河北省承德市平泉市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省承德市平泉市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．方程x2＝3x的解是（ ）
A．x＝3B．x＝0
C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0
3．抛物线y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（4，﹣1）D．（4，1）
4．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y＝的图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
6．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（ ）
A．y1＞y2＞0B．0＞y1＞y2C．y2＞y1＞0D．0＞y2＞y1
7．如图，量角器外缘上有A，B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为（ ）
A．25°B．15°C．30°D．50°
8．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转α，得到△EBD，若点E恰好在AC的延长线上，则∠CED的度数为（ ）
A．αB．2αC．90°﹣αD．180°﹣α
9．如图，将⊙O的圆周12等分，圆内接矩形ABCD的面积为20，则圆内接正六边形面积为（ ）
A．25B．30C．35D．40
10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，并有以下结论：①函数图象与y轴正半轴相交；②当x＞0时，y随x的增大而减小．则坐标系的原点O可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
11．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
12．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A．B．C．πD．
13．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
14．已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（4，﹣2）
B．图象分别在二、四象限
C．y≤1时，x≤﹣8或x＞0
D．在每个象限内y随x增大而减小
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（ ）
A．3B．3C．4D．6
16．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
二、填空题（本题共10分.17题每空2分，18、19第一空2分、第二空1分）
17．如图9矩形ABCD中A（2，3），C（a，1），BC∥x轴．
（1）若反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点，a＝ ．
（2）若反比例函数图象的一支与矩形ABCD有交点，则k的取值范围是 ．
18．点P为⊙O外一点，它到⊙O最大距离与最小距离为18、8，PA与⊙O相切于点A，则
（1）⊙O的半径为 ；
（2）切线长PA为 ．
19．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n﹣3，y1），B（n+1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则
（1）抛物线对称轴为 ；
（2）n的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图，数轴上点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x．
（1）若AB＝6，求x的值．
（2）A、B之间距离能否为1，并说明理由．
21．嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
（1）参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ．
（2）参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
22．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
①将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②将①中的△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°，得到△A1B2C2，画出△A1B2C2；
③求出AB在①②过程中所扫过的面积．（结果保留π）
23．抛物线y1顶点（3，2），与x轴交于A、B两点，且A（1，0）．
（1）求y1的解析式及A、B间距离．
（2）将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且CD＝8．求出新坐标系下抛物线y2的解析式及n值．
24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到A′B，连接AA′，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点，连接A′F．
（1）求证：△BAF≌△BA′F；
（2）①当B、A′、D共线时，则AF＝ ；
②当C、A′、F共线时，则CF＝ ；
（3）若点A′到直线BC的距离为3，求点A所经过的路径长．
25．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，AB＝1.5m，DA＝2m，若在y轴P（0，c）处吊球，羽毛球的飞行路线C1：y＝a（x﹣1）2+3.2．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴E（0，c﹣1）处吊球，羽毛球的飞行路线C2：y＝﹣x+c﹣1．
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）小林分析，若羽毛球沿路线C2飞行落在AD之间，求符合条件的n的整数值．
26．某水槽的截面是以AB为直径的半圆O，放置于桌面GH上，水槽中装有一些液体（图中阴影部分），其中液面截线MN∥GH，已知液面截线MN宽48cm，液体的最大深度为18cm．
（1）求直径AB的长；
（2）如图1，在同一截面内，将水槽（半圆O）在桌面MN上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与GH相切，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
①在滚动中圆心O到桌面GH的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时长及操作后水面高度下降了多少；
③求圆心O向右移动的距离．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5 BCAAC 6-10 ABDBC 11-15 DABDC 16.A．
二、填空题（本题共10分.17题每空2分，18、19第一空2分、第二空1分）
17．解；（1）∵反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点，
∴2×3＝a×1，解得a＝6，
故答案为：6．
（2）∵A（2，3），C（6，1），BC∥x轴，ABCD是矩形，
∴D（6，3），B（2，1），
∵反比例函数图象的一支与矩形ABCD有交点，
∴2≤k≤18．
故答案为：2≤k≤18．
18． 解：（1）设⊙O的半径为R，
由题意得：8+2R＝18，
解得：R＝5，
故答案为：5；
（2）如图，连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO＝90°，OA＝5，OP＝5+8＝13，
∴PA＝＝＝12．
故答案为：12．
19． 解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
故答案为：1；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20． 解：（1）∵点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x，AB＝6，
∴x2+2x﹣（4x﹣3）＝6，
x2+2x﹣4x+3＝6，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x＝3或﹣1；
（2）不能为1，理由如下：
∵若点A代表的数为4x﹣3，点B代表的数为x2+2x，AB＝1，
则x2+2x﹣（4x﹣3）＝1，
x2+2x﹣4x+3＝1，
x2﹣2x+2＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac
＝22﹣4×1×2
＝4﹣8
＝﹣4＜0，
∴原方程无解，
∴A，B之间的距离不能为1．
21． 解：（1）由图可知，有C出口、D出口、E出口，共3个出口，
∴参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，
∴嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为＝．
22． 解：①如图，△A1B1C1即为所求．
②如图，△A1B2C2即为所求．
③由勾股定理得A1B1＝＝，
∴AB在①②过程中所扫过的面积为＝4×4+＝16+5π．
23． 解：（1）函数的表达式为：y1＝a（x﹣3）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝4a+2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+2，
根据函数的对称性，点B（5，0），
则AB＝5﹣1＝4；
（2）由题意得，y2＝﹣（x﹣3）2+2+n，
令y2＝﹣（x﹣3）2+2+n＝0，
则x＝3±，
则CD＝2＝8，
解得：n＝6，
则y2＝﹣（x﹣3）2+8．
24． 解：（1）证明：由旋转得AB＝A′B，
∵BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD的边于F点，
∴∠ABF＝∠A′BF，
在△BAF和△BA′F中，
，
∴△BAF≌△BA′F（SAS）．
（2）解：①当B、A′、D共线时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10，
由旋转得A′B＝AB＝6，
∵△BAF≌△BA′F，
∴A′F＝AF，∠BA′F＝∠BAF＝90°，
∴A′D＝BD﹣A′B＝10﹣6＝4，∠DA′F＝90°，
∴A′F2+A′D2＝DF2，
∴AF2+42＝（8﹣AF）2，
解得AF＝3，
故答案为：3．
②当C、A′、F共线时，如图2，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵△BAF≌△BA′F，
∴∠AFB＝∠A′FB，
∴∠CBF＝∠A′FB，
∴CF＝BC＝AD＝8，
故答案为：8．
（3）解：如图4，取AB的中点H，作HG⊥AB交CD于点G，则BH＝AH＝AB＝3，
∵∠AHG＝∠ABC＝90°，
∴HG∥BC，
∵BH⊥BC，且BH＝3，
∴两条平行线HG与BC之间的距离为3，
∴直线HG上的点到直线BC的距离为3，
∴当点A′落在HG上时，点A′到直线BC的距离为3，
∵HG垂直平分AB，
∴A′A＝A′B，
∴A′A＝A′B＝AB，
∴△ABA′是等边三角形，
∴∠ABA′＝60°，
∵点A在以点B为圆心，以AB长为半径的圆上从点A运动到点A′，
∴＝＝2π，
∴点A所经过的路径长为2π．
25． 解：（1）由题意得：点A、D的坐标分别为：（3，0）、（5，0），
将点D的坐标代入函数C1的表达式得：0＝a（5﹣1）2+3.2．
解得：a＝﹣0.2，
则C1的表达式为：y＝﹣0.2（x﹣1）2+3.2．
当x＝0时，y＝﹣0.2（x﹣1）2+3.2＝3＝c，
则a＝﹣0.2，c＝3，C1的最高点为：（1，3.2）；
（2）由（1）得：c﹣1＝2，
则C2的函数表达式为：y＝﹣x2+nx+2，
∵点A、D的坐标分别为：（3，0）、（5，0），
将点A、D的坐标分别代入C2的函数表达式得：
0＝﹣×9+n×3+2，解得：n＝﹣，
y＝﹣×25+n×5+2，解得：n＝，
则符合条件的n的整数值为﹣1或0或1或2．
26． 解：（1）设半圆O与桌面GH相切于点F，连接OM，
∴OF⊥GH，
∵MN∥GH，
∵OF⊥MN，
∴MP＝PN＝24cm，
设半圆O的半径为r，
由题意得PF＝18cm．
∴OP＝r﹣18，
在Rt△OMP中，OM2＝OP2+MP2，
∴r2＝（r﹣18）2+242，解得r＝25，
∴半圆O的直径AB的长为50cm；
（2）①由图1得，圆心O到桌面GH的距离为半圆O的半径，
由图2得，圆心O到桌面GH的距离为半圆O的半径OE，
∴在滚动中圆心O到桌面GH的距离不变，
故答案为：不变；
②连接OM，
∵∠ANM＝30°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝60°，
∴长为＝，
∵GH与半圆的切点为E，
∴OE⊥GH，
∵MN∥GH，
∴OE⊥MN于点D，
∵∠ANM＝30°，
∴OD＝OB＝，
∴DE＝，
∴操作后水面高度下降了18﹣＝（cm），
答：此时长为，操作后水面高度下降了cm；
③如图，可得圆心O向右移动的距离为O′O，证明O′O＝EF，求出EF的长即可．
∵O′F⊥GH，OE⊥GH，
∴O′F＝GH，O′F∥GH，
∴O′FEO是矩形，
∴O′O＝EF，
由旋转得∠FOB＝∠FO′B＝90°，
∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∵OE＝25，
∴EF＝＝，
∴圆心O向右移动的距离为cm．C
D
E
C
（C，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，C）
（D，D）
（D，E）
E
（E，C）
（E，D）
（E，E）