE中，
DE=BEtan∠BDE=xtan56°19'≈23xm，
∵CD=80m，
∴x+23x=80，
解得x=48，
∴CE=BE=48m，
∵四边形CEBF是正方形，
∴CF=BF=48m，
∵在Rt△ACD中，AC=CD·tan∠ADC=80×tan19°17'≈80×0.35=28m，
∴AF=CF-AC=20m，
∴在Rt△ABF中，AB=AF2+BF2=202+482=52m，
∴A，B两点之间的距离是52m．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键．
15．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．）
【答案】19.8m．
【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝BNNF就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【详解】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝BNNF＝BNNH+HF，
∴tan30°＝xx+6，
解得x≈8.22，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵ MN＝AC＝10，
则DM＝10+8.22＝18.22，
∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2023·江苏苏州·统考一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O0,0，B6,0，C6,8，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.
(1)求圆形区域的面积；
(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80）.
【答案】(1)25π
(2)15.5
【分析】（1）根据题意可以求得圆心的坐标和圆的半径，从而可以求得圆形区域的面积；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠ABD=61°，在Rt△ABD中，设AD=x，则BD=xtan61°，由AD=OD=x，根据图形得到则x−xtan61°=6，解方程求得x，进而解直角三角形求得AB
【详解】（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O'为由O、B、C三点所确定圆的圆心，
则OC为的直径，
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=82+62=10，
∴半径OO'=5，
∴S⊙O'=25π；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠ABD=61°，
在Rt△ABD中，设AD=x，
则tan∠ABD=ADBD，
∴tan61°=xBD，
∴BD=xtan61°，
由题意得：∠AOD=45°，AD=OD=x，
则x−xtan61°=6，
解得：x=13.5，
在Rt△ABD中，有sin∠ABD=ADAB，即0.87=13.5AB，
∴AB≈15.5
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形以及圆的面积计算等知识．熟练掌握圆由半径和圆心确定是解答本题的关键．
2．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）我市里运河风光带的国师塔，高大挺拔，古朴雄浑，别具一格．小明想知道国师塔的高度，在附近一高层小区顶楼A处，测得国师塔塔顶D处的俯角∠EAD=9.7°，塔底C处俯角∠EAC=26.6°，小明所在位置高度AB=95m．
(1)求两栋建筑物之间的水平距离BC；
(2)求国师塔高度CD．（结果精确到1m）（参考数据：sin9.7°≈0.17，tan9.7°≈0.17，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）
【答案】(1)190m
(2)63m
【分析】（1）延长CD交AE于点F，根据题意得：CF=AB，CF⊥AE，从而在Rt△ACF中，利用tan∠CAF=CFAF，求得两建筑物底部之间水平距离；
（2）在Rt△AFD中利用∠FAD=9.7°，求得DF，然后即可求得CD的长．
【详解】（1）解：延长CD交AE于点F，根据题意得：CF=AB，CF⊥AE，
在Rt△ACF中，tan∠CAF=CFAF，
∴tan26.6°=95AF≈0.5，
∴AF≈190，
∴BC=AF=190m，
答：两建筑物底部之间水平距离BD的长度为190m；
（2）解：在Rt△AFD中，∠FAD=9.7°，
∴DF=AF·tan∠FAD=190×0.17≈32.3，
∵FC=95m，
∴CD=95-32.3≈63（m）．
答：国师塔高度为63m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上）．
(1)∠PBA的度数等于________度（直接填空）
(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】(1)90
(2)A、B两点间的距离约为52.0米
【分析】（1）根据坡度求得∠ABF=30°，结合题意，得出∠HBP=60°，进而得出∠PBA=90°,∠BAP=45°
（2）根据∠PBA=90°,∠BAP=45°，得出PB=AB，解△PHB即可求解．
【详解】（1）如解图所示；过点A作AF⊥BC于点F，
∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3，
∴tan∠ABF=AFBF=13=33，
∴∠ABF=30°，
∵在窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°,∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°,∠BAP=45°，
故答案为：90；
（2）∵∠PBA=90°,∠BAP=45°
∴PB=AB，
∵PH=45米，sin60°=PHPB=45PB=32，
解得：PB=303，
故AB=303≈52.0 （米），
答：A、B两点间的距离约为52.0米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的性质应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
4．（2022·江苏镇江·统考一模）本学期小明经过一段时间的学习，想利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．如图，先测得居民楼AB与CD之间的距离BD为31m，后站在F点处测得居民楼CD的顶端C的仰角为45°．居民楼AB的顶端A的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.7m，小莹的观测点E距地面1.7m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．
（参考数据：sin55°≈0.82,cs55°≈0.57,tan55°≈1.43）
【答案】25m
【分析】过点E分别作EG⊥CD,EH⊥AB，分别解Rt△EGC和Rt△EHA，求出AG的高度，再利用AB=AH+BH，即可得解．
【详解】解：如图，点E分别作EG⊥CD,EH⊥AB，垂足分别为点G,H，则：
∠CEG=45°,∠AEH=55°，BH=DG=EF=1.7，GH=BD=31，
∴CG=CD−DG=16.7−1.7=15，
在Rt△EGC中，∠CEG=45°,CG=15，
∴EG=CG=15，
∴EH=HG−EG=31−15=16，
在Rt△EHA中，AH=EH×tan55°≈16×1.43=22.88，
∴AB=22.88+1.7=24.58≈25m；
∴居民楼AB的高度约为25m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
5．（2022·江苏盐城·校考三模）如图①，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的一段AC=30cm．另一段BC=20cm．已知两个固定扣之间的距离AB=30cm．（参考数据：sin49°≈0.75，cs41°≈0.75，tan37°≈0.75，cs53°≈0.6，tan53°≈43）
(1)求点C到AB的距离；
(2)如图②，将该门挂扶“正”即AC=BC，求∠CAB的度数．
【答案】(1)4033cm
(2)∠CAB≈53°
【分析】（1）根据题意，过点C作CH⊥AB，交AB于点H，设BH=x，则AH=30−x，根据勾股定理列式可计算得x的值，即可得到CH的值
（2）根据等腰三角形的性质可得的值，再根据锐角三角函数可求得的度数
【详解】（1）过点C作CH⊥AB，交AB于点H，
设BH=x，则AH=30−x，
∵CH⊥AB，AC=30，BC=20
∴CH2=AC2−AH2=BC2−BH2,
即302−30−x2=202−x2，整理得：3x=20
解得：x=203
∴CH2=BC2−BH2=202−2032=4033，
∴C到AB的距离为4033cm
（2）由已知可得：AC+BC=30+20=50，且AC=BC=25，
过点C作CH⊥AB，交AB于点H，
∵AC=BC=25，CH⊥AB，
∴AH=12AB=15
∴cs∠CAB=AHAC=0.6
由参考数据可知：cs53°≈0.6
∴∠CAB≈53°
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法
6．（2022·江苏连云港·校考三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子⋅备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1．当点A位于最高点时，∠AOM=127°．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；
(2)水桶B上升的高度为1.8米．
【分析】（1）作出如图的辅助线，在Rt△AOG中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在Rt△OBC中和在Rt△OB1D中，分别利用三角函数求出BC和B1D的长即可．
【详解】（1）解：过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，
∵AB=6米，OA:OB=2:1，
∴OA=4米，OB=2米，
∵∠AOM=127°，∠EOM=90°，
∴∠AOE=127°−90°=37°，
在Rt△AOG中，AG=AO×sin37°≈4×0.6=2.4（米），
点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3=5.4（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米；
（2）解：过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，
∵∠AOE=37°，
∴∠BOC=∠AOE=37°，∠B1OD=∠A1OE=17.5°，
∵OB1=OB=2（米），
在Rt△OBC中，BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB≈0.6×2=1.2（米），
在Rt△OB1D中，B1D=sin17.5°×OB1≈0.3×2=0.6（米），
∴BC+B1D=1.2+0.6=1.8（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP'＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD=10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：3≈1.73）
【答案】23.65cm
【分析】先求出∠DAB的度数，设AB=x，分别解Rt△ABC,Rt△ABD，用x表示出BD,BC，再利用CD=BD−BC，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：∠QAQ'=∠PAP'=7.5°，
∠DAB=37.5°＋7.5°=45°．
设AB=xcm，则DB=xcm．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∵tan∠CAB=BCAB，
∴BC=AB⋅tan∠CAB=33x，
∵CD=BD−BC，
∴x−33x=10．
解得：x≈23.65．
因此，平面镜放置点与墙面的距离AB是23.65cm．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数，以及平面镜与两条光线形成的夹角相等，是解题的关键．
8．（2019·江苏常州·校考二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【答案】(1)坡顶A到地面PO的距离为10米
(2)网络信号塔BC的高度约为18.7米
【分析】（1）过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，即可设AH=5k米，则PH=12k米．再根据勾股定理可求出AP=13k米，即13k=26，解出k的值，即可求出AH的值，即坡顶A到地面PO的距离；
（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x-14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，列出方程，求出x的值即可．
【详解】（1）如图，过点A作AH⊥PO，垂足为点H，
∵斜坡AP的坡度为1:2.4，
∴AHPH=512，
设AH=5k米，则PH=12k米，由勾股定理，得：AP=13k米，
∴13k=26，解得k=2，
∴AH=10米，
答：坡顶A到地面PO的距离为10米；
（2）延长BC交PO于点D，
∵BC⊥AC，AC∥PO，
∴BD⊥PO，
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10米，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x米，
由（1）可求出PH=12×2=24米，
∴BC+CD=PH+DH，即x+10=24+DH，
∴AC=DH=(x−14)米，
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，即xx−14≈4.01．
解得x≈18.7．
答：网络信号塔BC的高度约为18.7米．
【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数，关键是作出辅助线，构造直角三角形．
9．（2021·江苏宿迁·一模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上．画出图形，并求CD旋转的角度；
（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732．计算结果均精确到0.1）
【答案】(1)点A到直线DE的距离约为120.7mm
(2)画图见解析， CD旋转的角度约为33.4°
【分析】（1）过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，构造出直角三角形后，利用直角三角形边和角的关系即可求出CN、AF，最后即可求出点A到DE的距离；
（2）画出图形后，根据图形，明确图中的已知边和已知角，再利用直角三角形边和角之间的关系求出相应的角度即可．
【详解】（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N．
在Rt△CDN中，
CN=FM=CD•sin∠CDE
=80×32=403（mm），
∠DCN=90°﹣60°=30°．
又∵∠DCB=80°，
∴∠BCN=80°﹣30°=50°．
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN．
∴∠A=∠BCN=50°．
∴∠ACF=90°﹣50°=40°．
在Rt△AFC中，AF=AC•sin40°=80×0．643≈51．44．
∴AM=AF+FM=51．44+403≈120．7（mm）．
答：点A到直线DE的距离约为120．7mm．
（2）旋转后，如图3所示．
根据题意可知
∠DCB=80°+10°=90°．
在Rt△BCD中，CD=80，BC=40．
∴tan∠D=BCCD=0．500．
∴∠D=26．6°．
因此旋转的角度为：
60°﹣26．6°=33．4°．
答：CD旋转的角度约为33．4°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形边和角的关系以及锐角三角函数，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE=53°．
(1)求点E离地面AC的距离BE的长；
(2)设人站立点C与点A的距离AC=53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
【答案】(1)BE的长为10cm
(2)铁棒DE的长为55cm
【分析】(1)过E作与AC平行的直线，与OA、DC分别相交于H、N ．那么求B E的长就转化为求H A的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角△OHE中，可求得HE的值，从而求得HA的值；
(2)因为∠EOH+∠OEH=∠OEH+∠DEN= 90°，∠DEN =∠EOH，又因为cs∠AOE= 0.6，所以可得出DN和DM之间的数量关系，由此即可解决问题．
【详解】（1）过E作与AC平行的直线，与OA，DC分别相交于H、N．
在Rt∆OHE中，∠OHE= 90°，OE = 25cm，∠AOE=53°，
∴HO= OE×cs53° = 15cm，
EH = 20cm，
EB= HA= 25- 15= 10 (cm)，
所以铁棒离地面的高度BE为10cm；
（2）∵铁棒与铁环相切，
∴∠EOH +∠OEH =∠OEH +∠DEN= 90°，∠DEN=∠EOH，
∴DE=ENCOS∠EOA=EN0.6，
在Rt△DEN中，∠DNE = 90°，
EN=BC=AC-AB=53-20= 33 (cm)
DE=ENCOS53°=330.6=55 (cm)，
∴铁棒的长度DE为55cm．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答．
11．（2021·江苏淮安·统考一模）我国第一艘国产航母“山东舰”于2019年12月17日在海南三亚交付海军．如图，“山东舰”在一次测试中，由西向东航行到达A处时；“山东舰”再向东匀速航行1.5小时后到达B处，此时测得小岛C位于距离航母30海里的北偏东37°方向．
(1)∠ACB＝ °；
(2)求航母的速度．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】(1)33．
(2)航母的速度为32海里/时．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，由题意可知，∠ACD=70°,∠BCD=37°,则可求出答案．
（2）在直角三角形中分别求出BD=BC·sin∠BCD≈18, CD=BC·cs∠BCD≈24, AD=24·tan∠ACD≈66,即可求出结果．
(1)
如图所示：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,
∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=33°.
故答案为：33°.
(2)
如图：
在Rt△BCD中，
∵BC=30,∠BCD=37°,
∴BD=BC·sin∠BCD≈18（海里），CD=BC·cs∠BCD≈24（海里）
在Rt△ACD中，CD=24海里，∠ACD=70°,
∴AD=24·tan∠ACD≈66（海里），
∴航母的速度为66−16÷1.5=32（海里/时）．
故航母的速度为：32海里/时．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一方向角问题及平行线的性质，正确理解方向角，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2021·江苏泰州·校考一模）如图，落地镜CD直立在地面上，小明在地面上的A处时，眼睛B看到地面上的物体P的俯角为30°，看到该物体P在落地镜CD中像Q的俯角为15°，小明的眼睛B离地面的高度为1.6m，点A，P，C在同一水平直线上，若物体高度不计，问
(1)小明离物体P有多远？
(2)小明离落地镜有多远？（tan15°＝2﹣3）
【答案】(1)小明离物体P有853m远
(2)离落地镜有8(1+3)5m远
【分析】画出P关于CD的对称点P'，即成像所在的位置，然后利用几何知识求解即可．
【详解】（1）∵∠BPA＝30°，AB＝1.6，
∴tan30°=ABPA，
∴PA=853m，
（2）如图，作P关于CD的对称点P'，
∵∠P'＝∠DBP'＝15°，∠BPA=30°，
∴∠P'BP＝15°，
∴PP'＝BP＝3.2，
又P'C＝PC，故PC＝1.6，
∴AC＝AP+PC＝81+35，
答：小明离物体P有853m，离落地镜有81+35m远．
【点睛】本题考查俯角的定义，平面镜成像，解题关键能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
13．（2023·江苏徐州·徐州市第十三中学校考一模）某校开展艺术节，小明利用无人机对会场进行高空拍摄．如图，小明站在A处，操控无人机悬停在前上方高度为60m的B处，测得其仰角为60°；继续操控无人机沿水平方向向前飞行7s悬停在C处，测得其仰角为22°．求无人机的飞行速度．（结果精确到1m/s．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
【答案】无人机的飞行速度约为16m/s．
【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据题意可得BC=EF，BE=CF=60m，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出EF，BC的长，最后进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由题意得：
BC=EF，BE=CF=60m，
在Rt△ABE中，∠BAE=60°，
∴AE=BEtan60°=603=203≈34.6（m），
在Rt△ACF中，∠CAF=22°，
∴AF=CFtan22°≈600.4=150（m），
∴BC=EF=AF-AE=150-34.6=115.4（m），
∴115.4÷7≈16（m/s），
∴无人机的飞行速度约为16m/s．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2022·江苏苏州·统考二模）如图在临街高18 m的居民楼AB的点A处俯视两垂直于地面的围墙，从A看C俯角为45°，从A看D俯角为30°，围墙CF、DE高2 m，围墙之间EF是马路
(1)求马路EF的宽度；
(2)小丽高1.6 m，离围墙CF距离0.38 m，问：小明从A处能否看到小丽？试说明理由．（3≈1.732，结果精确到百分位）
【答案】(1)11.71m
(2)看不到，理由见解析
【分析】(1)连接DC并延长交AB于点H，根据题意可得DC=EF，DE=CF=BH=2米，∠AHD=90°，从而求出AH的长，然后分别在Rt△ ACG和Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DH，CH的长，进行计算即可解答；
(2) 延长AC交EB于点G，，易得出GF=CF=2m， 求出小丽离CF距离为0.38 m，得到小丽的脚到G距离为1.62 m利用∠AGF=∠GAB=45°得到小丽的身高是1.62m，因为小丽身高1.6 m＜1.62 m，从而得到答案．
（1）解：（1）过点D作AB的垂线，垂足为H，易得点C亦在DH上∵AH=AB-HB=18-2=16=CH∴DH=163 ∴DC=DH-CH=163-16≈11.71m即道路EF宽约为11.71m 故答案为：11.71m
（2）延长AC交EB于点G，∵∠AGF=∠GAB=45°∴GF=CF=2，又∵小丽离CF距离为0.38 m，∴小丽的脚到G距离为1.62 m∵∠AGF=∠GAB=45°，∴小丽的身高是1.62m，∵小丽身高1.6 m<1.62 m，∴小丽位于小明视线的盲区，所以小明看不到小丽．故答案是：看不到．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用∶仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳，求此时点D与桌面的距离．（结果精确到1cm，3取1.732）

【答案】50cm
【分析】过点D作DH⊥AB，交AB延长线于点H，过点C作CF⊥AH于F，过点C作CE⊥DH于E，
分别在Rt△ACF和Rt△CDE中，利用锐角三角函数的知识求出CF和DE的长，再由矩形的判定和性质得到CF=EH，最后根据线段的和差计算出DH的长，问题得解．
【详解】过点D作DH⊥AB，交AB延长线于点H，过点C作CF⊥AH于F，过点C作CE⊥DH于E，
在Rt△ACF中，∠A=60°，AC=40cm，
∵sinA=CFAC
∴CF=ACsin60°=203(cm)，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，CD=30cm，
∵sin∠DCE=DECD，
∴DE=CDsin30°=15(cm)，
∵DH⊥AB，CF⊥AH，CE⊥DH，
∴四边形CFHE是矩形，
∴CF=EH，
∵DH=DE+EH，
∴DH=DE+EH=203+15≈50(cm)．
答：点D与桌面的距离约为50cm．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．
16．（2022·江苏南京·统考二模）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板的实物图，其截面示意图如图②，AB为太阳能电板，其一端A固定在水平面上且夹角∠DAB＝22°，另一端B与支撑钢架BC相连，钢架底座CD和水平面垂直，且∠BCD＝135°．若AD＝3m，CD＝0.5m，求AB的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，结果精确到0.01m．）
【答案】AB的长约为2.70m
【分析】如图所示，过点B作BF⊥AD于F，过点C作CE⊥BF于E，则四边形CDFE是矩形，证明BE=CE，设BE=CE=DF=xm，则BF=BE+EF=x+0.5m，AF=AD−DF=3−xm，然后解直角三角形ABF即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，过点C作CE⊥BF于E，则四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=0.5m，DF=CE，∠ECD=∠BEC=∠EFD=∠AFB=∠CEF=90°，
∵∠BCD=135°，
∴∠BCE=45°，
∴∠CBE=45°=∠BCE，
∴BE=CE，
设BE=CE=DF=xm，则BF=BE+EF=x+0.5m，AF=AD−DF=3−xm，
在Rt△AFB中，tan∠BAF=BFAF=tan22°≈0.40，
∴x+0.53−x≈0.40，
解得x≈0.50，
∴BF≈1m，
∴AB=BFsin∠BAF≈2.70m，
∴AB的长约为2.70m．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．（2022·江苏宿迁·统考二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN=30cm，MB=44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度26.1cm为（即MP的长度），∠ABM=113.6°．
(1)求枪身BA的长度；
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm~5cm．在图2中，若测得∠BMN=68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，2≈1.414）
【答案】(1)8.5cm
(2)枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，见解析
【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，根据cs∠BMK=MKBM列式求出MK即可解决问题；
（2）延长PM交FN于点R，求出∠NMR=45°，在Rt△NRM中，根据cs∠NMR=RMMN列式求出RM，然后计算出枪身端点A与学生额头的距离即可．
【详解】（1）解：过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴BA=PK，
∴∠BMK=180°−∠ABM=180°−113.6°=66.4°，
∴在Rt△BMK中，cs∠BMK=MKBM，
∴MK=BM⋅cs∠BMK=44×cs66.4°≈44×0.40=17.6cm，
∴KP=MP−MK=26.1−17.6=8.5cm=BA，
答：枪身BA的长度约为8.5cm；
（2）枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内；
理由：延长PM交FN于点R，
由题意得：∠NRM=90°，∠NMR=180°−∠BMN−∠BMP=180°−68.6°−66.4°=45°，
在Rt△NRM中，cs∠NMR=RMMN，
∴RM=MN⋅cs∠NMR=30×cs45°=30×22≈30×1.4142=21.21cm，
∴枪身端点A与学生额头的距离为50−21.21−26.1=2.69≈2.7cm，
∵2.7<3，
∴枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
18．（2022·江苏盐城·统考三模）某无人机兴趣小组在操场上开展活动．当无人机P与操控者A的距离为50米且俯角为37°时（如图），无人机P测得教学楼楼顶的点C处的俯角为45°，又经过人工测量得操控者A和教学楼BC距离为57米．（注：点A，B，C，P都在同一平面上）
(1)求此时无人机P到地面AB的距离；
(2)求教学楼BC的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】(1)此时无人机到地面AB的距离为30米
(2)教学楼BC的高度为13米
【分析】（1）过点P作PE⊥AB于E，在直角三角形APE中即可求出无人机P到地面AB的距离PE的长；
（2）过点C作CF⊥PE于F，由锐角三角函数定义求出AE的长，得出BE的长，再证△PCF是等腰直角三角形，得出PF=CF，即可得出结果．
【详解】（1）（1）过点P作PE⊥AB于E，
∵AP=50，∠A=∠DPA=37°，
∴sin∠A=sin37°=PEPA
∴PE50≃0.6
∴PE=30
即无人机到地面AB的距离为30米
（2）过点C作CF⊥PE于F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE，
由题意得，AB=57米，PE=30米，∠A=∠DPA=37°，∠PCF=∠HPC=45°，
在Rt△APE中，∠AEP=90°，
∴AE=PA⋅cs37°≈40，
∴BE=AB-AE≈57-40=17（米），
∴CF=17米，
∵∠PFC=90°，∠PCF=45°，
∴△PCF是等腰直角三角形，
∴PF=CF=17米，
∴BC=EF=PE-PF=30-17=13（米），
答：教学楼BC高约为13米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．（2022·江苏苏州·星海实验中学校考二模）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，枪身BA=8.5cm，若测得∠ABC的度数为113.6°．
(1)求肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度（即MP的长度，结果保留小数点后一位）；
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cs66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，2≈1.414）
【答案】(1)25.3cm
(2)此时枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内，理由见解析
【分析】（1）过点A作AP⊥PM于点P，过点B作BH⊥MP于点H，可得四边形ABHP是矩形，从而得到HP=AB=8.5cm，∠ABH=90°，进而得到∠BMH=66.4°，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）延长MP交DE于K，延长PM交FG于I，则MK⊥DE，MI⊥FG，可得四边形APKD为矩形，从而得到AD=PK，根据∠BMN=68.6°，可得∠NMI=45°，从而得到MI≈19.80cm，进而得到AD=PK≈4.90cm，即可求解．
（1）
解：如图，过点A作AP⊥PM于点P，过点B作BH⊥MP于点H，
∴∠BAP=∠APH=∠PHB=∠BHM=90°，
∴四边形ABHP是矩形，
∴HP=AB=8.5cm，∠ABH=90°，
∵∠ABC=113.6°，
∴∠MBH=23.6°，
∴∠BMH=66.4°，
∴MH=BM⋅cs∠BMH≈42×0.40=16.80cm，
∴MP=MH+HP≈25.3cm，
即肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm；
（2）
解：此时枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内，理由如下：
延长MP交DE于K，延长PM交FG于I，则MK⊥DE，MI⊥FG，
∴∠PAD=∠APK=∠PKD=90°，
∴四边形APKD为矩形，
∴AD=PK，
由（1）得∠BMH=66.4°，
∵∠BMN=68.6°
∴∠NMI=180°-∠BMN-∠BMH=180°-68.6°-66.4°=45°，
在Rt△MNI中，MN=28cm，
∴MI=MN⋅cs∠NMI=28⋅cs45°=28×22=142≈19.80cm，
∵IK=50cm，
∴AD=PK≈4.90cm，
∵3<4.9<5，
∴此时枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
20．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA=OB=120cm，支撑脚OC=OD=120cm，展开角∠COD=60°，晾衣臂支架PQ=MN=80cm，且OP=OM=40cm．
(1)当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；
(2)当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．
【答案】(1)603+60cm
(2)40cm
【分析】（1）作OE⊥CD交CD于E，AF⊥OE交OE反向延长线于F，由等腰三角形的性质求出∠EOD=12∠COD=30°，利用特殊角的三角函数值的求法得到OE和OF，再利用
EF=OE+OF来求解；
（2）图②中作MG⊥OB交OB于G，易得△OCD为等边三角形，再利用等边三角形的性质，特殊角的三角函数值的求法OG，GM，再由勾股定理求出NG，进而得到ON，图③中作MH⊥OD交OD于H，特殊角的三角函数值的求法和勾股定理求出ON'，最后用
ON−ON'来求解．
（1）解：如图②，作OE⊥CD交CD于E，AF⊥OE交OE反向延长线于F．∵OC=OD=120m，∠COD=60°，∴∠EOD=12∠COD=30°，在Rt△OED中，∵cs∠EOD=OEOD=32，∴OE=603．∵OA⊥OD，∴∠AOD=90°，∴∠FOA=60°，在Rt△AFO中，∵cs∠AOF=OFOA=12，∴OF=60，∴EF=OE+OF=603+60，∴点A距离地面的高度为603+60cm；
（2）解：如图②，作MG⊥OB交OB于G．∵OC=OD，∠COD=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°．∵OB∥CD，∴∠BOC=∠OCD=60°，在Rt△MGO中，∵cs∠GOM=OGOM=12，sin∠GOM=GMOM=32，∴OG=20，GM=203．在Rt△MNG中，∵NG2=MN2−GM2，∴NG=2013，∴ON=NG+OG=2013+20，如图③，作MH⊥OD交OD于H．在Rt△MHO中，∵cs∠MOH=OHOM=12，sin∠MOH=HMOM=32，∴OH=20，HM=203．在Rt△MHN'中，∵N'H2=N'M2−HM2，∴N'H=2013，∴ON'=N'H−OH=2013−20，∵ON−ON'=2013+20−2013−20=40cm，∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2022·江苏南京·统考二模）如图，山顶的正上方有一塔AB，为了测量塔AB的高度，在距山脚M一定距离的C处测得塔尖顶部A的仰角∠ACM=37°，测得塔底部B的仰角∠BCM=31°，然后沿CM方向前进30m到达D处，此时测得塔尖仰角∠ADM=45°(C，D，M三点在同一直线上)，求塔AB的高度．(参考数据：tan31°≈0.60，tan37°≃0.75）
【答案】塔AB的高度为18m
【分析】延长AB交CD于点H，则AH⊥CD，在Rt△ACH和Rt△ADH中，根据锐角三角函数的概念，得到CH=AHtan37°，DH=AH，借助CD=CH−DH构造AHtan37°−AH=30方程关系式，求出AH，在Rt△BCH中，根据锐角三角函数的概念，得出BH的长，然后依据AB=AH−BH，算出塔高AB的长进而得解．
【详解】如图，延长AB交CD于点H，则AH⊥CD．
在Rt△ACH中，∠ACH=37°，
∵tan37°=AHCH，
∴CH=AHtan37°．
在Rt△ADH中，∠ADH=45°，
∵tan45°=AHDH，
∴DH=AH．
∵CD=CH−DH，tan37°≃0.75,CD=30,
∴AHtan37°−AH=30．
∴AH≈90．
∴CH=DH+CD≈120．
在Rt△BCH中，∠BCH=31°，
∵tan31°=BHCH=BH120，
∴BH≈72．
∴AB=AH−BH≈90−72=18．
∴塔AB的高度为18m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用和仰角的概念，熟练掌握锐角三角函数和仰角的概念是解本题的关键．
22．（2022·江苏南京·统考二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
(1)求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
(2)比较路径①：A−C−D−B和路径②：A−E−F−B的长短，则较短路径为________（填序号），两路径相差________km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24．）
【答案】(1)2.8km
(2)①，0.4km
【分析】（1）过点B作BS⊥MN于点S， 根据题意得∶∠ACT=45°，AC=6km，利用锐角三角函数可得AT=CT=AC⋅sin∠ACT≈4.2km，ET=ATtan∠AET≈1.4km，即可求解；
（2）过点A作AT⊥PQ于点T，根据题意得：DF=CE=2.8km，CD=EF=0.5km，先求出AE≈4.4km，由∠BDS=60°，∠BFS=30°，可得BD=DF=2.8km，从而得到BS=BD⋅sin∠BDS=2.8×32≈2.4km，继而得到BF=2BS=4.8km，然后分别求出路径①和路径②的长度，即可求解．
（1）
解∶如图，过点B作BS⊥MN于点S，
根据题意得∶∠ACT=45°，AC=6km，
∴∠CAT=45°，
∴∠ACT=∠CAT，
∴CT=AT，
∴AT=CT=AC⋅sin∠ACT=6×22≈4.2km，
在Rt△AET中，∠AET=71.6°，
∴ET=ATtan∠AET≈4.233.0≈1.4km，
∴CE=CT−ET≈2.8km；
（2）
解：如图，过点A作AT⊥PQ于点T，
根据题意得：DF=CE=2.8km，CD=EF=0.5km，
AE=AT2+ET2=4.22+1.42=725≈4.4km，
∵∠BDS=60°，∠BFS=30°，且∠BDS=∠DBF+∠BFS，
∴∠DBF=∠BFS=30°，
∴BD=DF=2.8km，
∴BS=BD⋅sin∠BDS=2.8×32≈2.4km，
∴BF=2BS=4.8km，
∴路径①的长度为AC+CD+BD=6+0.5+2.8=9.3km，
路径②的长度为AE+EF+BF=4.4+0.5+4.8=9.7km，
∴较短路径为①，两路径相差9.7−9.3=0.4km．
故答案为：①，0.4km．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
23．（2022·江苏连云港·统考二模）某广播电视塔由塔下、塔房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成．某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度．如图所示，小航在M处用无人机在距地面120米的B处测得电视塔最高点A的仰角为22°，然后沿MN方向前进30米到达N处，用无人机在距地面80米的C处测得点A的仰角为45°，求ON的距离和电视塔OA的高度，（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
【答案】ON的距离为87米，电视塔OA的高度为167米
【分析】设ON的长为x，根据题意可得BD=30+x，AD=x−40，在Rt△ABD中，利用三角函数列出关于x的方程，即可求出ON，OA的长．
【详解】
解：由题意得：
MO＝BD，BM＝OD＝120米，CN＝OE＝80米，ON＝CE，
∴DE＝OD－OE＝40米，
设ON＝CE＝x米，
∴MO＝BD＝（30+x）米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE=CE⋅tan45°=x（米），
∴AD=AE−DE=(x−40)米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝22°，
∴tan22°=ADBD=x−4030+x≈0.40，
∴x≈87，
经检验：x＝87是原方程的根，
∴ON＝87（米），OA＝AE+OE＝87+80＝167（米），
∴ON的距离为87米，电视塔OA的高度为167米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，能够熟练借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键．
24．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，钝角三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l4上，BC与l3相交于点E，水平底边AC与直线l1垂直，已知cs∠A=23，请按要求完成以下作图，不写作法，但保留作图痕迹．
(1)用不含刻度的直尺与圆规作出△ABC的中位线DE，使得DE=12AB（两种工具分别只限使用一次）；
(2)在（1）的条件下仅用不含刻度的直尺作出四边形ABEF，使得其面积与△ABC的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以A为圆心，AB长为半径作弧与AC交于点D，连接DE，则DE即为所求．理由设l2，l3分别交AC于点M、N，则AM=MN=CN=2a，可得AC=6a，根据cs∠A=23，可得AD=3a，即可求证；
（2）延长DE与l4相交于点F，连接AE、BF，则四边形ABFE即为所求．理由：先证明△DMF≌△DNE，可得DF=DE，可证得△ADF≌△CDE，即可求证．
（1）
解∶如图，以A为圆心，AB长为半径作弧与AC交于点D，连接DE，则DE即为所求．
理由：∵直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，
∴点E是BC的中点，
∵边AC与直线l1垂直，
∴AC与l2，l3，l4垂直，
设l2，l3分别交AC于点M、N，则AM=MN=CN=2a，
设AM=MN=CN=2a，则AC=6a，
∵cs∠A=23，
∴AMAB=23，即AB=3a，
∵AD=AB，
∴AD=3a，
∴CD=3a，
∴AD=CD，即点D为AC的中点；
∴DE为△ABC的中位线DE，即DE=12AB；
（2）
解：延长DE与l4相交于点F，连接AE、BF，则四边形ABFE即为所求．
理由：由（1）得：AD=CD，AM=CN，
∴DM=DN，
∵∠FDM =∠EDN，∠FMD=∠END=90°，
∴△DMF≌△DNE，
∴DF=DE，
∴△ADF≌△CDE，
∴S△ADF=S△CDE，
∴S四边形ABEF=S四边形ABED+ S△ADF = S四边形ABED+ S△CDE=S△ABC．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，尺规作图，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
25．（2022·江苏苏州·统考二模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧冀展开时的截面图，扇形BAC和EDF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，闸机通道的宽度（即BC与EF之间的距离）是66.4cm，半径BA=ED=60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
(1)求闸机的“两圆弧扇形”展开最大时的圆心角的度数（即∠ABC或∠DEF的度数）；参考效据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，300人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约5分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数和一个人工检票口平均每分钟检票人数．
【答案】(1)28°
(2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数是60人，一个人工检票口平均每分钟检票人数是30人．
【分析】（1）连接AD并向两边反向延长，分别交BC、EF于点M、N，由点A与点D在同一水平线上且BC和EF均垂直于地面可知MN⊥BC，MN⊥EF，再结合题意求出M=DN=28.2，之后再在Rt△ABM求∠ABM的正弦值，即可求出∠ABM的角度大小；
（2）可设一个人工检票口平均检票速度为x人/min，智能闸机的平均检票速度为2x人/min，分别求出300人经过智能闸机的时间和经过人工检票口的时间，根据“300人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约5分钟”的数量关系式列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如下图所示，连接AD并向两边反向延长，分别交BC、EF于点M、N，由点A与点D在同一水平线上且BC和EF均垂直于地面可知MN⊥BC，MN⊥EF，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，同时由两弧弧翼成轴对称可得AM=DN，∴AM=DN=12(MN−AD)=12(66.4−10)=28.2．
在Rt△ABM中，∠AMB=90°，BA=ED=60cm，AM=DN=28.2，
∴sin∠ABM=AMAB=28.260=0.47，
∵sin28°≈0.47，
∴∠ABM=28°即∠ABC=28°，
答：闸机的“两圆弧扇形”展开最大时的圆心角的度数为28°；
（2）设一个人工检票口平均检票速度为x人/min，智能闸机的平均检票速度为2x人/min，
根据题意得：300x−3002x=5，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
∴2x=60；
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数是60人，一个人工检票口平均每分钟检票人数是30人．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数和分式方程的实际应用，解决本题的关键在于能正确添加辅助线解直角三角形，并且根据题意正确列出方程．
26．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点D，再经过一段坡路DC，DC=2.6米，坡面DC的坡度i=1:2.4（即tan∠CDF=512），然后再沿水平方向向左行走4米到达点E，在E处测得建筑物顶端A的仰角37°．
(1)求点E到建筑物AB的水平距离；
(2)求建筑物AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，A，B，C，D，E，F均在同一平面内．）
【答案】(1)18米；
(2)约为14.5米．
【分析】（1）延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，则四边形BMCN是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND，进而可得EM的值；
（2）在Rt△AEM中，根据37°的正切可得AM，再根据AB＝AM+BM可得答案．
【详解】（1）解：延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，
如图所示：
则四边形BMCN是矩形，
在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝512，
∴设CN＝5a，则ND＝12a，
∴CD＝(5a)2+(12a)2＝13a＝2.6，
解得a＝0.2，
∴CN＝1米，ND＝2.4米，
∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18（米），
答：点E到建筑物AB的水平距离是18米；
（2）解：在Rt△AEM中，
∵AM＝EM•tan37°≈18×0.75=13.5（米），
∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．
答：建筑物AB的高度约为14.5米．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
27．（2022·江苏淮安·统考二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸．图纸中AB∥CD，均与水平方向垂直，机翼前缘AC、机翼后缘BD与水平方向形成的夹角度数分别为45°、27°，CD=7cm，点D到直线AB的距离为30cm．求机翼外缘AB的长度（参考数据：sin27°≈0.45,cs27°≈0.89,tan27°≈0.51）．
【答案】21.7cm
【分析】过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E．过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．易证四边形AFDE是矩形，那么AE＝FD＝30cm，DE＝AF．解Rt△AEC，求出EC＝AE＝30cm．再解Rt△BFD，根据正切函数定义可得BF＝FD•tan27°≈15.3cm．最后根据AB＝AF−BF＝FD−BF＝EC＋CD−BF，代入数据即可求得AB的长．
【详解】过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E．
过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．
在四边形AFDE中，
∵AB∥CD,∠AED=90°，
∴∠FAE=90°，
又∠AFD=90°，
∴四边形AFDE是矩形
∴DF=AE=30cm,AF=ED．
在Rt△AEC中，∠AEC=90°,∠CAE=45°,AE=30cm，
∴EC=30cm．
在Rt△BFD中，∠BFD=90°,∠BDF=27°,FD=30cm,tan27°=BFFD．
∴BF=FD⋅tan27°≈15.3cm．
∴AB＝AF−BF＝FD−BF＝EC＋CD−BF≈21.7cm．
故机翼外缘AB的长度约为21.7cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，利用条件作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，也考查了三角函数的定义．
28．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，轮船从岛M向岛N行驶，岛M位于码头A的正南方向60海里处，在M处测得码头B在M的北偏西45°方向上，轮船行驶40海里到达岛N，此时测得岛M在岛N的北偏东63°方向上，码头C在N的北偏西30°方向上，已知码头B、C都在码头A的正西方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求码头B与码头C之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin63°≈0.89，cs63°≈0.45，tan63°≈1.96，3≈1.73）
【答案】(1)60°
(2)20.6海里
【分析】（1）过N作ND⊥AC于点D．根据∠CND＝30°，即可求解；
（2）在Rt△ABM中，根据∠AMB＝45°，可得AB＝AM＝60（海里）．过M作ME⊥ND于点E，则四边形AMED是矩形，可得AD＝EM，DE＝AM＝60（海里）．在Rt△NME中，利用锐角三角函数可得EM≈40×0.89=35.6（海里），EN≈0.45×40=18（海里）．可得CD=ND⋅tan∠CND=78×33≈44.98（海里），即可求解．
（1）解：如图，过N作ND⊥AC于点D．因为∠CND＝30°，所以∠C＝60°；
（2）解：在Rt△ABM中，∵∠AMB＝45°，∴∠ABM＝90°－∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠ABM，∴AB＝AM＝60（海里）．如图，过M作ME⊥ND于点E，则四边形AMED是矩形，∴AD＝EM，DE＝AM＝60（海里）．在Rt△NME中，sin∠ENM=EMMN=EM40≈0.89，cs∠ENM=ENMN=EN40≈0.45，∴EM≈40×0.89=35.6（海里），EN≈0.45×40=18（海里）．在Rt△CDN中，ND＝DE＋EN＝60＋18＝78（海里），CD=ND⋅tan∠CND=78×33≈44.98（海里），∴BC＝AC－AB＝CD＋DA－AB＝44.98＋35.6－60＝20.58≈20.6（海里）．答：码头B和码头C之间的距离约为20.6海里．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
29．（2022·江苏泰州·统考二模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE=53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD=30°．
(1)求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
【答案】(1)0.4m
(2)1.68m
【分析】（1）利用Rt△EDM的正弦定理即可求得答案．
（2）利用Rt△GEF的正弦和正切定理即可求得GF，EF，而此运动的身高等于GF+EF+ED即可求得答案．
【详解】（1）解：由图，在Rt△EDM中，∠EDM=90°，EM=0.8，∠EMD=30°，
∴sin∠EMD=EDEM，即sin30°=12=ED0.8，
解得ED=0.4，
∴滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．
（2）由（1）得，ED=0.4，
∴GE=GD−ED=1.04−0.4=0.64，
∵EF//AB，
∴∠GEF=∠EDB=90°，
在Rt△GEF中，∠GEF=90°，∠GFE=53°，GE=0.64，
∴sin∠GFE=GEGF，即sin53°=45=0.64GF；tan∠GFE=GEEF，即tan53°=43=0.64EF，
解得GF=0.8，EF=0.48，
∴运动员的身高为GF+EF+ED=0.8+0.4+0.48=1.68m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数与边的关系是解题的关键．
30．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
(1)求ED的长．
(2)将木条BC绕点B在平行于纸面的平面内顺时针方向旋转一定角度得到BC'（如图2），点P的对应点为P'，BC'与MN的交点为D'，从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上的光点为E'．若DD'=5，求EE'的长．
【答案】(1)13
(2)11.5
【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则ABDE=BPPD，进而可得出DE的长；
（2）过点E'作∠E'FD'=∠E'D'F，过点E'作E'G⊥BC'于点G，易得△ABP'∽△E'FP'，由此可得ABE'F=BP'P'F，在Rt△BDD'中，由勾股定理可求出BD'的长，可求出∠BD'D的正切值，设P'F的长，分别表示E'F和E'D'及FG和GD'的长，再根据BD'=13，可建立等式，可得结论．
(1)
解：如图1，
由题意可得，∠APB=∠EPD，∠B=∠EDP=90°，
∴△ABP∽△EDP，
∴ABDE=BPPD．
∵AB=6.5，BP=4，PD=8，
∴6.5DE=48，
∴DE=13；
(2)
解：如图2，过点E'作∠E'FD'=∠E'D'F，过点E'作E'G⊥BC'于点G，
∴E'F=E'D'，FG=GD'．
∵AB∥MN，
∴∠ABD'+∠E'D'B=180°，
∴∠ABD'+∠E'FG=180°．
∵∠E'FB+∠E'FG=180°，
∴∠ABP'=∠E'FP'．
又∠AP'B=∠E'P'F，
∴△ABP'∽△E'FP'，
∴ABE'F=BP'P'F，
即6.5E'F=4P'F，
设P'F=4a，则E'F=6.5a，
∴E'D'=6.5a，
在Rt△BDD'中，∠BDD'=90°，DD'=5，BD=BP+PD=12，
由勾股定理可得，BD'=122+52=13，
∴cs∠BD'D=GD'E'D'=513，
在Rt△E'GD'中，cs∠BD'D=GD'E'D'=513，
∴GD'=2.5a，
∴FG=GD'=2.5a．
∵BP'+P'F+FG+GD'=13，
∴4+4a+2.5a+2.5a=13，
解得a=1，
∴E'D'=6.5，
∴EE'=DE+DD'−D'E'=13+5−6.5=11.5．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的性质与判定，构造正确的辅助线是解题的关键．
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
三角函数锐角A
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
csA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62