人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精品练习题

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【夯实基础】
题型1点到直线的距离
1.已知点到直线的距离为3，则实数m等于（ ）
A．0B．C．3D．0或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式求解即可
【详解】点M到直线的距离，解得或.
故选：D.
【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题目.
2.若圆上恰有3个点到直线的距离为1，,则与间的距离为
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【分析】根据圆上有个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离为，由此列方程求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得与间的距离.
【详解】由于圆的圆心为，半径为，且圆上有个点到直线的距离为，故到圆心到直线的距离为，即，由于，故上式解得.所以.由两平行直线间的距离公式有，故选D.
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查两平行直线间的距离公式，属于基础题.
3.(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0B．
C．5D．－
【答案】AB
【分析】利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
4.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.
【详解】
如上图示，连接则，点在平面中，且，，，
在△中，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则，，，

设点关于直线的对称点为，而直线为①，
所以，故直线为 ②，
联立①②，解得，故直线与的交点，
所以对称点，则，最小值为到直线的距离为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小.
题型2两平行线间的距离
5.已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．2B．4C．D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线平行可得，进而根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由两直线平行可得，
所以 与，
故两直线间的距离为
故选：A
6.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，可得，
所以，即，
所以两平行间距离公式可得，
故选：A
7.两条平行直线与间的距离为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由直线平行的充要条件可得：，
结合平行线之间的距离公式可得，
两条平行直线6与间的距离为：
.
本题选择C选项.
8.若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
题型3利用距离公式解决最值问题
9.已知点，在直线和上分别找一点M和N，使的周长最短，则最短周长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】求出关于和的对称点分别为，则线段的长为所求最短周长．
【详解】设点A关于和的对称点分别为，，
∵，又，
．
又直线的方程为，∴，
此时，的周长最短，且最短周长为，故选B．
【点睛】本题考查对称性，解题关键是利用对称性把三角形周长的最小值转化为平面上两点间的距离线段最短．
10.已知，且满足，则 的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】为直线上的动点，为直线上的动点，
可理解为两动点间距离的最小值，
显然最小值即两平行线间的距离：.
故选C
11.若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.
【详解】直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
12.（多选题）若，分别为，上的动点，且，下面说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为定值B．当时，的最小值为
C．当的最小值为1时，D．
【答案】ABD
【分析】先利用两直线平行的条件确定和的值，由此判断选项A、D是否正确；当时，利用两平行线间的距离公式求得的最小值，即可判断B选项；由的最小值为，利用两平行线间的距离公式求出的值，即可判断C选项.
【详解】解：且，
，，故A、D选项正确；
分别为上的动点，且∥，
的最小值为两平行直线间的距离，
当时，的最小值为，故B选项正确；
由，得出，则，
又可化为
，
当的最小值为时，，或，故C选项错误；
故选：ABD.
题型4直线中的对称问题
13.已知入射光线在直线l1：2x-y=3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得直线∥,的方程为,由两平行线间的距离公式可得与之间的距离.
【详解】解：如图所示，结合图形可知，直线∥，则直线上一点P到直线l3的距离即为与之间的距离.由题意得，与关于x轴对称，可得的方程为：，与关于y轴对称，可得的方程为，
由两平行线间的距离公式可得与之间的距离，
即P到直线l3的距离为，
故选C.
【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，得出∥及的方程时解题的关键.
14.（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】对A，求出与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对C，求出直线的对称直线即可判断；对D，可得直线过原点的情况.
【详解】对A，直线与两坐标轴交于，，所以围成的三角形面积为，故A正确；
对B，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对C，联立直线方程可得交点坐标，任取直线上点，设其对称点为，则，解得，故对称直线的斜率为，故方程为，即，故C错误.
对D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误.
15.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出.
【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马”的最短总路程，
设，
则，解得，
则，
故“将军饮马”的最短总路程为10.
故选：D.
16.直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（ ）
A．y－2x－1＝0B．y＋2x－1＝0C．.y＋2x＋1＝0D．2y＋x＋1＝0
【答案】A
【解析】在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，再利用垂直平分求解.
【详解】在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，
则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，
故选：A
【能力提升】
单选题
1.若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝（ ）
A．B．－1
C．－D．1
【答案】B
【解析】由斜率是相反数，纵截距相等列方程组可得，从而得．
【详解】直线l1：x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线方程为x＋3y＋2＝0.由题意知m≠0.
因为mx－y＋b＝0，即x－＝0，且直线l1与l2关于x轴对称，
所以有解得
则m＋b＝.
故选：B．
2.已知直线：和直线：，则与之间的距离为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【解析】由平行线间距离公式计算．
【详解】由题意可知两直线平行，由平行线之间距离公式计算可得．
故选：A．
3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线和之间的距离为：，
和之间的距离为：，
于是有：，
解得，
故选：B
4.已知直线l的方程是y＝2x＋3，则l关于y＝－x对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0B．x－2y＝0
C．x－2y－3＝0D．2x－y＝0
【答案】A
【详解】将x＝－y，y＝－x代入方程y＝2x＋3中，得所求对称的直线方程为－x＝－2y＋3，即x－2y＋3＝0.
5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由两直线平行得，再由两平行线的距离可求解.
【详解】直线与直线平行，则有，
∴直线化为：.
∴它们之间的距离为.
故选：A
6.若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
7.若两条直线与平行，则与间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行关系求解，进而根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由与平行，可得，
当时，两直线不重合，故，进而与间的距离为，故选：B
8.已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.
【详解】，由，
解得，故过定点．
，由，
解得，故过定点，
故，距离的最大值为．
此时，，则，，
解得，故．故选：C．
多选题
9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．点到直线的距离是
B．直线，则
C．直线（m为常数），若，则或
D．直线，则和的距离为2
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离判断A，根据直线垂直的充要条件判断B，验证可判断C，根据平行线间的距离判断D.
【详解】由点到直线的距离知，，故A正确；
因为，由直线垂直的充要条件知，故B正确；
因为当时，，即与重合，故C错误；
因为与平行，所以由两平行线间的距离公式可得，故D错误.
故选：AB
10.设直线与，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，l、n间的距离为D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.
【详解】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故选：ACD
11.下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在y轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．直线与之间的距离为
【答案】BD
【分析】根据直线的点斜式、斜截式、平行线间距离及轴对称可得结果.
【详解】点斜式，不表示直线，所以不正确；
直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以正确；
直线关于对称的直线方程是，所以不正确；
直线与之间的距离为，所以正确；
故选：．
12.已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
【答案】ACD
【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.
【详解】对A;变形为
令，则，因此直线过定点，A正确；
对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；
对于C;当时，，故两直线平行，C正确；
对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；
故选：ACD
填空题
13.已知直线与直线的距离为1，则实数_____________
【答案】-6或14
【分析】先将直线方程变形为，再利用平行直线间的距离公式得到答案.
【详解】；两直线平行
平行直线的距离为：或
故答案为-6或14
【点睛】本题考查了平行直线的距离，漏解是容易发生的错误.
14.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
【答案】2x－3y－9＝0
【解析】在l上任取两点，求出其关于点A的对称点坐标，再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程.
【详解】法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M（1,1），N（4,3），
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，
易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二设P（x，y）为l′上任意一点，
则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），
∵P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.故答案为：2x－3y－9＝0.
【点睛】本题考查直线关于点的对称直线，关键是对称点的求解，是基础题.
15.已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是__．
【答案】
【分析】当与垂直时，它们间的距离最大，因此只要求得斜率，从而得直线的斜率，由点斜式得直线方程，化简即得．
【详解】过，两点的直线的斜率，
若两平行直线间的距离最大值，满足平行直线和垂直，
即直线的斜率，则直线的方程为，
即，故答案为：
16.直线关于直线对称的直线方程为_______
【答案】
【分析】在所求直线上设动点,则关于直线对称的点在已知直线上,将的坐标代入已知直线方程可得答案.
【详解】设所求直线上任意一个点,则关于直线对称的点在已知直线上,
所以,即.
故答案为:.
【点睛】本题考查了求直线与直线关于直线对称的直线方程,属于基础题.
解答题
17.求下列各对平行直线间的距离：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】由平行直线间的距离公式可直接求解.
(1)根据两条平行直线间的距离公式，得
．
即与间的距离为．
(2)将所给直线方程化为一般式，得，．
根据两条平行直线间的距离公式，得
．
即与间的距离为．
(3)将直线的方程化简，得．
根据两条平行直线间的距离公式，得
．
即与间的距离为．
18.已知分别过和两点作两条平行线，并使它们之间的距离为3，求这两条直线的方程．
【答案】，，或，．
【分析】当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意；
当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，由题意：．由此能求出所求的直线方程．
【详解】当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意；
当两直线的斜率存在时，设所求两平行直线方程分别为与，即，．
它们之间的距离为3，
，解得，或
这两条直线的方程为，，或， ，
即，，或，
【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意两平行线间距离公式的运用
19.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
【答案】（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0.
【解析】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，由题得，
把x＝4，y＝5代入（3）（4）即得解；（2）用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y即得解；（3）在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，求出其关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，又对称直线的斜率为3，即得解.
【详解】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
因为kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1）
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
所以3×＋3＝0. （2）
由（1）（2）得
把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3，
所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点和直线的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.
20.已知直线的方程为．
（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【分析】（1）将代入可得直线方程，分别求得与两个坐标轴的交点坐标，即可求得直线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）将直线方程变形，解方程组即可确定直线所过定点坐标，即可确定其恒过第四象限.
（3）将代入可得直线方程，根据两个点坐标可知两个点在直线同一侧，可先求得关于直线的对称点为的坐标，即可由两点间距离公式求得最短距离.
【详解】（1）当时，直线的方程为，
令，得；
令，得，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
（2）证明：将直线的方程整理得，
由，得，
所以直线恒过点，
所以不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，
所以动点到定点，距离之和为，
所以当，，三点共线时，最小，
此时．
【点睛】本题考查了直线与坐标轴交点的求法，直线过定点的求法，点关于直线的对称点求法及最短距离问题，属于基础题.