人教A版数学高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试（解析版）

这是一份人教A版数学高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试（解析版），共17页。

第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式求解即可.【详解】为坐标原点，，所以.故选：A.2.已知向量，且与互相垂直，则k=（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.【详解】由与互相垂直得，解得故选：C.3.空间四边形 OABC中，=A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案.【详解】解：根据向量的加法、减法法则，得．故选A.【点睛】本题考点是空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，属于基础题．4.若空间中有三点，，．则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出平面的法向量，后用点面距离相关公式可得答案.【详解】由题，，．设平面的法向量为，所以令，得．因为，所以点到平面的距离为.故选：A5.已知三棱锥中，，，则异面直线，所成角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意将图形补全成一个长、宽、高分别为1，1，的长方体，再利用向量法即可得出答案.【详解】解：如图所示，在一个长、宽、高分别为1，1，的长方体中可以找到满足题意的三棱锥，以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：，，，，，所以异面直线，所成角为.故选：B.6.在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.7.给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体中，必有；③是向量的必要不充分条件；④若空间向量满足，则．其中正确的命题的个数是A．1 B．2C．3 D．0【答案】B【分析】①有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的；②，大小一样方向相同，二者相等；③不能推出；④为零向量时，这一特殊情况要注意，就不成立．【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B．【点睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量与任何向量都是平行向量．8.如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点,，，，所以,故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.给出下列命题，其中正确命题有（    ）A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.如图正四棱柱，则下列向量相等的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，A：，但与方向相反，故A不符题意；B：，但与方向不同，故B不符题意；C：，且与方向相同，故C符题意；D：，且与方向相同，故D符题意.故选：CD.11.已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（    ）A．2 B． C． D．1【答案】ABC【分析】利用空间向量求出点P到直线l的距离，即可判断作答【详解】依题意，，，而直线l的方向向量为，，，因此点P到直线l的距离为，即PQ的最小值为，所以选项A，B，C可能，选项D不可能.故选：ABC12.已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（    ）A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，求出平面平面与平面的法向量，根据空间位置关系的向量方法，可判断,利用空间距离的向量求法可判断D.【详解】如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系： 设正方体棱长为2，则，故 ,由于，故不垂直，即直线与直线不垂直，A错误；又 ,所以,, ，设平面的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，即 ，故 ，而平面，∴直线与平面平行，故B正确； ,设平面的法向量为 ，则 ，取 ，则 ，即 ，因为，故平面与平面垂直，C正确；,则点C到平面的距离为 ，,则点到平面的距离为,即点C和点到平面的距离不相等，D错误，故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量，则 .【答案】【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．【详解】因为，所以.故答案为：．14.设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ．【答案】/－0.5【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，两向量垂直，其数量积为零﹒【详解】∵，∴，∴．故答案为：﹒15.已知正方体，则直线与平面所成的角为 ．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成的角.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，，，设平面的法向量为，则.设直线与平面所成的角为，则，由于，所以.故答案为：16.设空间向量，，若，则 ．【答案】9【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.【详解】因为空间向量，，由，即，可得，解得：，，所以，，则，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l经过，两点，求直线l上一点P，使得．【答案】.【分析】设出点P的坐标，利用向量相等建立方程组，再求解作答.【详解】设点，因，，则，，又，于是得，解得，即点，所以点.18.已知向量，，．(1)当时，求实数x的值；(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．【答案】(1)或.(2).【分析】（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；（2）设，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可．【详解】（1）解： ，因为，所以，即，解得或；（2）解：因为向量与向量，共面，所以设．因为，，所以所以实数x的值为.19.如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）设平面的一个法向量为，求出法向量，利用向量法求解解．（3）利用向量法求解即可．【详解】（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，因为在上，故可设，又，所以，解得，所以， ，，即，平面．所以平面．（2）设平面的一个法向量为， ，则，，令，得，，所以所求的距离为；（3）由（2）知，，，与所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为．20.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.(1)将空间向量与用表示出来；(2)求线段BM的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.【详解】（1）（2）由题可知因为，又因为，所以.易得，所以，所以，即的长为.21.如图，已知六面体中，四边形满足，，，，，平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，则由已知条件可得≌，从而由已知得，由可得平面，则有，而平面，可得平面，则得，再由线面垂直的判断定理可证得结论；（2）连接，交于点，则可得平面，连接，交于点，可证得四边形为平行四边形，进而可得平面，平面平面，过点作于点，连接，可得为直线与平面所成的角，然后在中求解即可；或以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】解：（1）连接，由，，，得≌，因为，所以．因为，所以平面，又平面平面，所以．因为平面，所以平面，所以．又，所以平面．（2）解法一如图，连接，交于点，由（1）知垂直平分．又平面，所以．连接，因为，所以平面．连接，交于点，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．又平面，所以平面平面．过点作于点，连接，则易知平面，所以为直线与平面所成的角．因为，，，所以，．连接，由（1）知，，所以平面，因此，，且，于是，即，所以．所以，又，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．解法二由（1）知，平面，，故可以以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即令，则，，所以是平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查的知识是“理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理”，“理解直线与平面所成角的概念”，“了解求直线与平面所成角的向量方法”．解题的关键是利用已知条件作出直线与平面所成角，然后计算，或建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题22.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，，点E在线段AD上，.(1)求证：；(2)若，，且，求平面ABP与平面PCE夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出线面垂直，再证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.(1)证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，，∴平面PAD，∵，∴平面PAD，又平面PAD，∴；(2)∵，，，∴，.以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由题意知平面PAB的一个法向量为，设平面PCE的法向量为，，，由，得，取，则，则；设平面ABP与平面PCE夹角为，显然由图形看出为锐角，所以.